今回は２０１８年のJMOの予選第７問を取り上げます。
小学生にとってはなじみのない記号（絶対値記号）があるのが厄介ですが、|i－j|というのは、iとjのうち大きい方から小さい方を引いてねということだと考えればよいでしょう。
問題文の表現はともかく、内容的には小学生でも解ける可能性が十分ある問題です。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子や最難関中学校の志望者は解いてみるとよいでしょう。
６組のペアのうち大きい方の数６個の和を〇、小さい方の数６個の和を□とします。
与えられた条件から、〇ー□＝３０となります。
また、
〇＋□
＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２
＝（１＋１２）×１２×１/２
＝７８
となります。
和差算を解くと、〇＝（７８＋３０）/２＝５４となり、□＝５４－３０＝２４となります。
６組のペアのうち小さい方の数６個（の組合せ）が決まれば、大きい方の数６個（の組合せ）も自動的に決まりますね。
６個の数の和は１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１以上だから、和が２４となる６個の数の組合せはそれほど多くないということがすぐにわかりますね。
そこで、和が２４となる６個の数を書き出します（和一定の数の書き出しの問題は中学入試でも昔から出されています（神戸女学院中学部１９９６年算数２日目第１問など））。
（あ）１，２，３，４，５，９
（い）１，２，３，４，６，８
（う）１，２，３，５，６，７
（あ）の場合
１～５については、必ずペアの２数の小さい方の数となりますね。
９がペアの２数の小さい方の数となるのは、ペアのパートナーが１０か１１か１２の３通りの場合だけですね。
あとは、１～５のパートナーがどの数になるからで、５×４×３×２×１＝１２０通りあるから、この場合は、３×１２０＝３６０通りあります。
（い）の場合
１～４については、必ずペアの２数の小さい方の数となりますね。
８がペアの２数の小さい方の数となるのは、ペアのパートナーが９か１０か１１か１２の４通りで、６がペアの２数の小さい方の数となるのは、ペアのパートナーが９か１０か１１か１２のうち８のパートナー以外の数か７の４通りの場合ですね（条件の厳しい大きい数のパートナーから考えるのがポイントです（以下同様））。
あとは、１～４のパートナーがどの数になるからで、４×３×２×１＝２４通りあるから、この場合は、４×４×２４＝３８４通りあります。
（う）の場合
１～３については、必ずペアの２数の小さい方の数となりますね。
７がペアの２数の小さい方の数となるのは、ペアのパートナーが８か９か１０か１１か１２の５通りで、６がペアの２数の小さい方の数となるのは、ペアのパートナーが８か９か１０か１１か１２のうち７のパートナー以外の数の４通りで、５がペアの２数の小さい方の数となるのは、ペアのパートナーが８か９か１０か１１か１２のうち７と６のパートナー以外の数の３通りの場合ですね。
あとは、１～３のパートナーがどの数になるからで、３×２×１＝６通りあるから、この場合は、５×４×３×６＝３６０通りあります。
（あ）、（い）、（う）より、条件を満たす方法は全部で
３６０＋３８４＋３６０
＝１１０４通り
あります。
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