小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック（JMO)２０１８年予選第５問）

　日本数学オリンピック２０１８年予選の問題

 

今回は２０１８年のJMOの予選第５問を取り上げます。

「小さな例で実験→観察→規則性の把握→一般化」という規則性の問題の基本的な考え方（麻布中学校１９９９年算数第５問、筑波大学附属駒場中学校２００８年算数第２問、四天王寺中学校２０１８年算数第４問の解答・解説を参照）をしっかりマスターしていれば、小学生でも難なく解けるでしょう。

いきなり１１個のオセロの石を考えるのは厄介なので、とりあえず少ない個数の石で考えます。
（a）において、両端が●で、●と〇が交互に並んでいることに着目して、奇数個の石が（a）と同じように並んでいる場合を考えます。
１個の場合は与えられた作業ができないので、３個の場合から考えます。
　●〇●
両端の石を裏返しにすることはできませんね（以下同様）。
左から２番目の石を裏返しにすると、●●●となります。
結局、３個の場合の石の裏返し方は１通りあります。
この１というのは、両端の石を裏返しにすることはできないことから、３－２ということですね。
次に、５個の場合について考えます。
　●〇●〇●
左から２番目の石を裏返しにすると、●●●〇●となります。
[●●●]〇●の[●●●]の部分は以後同じ動きをする（この場合は裏返すことはできません）ので、[●●●]の部分を１つの●と考えることができ、３個の場合の石の裏返し方を考えればいいですね。
左から３番目の石を裏返しにすると、●〇〇〇●となります。
●[〇〇〇]●の[〇〇〇]の部分は以後同じ動きをするので、[〇〇〇]の部分を１つの〇と考えることができ、３個の場合の石の裏返し方を考えればいいですね。
左から４番目の石を裏返しにした場合は、対称性を考慮すると、左から２番目の石を裏返しにした場合と同様に考えられますね。
結局、５個の場合の石の裏返し方はは３×１＝３通りあります。
この３というのは、両端の石を裏返しにすることはできないことから、５－２ということですね。
もう決まりが分かりましたね。
１１個の石の裏返し方は
　　（１１－２）×（９－２）×（７－２）×（５－２）×（３－２）
　＝９×７×５×３×１
　＝９４５通り
あります。

 

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平面図形（角度）の問題　南山中学校女子部２０２５年算数第１０問

　右ページのような①～⑦の三角形があります。三角形は裏返してはいけません。また、計算で必要なときは、図の★は２．６、●は２．５として計算しなさい。
（１）２つの三角形を選び、一辺を合わせます。長方形ができるのは何番と何番を選んだときでしょうか。
（２）②～⑦の三角形のうちどれかを選び、①の三角形と一辺を合わせると、角アの大きさを求めることができます。どの三角形を選んだらよいか番号を答え、角アの大きさを求めなさい。
（３）①～⑥の三角形のうちどれかを選び、⑦の三角形と一辺を合わせると、イにあてはまる数を求めることができます。どの三角形を選んだらよいか番号を答え、イにあてはまる数を求めなさい。

　

図形パズル的な問題で、算数オリンピックなどで出されるタイプの問題です。

（２）、（３）は様々な解法が考えられる問題なので、自分で様々な解法で解いてみるとよいでしょう。

（２）は２つの解法、（３）は３つの解法を紹介しています。

因みに、（２）も（３）も図形のセンスだけでなく、数のセンスも問われています。

１０と５０、３６と２４、３６＋６０と６０＋２４を見れば、何を考えればよいかすぐにわかるはずです。

詳しくは、下記ページで。

　南山中学校女子部２０２５年算数第１０問（問題）

　南山中学校女子部２０２５年算数第１０問（解答・解説）

下の問題（図形パズル的な問題）もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

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回文数の問題　浅野中学校２０２１年算数第１問（５）

　１２２１のように一の位が０でなく、一の位から逆の順番で読んでも元の数と等しい数を回文数といいます。４桁（けた）の整数で３の倍数となる回文数は全部で[　]個あります。
　また、４桁の整数で１１の倍数となる回文数は全部で[　]個あります。
 

回文数の問題は、算数オリンピックとジュニア算数オリンピックで過去に出されているので、算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子はぜひ解いてみましょう。

４桁の整数で回文数となるものは〇△△〇（〇は１以上９以下の整数、△は０以上９以下の整数）となります。

（前半について）

各位の数の和は（〇＋△）×２となり、これが３の倍数となりますが、２は３で割り切れないから、〇＋△が３で割り切れることになります。

〇と△に入りうる整数を３で割った余りで分類します（０に関しては、△でのみ使用可能）。
　（あ）３で割ると１余る数・・・１、４、７
　（い）３で割ると２余る数・・・２、５、８
　（う）３で割り切れる数・・・０、３、６、９

