回文数の問題　浅野中学校２０２１年算数第１問（５）

　１２２１のように一の位が０でなく、一の位から逆の順番で読んでも元の数と等しい数を回文数といいます。４桁（けた）の整数で３の倍数となる回文数は全部で[　]個あります。
　また、４桁の整数で１１の倍数となる回文数は全部で[　]個あります。
 

回文数の問題は、算数オリンピックとジュニア算数オリンピックで過去に出されているので、算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子はぜひ解いてみましょう。

４桁の整数で回文数となるものは〇△△〇（〇は１以上９以下の整数、△は０以上９以下の整数）となります。

（前半について）

各位の数の和は（〇＋△）×２となり、これが３の倍数となりますが、２は３で割り切れないから、〇＋△が３で割り切れることになります。

〇と△に入りうる整数を３で割った余りで分類します（０に関しては、△でのみ使用可能）。
　（あ）３で割ると１余る数・・・１、４、７
　（い）３で割ると２余る数・・・２、５、８
　（う）３で割り切れる数・・・０、３、６、９

〇＋△が３で割り切れるのは、次の各場合になります。

　〇＝（あ）、△＝（い）のとき・・・３×３＝９個

　〇＝（い）、△＝（あ）のとき・・・上と同様に、９個

　〇＝（う）、△＝（う）のとき・・・３×４＝１２個

したがって、４桁の整数で３の倍数となる回文数は全部で

　　９＋９＋１２

　＝３０個

あります。

（後半について）
１１の倍数判定法より、すべて１１の倍数となることが分かりますね。
４桁の整数で１１の倍数となる回文数は全部で

　　９×１０

　＝９０個

あります。
なお、３の倍数判定法と１１の倍数判定法については、下記ページの説明を参考にすればよいでしょう。

　倍数判定法について

下の回文数の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

 

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第３１回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２２年トライアル問題５）

　第３１回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２２年トライアル問題５）

今回は、算数オリンピック２０２２年トライアル問題５を取り上げ、解説します。

算数オリンピックの問題ですが、ジュニア算数オリンピックに出されても何の不思議もない問題でしょうね。

この年の算数オリンピックの予選が開催されたのが２０２２年６月１２日だったので、２０２２と６１２という数字が出ています。

因みに、今年の算数オリンピックの予選は２０２５年６月１５日になります。

さて、問題を解いていきましょう。

１桁、２桁、３桁、４桁の整数をそれぞれＡ、ＢＣ、ＤＥＦ、ＧＨＩＪとすると、
　Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＋ＧＨＩＪ＝２６３４
となります。
式を完成させなさいという問題ではなく、？にあてはまる数を求めなさいという問題であることに着目して解きます。
２６３４の各位の和は１５で９で割ると６余る数となります。
開成中学校２０２２年算数第１問（２）と同様にして解きます。
Ａ＋ＢＣ＋ＤＥＦ＋ＧＨＩＪを９で割ったときの余りは
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＋Ｊ
を９で割ったときの余りと一致します（９の倍数判定法が９で割ったときの余りの判定法であることをしっかり頭に入れておくべきでしょう）。
Ａ～Ｊのうち？の数以外の和は４５で９で割り切れるから、？は９で割ると６余る数、つまり６しかありえません。

４＋２５＋６３７＋１９６８－６１２＝２０２２などとすれば与えられた式が実際に成り立ちますが、見つけ方の具体的な手順は省略します。

算数オリンピックにチャレンジするような子であれば、１分もかからずに見つけられると思いますよ。

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２０２５年予選第２問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２５年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２５年予選第２問を取り上げ、解説します。

正のというのは、０より大きいということです。

一見すると難しいそうな問題ですが、中学受験をする小学生なら解いたことがある問題と同じような問題です。
一直線上に並ぶ３つの数の和が全部同じということから、魔方陣がすぐに思い浮かぶでしょう。

