図のように、すべての辺の長さが同じである正四角すいＡ－ＢＣＤＥがある。
ＢＤ＝１０であるとき、次の問いに答えよ。
（１）省略
（２）正四角すいＡ－ＢＣＤＥの体積を求めよ。
（３）辺ＡＣ上にＡＰ：ＰＣ＝＝３：２となる点Ｐをとる。
（ア）Ｐを通り、△ＡＢＥに平行な平面で正四角すいＡ－ＢＣＤＥを切断するとき、（以下略）
（イ）（ア）で２つに分けられた立体のうち、頂点Ｂを含む立体の体積を求めよ。
小学生でも解ける問題です。
因みに、洛南高等学校附属中学校では、この問題よりもっと難しい立体図形の問題が出されています。
（１）と（３）の（ア）は√が絡みますし、メインの問題を解くにあたっては不要なので、省略しています。
また、問題文の正四角すいの図も使わないので省略しています。
さて、洛南高校の問題を解いていきましょう。
（２）
正四角すいＡ－ＢＣＤＥを２つ組み合わせた図形は正八面体となりますが、この正八面体は、一辺の長さが１０の立方体の中にぴったり入ります（日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００６年第６問、大阪星光学院高等学校２０２４年数学第５問の解説を参照）。
したがって、正四角すいＡ－ＢＣＤＥの体積は
１０×１０×１/２×１０×１/３×１/２
＝２５０/３
となります。
（３）（イ）
切断した立体を真横から見た図で考えます。
図のＭ、Ｎはそれぞれ辺ＢＥ、ＣＤの真ん中の点です。
また、（ ）の中の数字はＢＥの長さを５としたときの、高さを表します。
四角すいＡ－ＢＣＤＥと切断後の２つの立体のうち小さい方の体積を比べます。
底面積の比 （５×５）：（２×２）＝２５：４
高さ（平均）の比 （０＋５＋５）/３：（３＋５＋５）/３＝１０：１３
だから、
体積の比 （２５×１０）：（４×１３）＝１２５：２６
となります。
したがって、求める体積は
２５０/３×（１２５－２６）/１２５
＝６６
となります。
因みに、仮に三平方の定理を知っていて、ルートの計算ができるとしても、上のように解いたほうが計算が楽になります。
