１より大きい整数に対して、次のような操作（＊）を行います。
操作（＊）：その整数が奇（き）数のときはその数に１を加え、その整数が偶（ぐう）数のときはその数を２で割る。
操作（＊）をくりかえし行い、はじめて１になったところで終了します。例えば、５に対して操作（＊）をくりかえし行うと、５→６→３→４→２→１となるので、操作（＊）を５回行うと終了します。
（１）１３は操作（＊）を何回行うと終了しますか。
（２）３けたの整数に操作（＊）をくりかえし行います。最も多い回数を行って終了する３けたの整数は何ですか。また、その回数は何回ですか。
（３）操作（＊）を１０回行って終了する整数は全部で何個ありますか。
昔からよく出される問題で、いまさら感がありますね。
因みに、（２）と同様の問題は、数学オリンピック（JMO)でも出されています（日本数学オリンピック２００３年予選第８問）。
（３）は甲陽学院でよく出される規則性が登場します。
甲陽学院の受験生なら落としてはいけないでしょう。
詳しくは、下記ページで。
今回は２００２年のJMOの予選第５問を取り上げます。
自然数というのは１以上の整数のことで、（ｍ－２）2は（ｍ－２）×（ｍ－２）、ｍ2－１はｍ×ｍ－１のことです。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子だけでなく、最難関中学校の志望者なら解けてほしい問題です。
実際、中学入試にも同じような問題が出されていますからね。
近年の問題であれば、次のような問題などがあります。
因みに、今から３０年以上前に次のような問題が出されています。
灘中学校１９９５年１日目第６問
３けたの整数[ ]を４．５倍すると、百の位と一の位が入れかわった。
この問題の解法は、今回取り上げるJMOの解法（後半の処理）そのものです。
さて、JMOの問題を解いていきましょう。
まず、ｍの範囲を絞ります。
３桁の平方数の最小のものは１０×１０＝１００で、最大のものは３１×３１＝９６１となります（３２×３２（２の１０乗）＝１０２４からすぐにわかりますね）。
（ｍ－２）2について考えます。
９×９×
１０×１０○
３１×３１○
３２×３２×
だから、ｍは１０＋２＝１２以上３１＋２＝３３以下の整数となります（ｍが１２のときなどは、百の位の数字と一の位の数字の入れ替えができませんが、そのことはとりあえず横に置いておきます（以下同じ））。
ｍ2－１について考えます。
１０×１０－１×
１１×１１－１○
３１×３１－１○
３２×３２－１×
だから、ｍは１１以上３１以下の整数となります。
結局、ｍは１２以上３１以下の整数となります。
下の面積図（２つの差を考えているので、２つの面積を重ね合わせています）より、（ｍ－２）2とｍ2－１の差はｍ×２＋ｍ×２－４－１（足しすぎたら引くの利用）＝ｍ×４－５となります（上記のｍの範囲では、（ｍ－２）2＜ｍ2－１ですね）。
ところで、ｍ2－１＝□×１００＋△×１０＋○×１（□＞○とできますね）とすると、（ｍ－２）2＝○×１００＋△×１０＋○×１となり、この２つのの差は□×９９－〇×９９＝（□－○）×９９となり、９９の倍数となります（最難関中学校の受験生なら当然覚えているはずの知識でしょう）。
結局、ｍ×４－５は、１２×４＝５＝４３以上３１×４－５＝１１９以下の９９の倍数となるから、ｍ×４－５＝９９となり、ｍは（９９＋５）/４＝２６となります
ｍ＝２６のとき、（２６－２）2＝５７６となり、２６2－１＝６７５となり、確かにすべての条件を満たしていますね。
したがって、ｍ＝２６だけが答えとなります。
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赤い乗り物と青い乗り物にＡ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人が分かれて乗ります。どちらの乗り物も３人まで乗ることができます。乗る位置は考えないでよいものとするとき、乗り方は[ ]通りあります。
場合の数の基本問題ですが、選択した解法によって時間面で大きな差が生じます。
１１人の人が乗車定員１０人の２台の乗り物に乗る場合などを考えてみるとよいでしょう。
詳しくは、名古屋中学校２０２６年算数第２問（５）の解答・解説で。
次のような５けたの偶数（万の位に０はこない）はいくつあるか答えなさい。（３）は求め方を式と言葉を用いて書くこと。
（１）２０２６４や６４２２０のように０、４、６を１回、２を２回使ってできる偶数
（２）２０１２６や２０９６２のように２を２回、０と６を１回、奇数を１回使ってできる偶数
（３）２０２６０や２０２６２のように０、２、６の３種類のみをいずれも１回は使ってできる偶数
高槻中学校で昔からよく出される順列と組合せの問題です。
メインの問題と（１）、（２）は無関係です（そもそも使用できる数字の構成が異なりますからね）。
順列・組合せをマスターしていれば簡単に解ける問題ですが、同じようなことの繰り返しでしつこいなぁという感じがします。
各小問で条件が微妙に変わっていてケアレスミスをしやすい問題だから、注意が必要です。
詳しくは、下記ページで。
①１０３１０３を４つの素数の積で表しなさい。ただし、素数とは１とその数自身しか約数を持たない整数のことです。
②１０３１０３や２５７２５７のように、３桁の整数を２回くり返してできた６桁の数を考えます。このような数のうち３６４で割り切れるものは何個ありますか。
昔からよくある問題で、問題を見た瞬間に１００１＝７×１１×１３が思い浮かぶはずです。
①も②も解くのに３０秒もかかりません。
時間勝負の普通部の入試においては、短時間で解けるかどうかが勝負の分かれ目です。
詳しくは、下記ページで。
余裕のある人は下の問題を解いてみるとよいでしょう。