その魔方陣を解く際の手法（久留米大学附設中学校２０１８年算数第１問（３）の解答・解説を参照）と同様の手法を用います。

説明の便宜上、図のように記号を振ります。

　　

Ｄがらみの３つの数の和が等しいことに着目すると、

　　Ａ＋Ｇ＝Ｂ＋Ｆ

となり、Ｅがらみの３つの数の和が等しいことに着目すると、

　　Ｃ＋Ｇ＝Ｂ＋Ｈ

となり、この２つの式の和を考えると、

　　Ａ＋Ｃ＋Ｇ×２＝Ｆ＋Ｈ＋Ｂ×２

となります。

両辺に、Ｂ＋Ｇを加えると、

　　Ａ＋Ｃ＋Ｂ＋Ｇ×３＝Ｆ＋Ｈ＋Ｇ＋Ｂ×３

　　１０＋Ｇ×３＝１０＋Ｂ×３

　　Ｇ＝Ｂ

となり、与えられた条件を満たすためには、ＢとＧに割り当てた数が等しくなければならないことがわかりますね。

ここで、Ａ、Ｂ（Ｇ）、Ｃに割り当てた数をそれぞれ〇、□、△（ただし、〇＋□＋△＝１０）とします。

ＡＤＧに着目すると、Ｄに割り当てた数は△となり、ＣＥＧに着目すると、Ｅに割り当てた数は〇となり、ＢＤＧに着目すると、Ｆに割り当てた数は〇となり、ＢＥＨに着目すると、Ｈに割り当てた数は△となり、与えられた条件を常に満たしますね。

結局、〇、□、△の決め方が何通りあるか考えればよいことになります。

１０個の☆を並べ、各☆の間９個のうちから２個を選んで/を入れ、左から１個目の/より左側の☆の個数を〇に割り当てた数、２つの/の間の☆の個数を□に割り当てた数、左から２個目の/より右側の☆の個数を△に割り当てた数と考える（例えば、☆/☆☆☆☆☆/☆☆☆☆であれば、〇、□、△に割り当てた数はそれぞれ１、５、４となります）ことができ、

　　（９×８）/（２×１）

　＝３６通り

考えられます。

最初のところの式変形で若干技巧的なことをしていますが、具体的な数で２、３個実験したところ、Bに割り当てられた数とＧに割り当てられた数が等しくなったので、おそらく一般的に成り立つだろうと考えて、実際にそれを導き出そうとしています。

最後のところの処理は、下の問題の解説と同様に考えることもできます。

 

 

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場合の数（３の倍数の個数）の問題　駒場東邦中学校２０２５年算数第１問（３）

　次の空欄にあてはまる数を答えなさい。
　０、１、２、３、４、５が書かれた６枚のカードがあります。この中から３枚を使って３桁（けた）の整数をつくるとき、できる３桁の整数は全部で[ア]通りあります。このうち、３の倍数であるものは全部で[イ]通りあります。ただし、百の位には、０が書かれたカードは使えません。

（前半について）
ほんの数秒で答えが求められますね。
百の位の数が０以外の５通りあり、そのそれぞれに対して、十の位の数が百の位の数以外の５通りあり、そのそれぞれに対して、一の位の数が百の位の数と十の位の数以外の４通りあるから、３桁の整数は全部で
　　５×５×４
　＝１００通り
できます。
なお、３桁の整数の個数から２桁の整数（デジタル表示で考え、百の位が０の整数）の個数を引いて、
　　６×５×４－（１×）５×４
　＝１２０－２０
　＝１００通り
とすることもできます。

