今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００６年第６問を取り上げ、解説します。
立方体と正八角形の相互関係にまつわる問題ですね。
この相互関係に関する問題は中学入試で昔から出されています（灘中学校１９９９年算数２日目第４問など）。
立方体の各面の中心を結ぶと正八面体になります。
図の黄色の面に着目して、立方体の体積と正八面体の体積を比べます。
立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨと比べると、正八面体ＩＪＫＬＭＮは、底面積が１/２倍で、高さが１倍で、柱体に対して錐体だから、その体積は１/２×１×１/３＝１/６倍となります。
ここで、三角形ＩＫＬの重心Ｐについて考えます（他の面も同様）。
水色の三角形とピンク色の三角形と紫色の三角形の面積はすべて等しくなる（いわゆるベンツ切りの手法ですぐに確認できますし、三角定規の等分割（ここでは３等分）からもすぐにわかります）から、三角形ＩＫＬの面積：三角形ＰＫＬの面積＝３：１となり、２つの三角形は底辺が等しいから、高さの比（ＩＯ：ＰＯ）＝３：１となります。
三角形ＩＮＯを抜き出して考えます。
ＩＮは立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの一辺の長さと同じですね。
ＰＱが正八面体の隣り合う面どうしの重心を辺で結んだ立方体（Ｘとします）の一辺となりますが、これはＩＮの１/３倍となります。
立方体Ｘと立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨは相似で、相似比が１：３だから、体積比は（１×１×１）：（３×３×３）＝１：２７となります。
結局、
立方体Ｘの体積：正八面体ＩＪＫＬＭＮの体積
＝１/２７：１/６
＝２：９
となるから、答えは２/９倍となります。
最後に、正四面体と正六面体（立方体）と正八面体の相互関係について確認しておきます。
正八面体ＩＪＫＬＭＮは、４点Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈからなる立体（正四面体ＡＣＦＨ）の中にぴったり入ります。
正四面体ＡＣＦＨの体積は、立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの体積の１－１/２×１×１/３×４＝１/３倍となるから、正八面体ＩＪＫＬＭＮの体積は正四面体ＡＣＦＨの体積の１/２倍となります。
日本数学オリンピック２００２年予選第４問（正四面体と正八面体の相互関係の問題）もぜひ解いてみましょう。
