今回は、日本数学オリンピック２００９年予選第２問を取り上げ、解説します。
小学生の場合、外接しているというのは、単に接していると考え、線分というのは直線と考えればいいでしょう。
中学入試に出されても簡単に解ける受験生がかなりいるでしょうね。
実際、神戸女学院中学部で１９９６年に同じような構図の問題が出されています（図形上の点の移動の問題で、指定された条件を満たす図をかくと同じような図が登場します。自分で図をかかないといけないので、今回取り上げたJMOの問題より難しいでしょう）。
円周上の点（Ａ、Ｐ、Ｂ）と２つの円の中心をそれぞれ直線で結びます。
２つの円に点Ｐで接している線（図の点線）と先ほど結んだ直線でＰを通るものが直角に交わっていることから、Ｐを通る２つの直線は一直線になっていることが分かります。
対頂角が等しいことと二等辺三角形の底角が等しいことから、図の黄色の二等辺三角形と黄緑色の二等辺三角形は相似（相似比は２：４＝１：２）となります。
ＡＢの長さが４だから、ＰＢの長さは４×２/（１＋２）＝８/３となります。
下の灘中の問題もぜひ解いてみましょう。
灘中学校２００９年算数１日目第９問
簡単に解けるはずですよ。
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