〇＋△が３で割り切れるのは、次の各場合になります。

　〇＝（あ）、△＝（い）のとき・・・３×３＝９個

　〇＝（い）、△＝（あ）のとき・・・上と同様に、９個

　〇＝（う）、△＝（う）のとき・・・３×４＝１２個

したがって、４桁の整数で３の倍数となる回文数は全部で

　　９＋９＋１２

　＝３０個

あります。

（後半について）
１１の倍数判定法より、すべて１１の倍数となることが分かりますね。
４桁の整数で１１の倍数となる回文数は全部で

　　９×１０

　＝９０個

あります。
なお、３の倍数判定法と１１の倍数判定法については、下記ページの説明を参考にすればよいでしょう。

　倍数判定法について

下の回文数の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

 

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第３１回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２２年トライアル問題５）

　第３１回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２２年トライアル問題５）

今回は、算数オリンピック２０２２年トライアル問題５を取り上げ、解説します。

算数オリンピックの問題ですが、ジュニア算数オリンピックに出されても何の不思議もない問題でしょうね。

この年の算数オリンピックの予選が開催されたのが２０２２年６月１２日だったので、２０２２と６１２という数字が出ています。

因みに、今年の算数オリンピックの予選は２０２５年６月１５日になります。

さて、問題を解いていきましょう。

１桁、２桁、３桁、４桁の整数をそれぞれＡ、ＢＣ、ＤＥＦ、ＧＨＩＪとすると、
　Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＋ＧＨＩＪ＝２６３４
となります。
式を完成させなさいという問題ではなく、？にあてはまる数を求めなさいという問題であることに着目して解きます。
２６３４の各位の和は１５で９で割ると６余る数となります。
開成中学校２０２２年算数第１問（２）と同様にして解きます。
Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＋ＧＨＩＪを９で割ったときの余りは
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｊ
を９で割ったときの余りと一致します（９の倍数判定法が９で割ったときの余りの判定法であることをしっかり頭に入れておくべきでしょう）。
Ａ～Ｊのうち？の数以外の和は４５で９で割り切れるから、？は９で割ると６余る数、つまり６しかありえません。

４＋２５＋６３７＋１９６８－６１２＝２０２２などとすれば与えられた式が実際に成り立ちますが、見つけ方の具体的な手順は省略します。

算数オリンピックにチャレンジするような子であれば、１分もかからずに見つけられると思いますよ。

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２０２５年予選第２問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２５年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２５年予選第２問を取り上げ、解説します。

正のというのは、０より大きいということです。

一見すると難しいそうな問題ですが、中学受験をする小学生なら解いたことがある問題と同じような問題です。
一直線上に並ぶ３つの数の和が全部同じということから、魔方陣がすぐに思い浮かぶでしょう。

その魔方陣を解く際の手法（久留米大学附設中学校２０１８年算数第１問（３）の解答・解説を参照）と同様の手法を用います。

説明の便宜上、図のように記号を振ります。

　　

Ｄがらみの３つの数の和が等しいことに着目すると、

　　Ａ＋Ｇ＝Ｂ＋Ｆ

となり、Ｅがらみの３つの数の和が等しいことに着目すると、

　　Ｃ＋Ｇ＝Ｂ＋Ｈ

となり、この２つの式の和を考えると、

　　Ａ＋Ｃ＋Ｇ×２＝Ｆ＋Ｈ＋Ｂ×２

となります。

両辺に、Ｂ＋Ｇを加えると、

　　Ａ＋Ｃ＋Ｂ＋Ｇ×３＝Ｆ＋Ｈ＋Ｇ＋Ｂ×３

　　１０＋Ｇ×３＝１０＋Ｂ×３

　　Ｇ＝Ｂ

となり、与えられた条件を満たすためには、ＢとＧに割り当てた数が等しくなければならないことがわかりますね。

ここで、Ａ、Ｂ（Ｇ）、Ｃに割り当てた数をそれぞれ〇、□、△（ただし、〇＋□＋△＝１０）とします。

ＡＤＧに着目すると、Ｄに割り当てた数は△となり、ＣＥＧに着目すると、Ｅに割り当てた数は〇となり、ＢＤＧに着目すると、Ｆに割り当てた数は〇となり、ＢＥＨに着目すると、Ｈに割り当てた数は△となり、与えられた条件を常に満たしますね。

結局、〇、□、△の決め方が何通りあるか考えればよいことになります。

１０個の☆を並べ、各☆の間９個のうちから２個を選んで/を入れ、左から１個目の/より左側の☆の個数を〇に割り当てた数、２つの/の間の☆の個数を□に割り当てた数、左から２個目の/より右側の☆の個数を△に割り当てた数と考える（例えば、☆/☆☆☆☆☆/☆☆☆☆であれば、〇、□、△に割り当てた数はそれぞれ１、５、４となります）ことができ、

　　（９×８）/（２×１）

　＝３６通り

考えられます。

最初のところの式変形で若干技巧的なことをしていますが、具体的な数で２、３個実験したところ、Bに割り当てられた数とＧに割り当てられた数が等しくなったので、おそらく一般的に成り立つだろうと考えて、実際にそれを導き出そうとしています。

最後のところの処理は、下の問題の解説と同様に考えることもできます。

 

 

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