日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１２年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１２年予選第４問を取り上げ、解説します。
最難関中学校の受験生であれば解けないといけない問題です。
隠れた対称性に着眼するのがポイントです。
２点Ｂ、Ｄを直線で結ぶと、三角形ＡＢＤと三角形ＣＢＤは合同となります（三辺がそれぞれ等しいから）。
問題文に与えられた数値から四角形ＡＢＣＤがＢＤを軸とする線対称な図形になっていることを見抜けるからこそ、この補助線を引けばよいことがすぐにわかります。
ＢＤとＣＥが交わった点をＦとします。
合同な図形の対応する角の大きさは等しくなるから、角ＡＢＤと角ＣＢＤの大きさが等しくなります。
また、平行線における同位角と錯角はそれぞれ等しくなるから、角ＡＢＤと角ＥＦＤと角ＣＦＢの大きさが等しくなります。
三角形ＣＢＦはＣＢ＝ＣＦの二等辺三角形となるから、ＣＦの長さは３となります。
また、三角形ＡＢＤと三角形ＥＦＤのピラミッド相似（２組の角の大きさがそれぞれ等しくなるから相似となりますね。相似比はＡＤ：ＥＤ＝（３＋２）：３＝５：３となります）に着目すると、ＥＦの長さは３×３/５＝９/５となります。
したがって、ＥＣの長さは９/５＋３＝２４/５となります。
なお、四角形ＡＢＣＤはたこ形、四角形ＡＢＣＦはひし形となっていますね。
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