この問題をこの考え方で解くのは面倒なだけですが、あえて余分なものをカウントして、その後でそれを取り除くという考え方は大切です。
（後半について）
まず、カードの数字を３で割った余りで分類します。
　（あ）３で割ると１余る数・・・１、４
　（い）３で割ると２余る数・・・２、５
　（う）３で割り切れる数・・・０、３
３桁の整数が３の倍数となる組み合わせは、（あ）、（い）、（う）のそれぞれのグループから１個ずつ使った場合（Ｐ）と（あ）、（い）、（う）の同一のグループから３個使った場合（Ｑ）になりますが、この問題では、（Ｑ）の場合はありえませんね。
まず、使う３つの数の選び方を考えます。
（あ）からどの数字を選ぶかで２通りあり、そのそれぞれに対して、（い）からどの数字を選ぶかで２通りあり、そのそれぞれに対して、（う）からどの数字を選ぶかで２通りあるから、全部で
　　２×２×２
　＝８通り
あります。
次に、選んだ３つの数の並べ方を考えると、３×２×１＝６通りあります。
したがって、３桁以下の３の倍数（実際には、３桁と２桁の３の倍数）は
　　８×６
　＝４８通り
あります。
このうち２桁の整数（デジタル表示で考え、百の位が０の整数）が何通りあるか考えます。
まず、使う３つの数の選び方を考えます。
（う）からどの数字を選ぶかで１通り（０を選ぶことに確定していますね）あり、そのそれぞれに対して、（あ）からどの数字を選ぶかで２通りあり、そのそれぞれに対して、（い）からどの数字を選ぶかで２通りあるから、全部で
　　（１×）２×２
　＝４通り
あります。
次に、選んだ３つの数の並べ方を考えると、（１×）２×１＝２通りあります。
したがって、２桁の３の倍数は
　　４×２
　＝８通り
あります。
結局、３桁の３の倍数は
　　４８－８
　＝４０通り
あります。
詳しく説明すると長々しいですが、実際には、２×２×２×３×２×１－２×２×２×１＝４０通りというようにできるので、解くのに３０秒もかからないでしょう。

各位の数の和が３の倍数となるものの組合せを書き出した後その並べ替えを考える地道な解法で解くこともできますが、最難関中学校の受験生であれば、上の解法を当然マスターしておくべきでしょう。

なお、下の灘高校の問題の解説では、地道な解法も紹介しています（メインの（３）の問題が解きやすいので、地道な解法を利用しています）。

　灘高等学校２００９年数学第３問

 

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中学入試算数の計算問題（計算の工夫）　大阪教育大学附属池田中学校２０２５年算数第１問（１）

　次の□にあてはまる数を求めなさい。
　１/（２×３）＋２/（３×５）＋３/（５×８）＋５/（８×１３）＝□

 

各分数の分母が部分分数分解を示唆してくれているので簡単な問題ですね。

因みに、１５年ぐらい前にアップロードした下の計算問題の一部になります。

上の問題をアップロードした当時の中学入試では、分子が同じ数のものしか出されていませんでしたが、今は分子が異なるものも普通に出されます。

 

 

 

基本的な部分分数分解の問題（キセル算の問題と呼ばれることもあります）を正しいやり方で解いていれば、分子が異なっても何も変わりませんね。

詳しくは、大阪教育大学附属池田中学校２０２５年算数第１問（１）の解答・解説で。

因みに、Copilotに解いてもらうと、次のようになりました（分数で答えることを要求しなかったら、約0.369と答えてきました）。

それぞれの項を計算すると、

　1/6+2/15+3/40+5/104

この式の分母の最小公倍数を求めて通分すると、

　260/1560+208/1560+117/1560+75/1560

これらを足し合わせると、

　660/1560

さらに約分すると、

　11/26

したがって、分数形式での計算結果は11/26です。

部分分数分解の問題を何問か紹介しておくのでぜひ解いてみましょう。

　高槻中学校２０１３年後期算数第１問（５）

　洛南高等学校附属中学校２００８年算数第１問（２）

　洛南高等学校附属中学校２０１１年算数第１問（４）

　須磨学園中学校２０１３年第３回算数第１問（４）

　洛南高等学校附属中学校２０１４年算数第１問（２）

　洛星中学校２０２０年前期算数第１問（３）

 

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