小学生でも解ける大学入試数学の問題（場合の数・確率）　大阪大学２０２６年理系数学第５問

　さいころ１個を３回連続して投げ、１回目に出た目をa、２回目に出た目をb、３回目に出た目をcとする。このとき、a、b、cのなかで最大の数をmとおき、x=(a+b+c)2/(3abc)とおく。
（１）a=b=cであって、ｘが整数である確率を求めよ。
（２）m=６であって、ｘが整数である確率を求めよ。
（３）mが偶数であったとき、ｘが整数である条件つき確率を求めよ。
（注）
(a+b+c)2→(a+b+c)×(a+b+c)
3abc→３×a×b×c
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
条件つき確率→小学生の場合、とりあえず、ある場合が起こるという条件下で特定の場合が起こる割合と考えればよいでしょう。

 

さいころを３回振り、出た目の和を２回掛け合わせた数を、出た目の積の３倍で割った値をｘとして、ｘが整数である場合を考えるだけのことです。

（１）は３回とも出た目が同じ場合、（２）は６の目が少なくとも１回出た場合、（３）は最大の目が偶数の場合を考えるということです。

さいころを３回以下しか振っていない時点で、小学生でも解ける問題となることがほぼ確定します。

 

 

すべての場合が６×６×６＝２１６通りしかないので、パワーで押し切ることができますからね（もちろん単純にすべての場合を調べるようなことはしませんが・・・）。

特に、時間の長い大学入試では絶対に落としてはいけない問題でしょうね。

与えられたｘをしっかり分析すれば、出た目の和が３の倍数でなければならないことがすぐにわかります。

また、（２）、（３）は偶数の目が少なくとも１つ出ることが確定しているので、出た目の和が６の倍数でなければならないことがすぐにわかります。

このことを利用すれば、あとは「手の運動」のようなものです。

詳しくは、下記ページで。

　大阪大学２０２６年理系数学第５問（問題）

　大阪大学２０２６年理系数学第５問（解答・解説）

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（場合の数・確率、整数）　名古屋大学２０２６年理系数学第３問

　整数の組(a,b,c)に対して、次の条件（＊）を考える。
　（＊）a、b、cは１以上の整数であり、aとbの最大公約数、aとcの最大公約数、bとcの最大公約数はそれぞれ１である。
　以下の問いに答えよ。ただし、組(a,b,c)と(d,e,f)はa＝d、b＝e、c=fのとき、かつこのときに限り等しい。
（１）条件（＊）かつabc＝１２０をみたす組(a,b,c)のうちで、a≦b≦cをみたすものをすべて求めよ。
（２）Ｎを２以上の整数として、Ｎ以下の素数の個数をｍとする。条件（＊）かつabc＝Ｎ！をみたす組(a,b,c)の個数をｍを用いて表せ。
（３）Ｎを２以上の整数として、Ｎ以下の素数の個数をｍとする。条件（＊）かつabc＝Ｎ！をみたす組(a,b,c)のうちで、a≦b≦cをみたすものの個数をｍを用いて表せ。
（注）
かつ→と
abc→a×b×c
Ｎ！→１からＮまでの整数の積
小学生の場合、但し書きは無視して考えればよいでしょう。

 

（１）は小学生でも問題なく解けるでしょう。

（２）は（３）を解くための誘導です。

あえてダブらせて数えた後に重複度で割ってダブりを修正するという解法を使いなさいということです。

東大などでも同じような誘導が出されています。

 

 

因みに、メインの（３）の問題をカットし、（２）の問題をメインとし、（１）の大小設定をなくした問題を（２）に追加したものが文系で出されていました。

この理系の問題の（２）の問題は小学生でもほんの数秒で答えを出せる問題で、（３）を解くための誘導に過ぎないので、ほんと謎です。

文系の問題は、フランス料理店に行ってアミューズと前菜だけを食べて帰るような感じで、ちょっと残念な感じがします。

詳しくは、下記ページで。

　名古屋大学２０２６年理系数学第３問（問題）

　名古屋大学２０２６年理系数学第３問（解答・解説）

 

今回取り上げた名大の問題同様、素因数の割り振りを考える問題を紹介しておくので解いてみるとよいでしょう。

 

 
（灘中対策演習問題より）

　２つの３桁の整数ＡＢＣとＣＢＡがある。ＡＢＣ×ＣＢＡ＝７８２４６となるとき、ＡＢＣ＋ＣＢＡ＝[　]となる。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃは各位の数で、同じ記号には同じ数が入るものとする。

 

小５でも簡単に解けます。

ある特定の素因数に着目して、その割り振りを考えれば調べる場合が激減します。

 

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題　東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問

　nを正の整数とする。座標平面上の３n個の点がなす集合
　｛(x,y)|x、yは１≦x≦３、１≦y≦nを満たす整数}
から相異なる３点を選ぶ。ただし、どの３点も等確率で選ばれるものとする。選んだ３点が三角形の３頂点となる確率をpnとする。
（１）p5を求めよ。
（２）mを２以上の整数とする。p2mを求めよ。
（注）
正の→０より大きい
３n→３×n
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
２m→２×m
問題文は、「等間隔に縦ｎ個、横３個に並んだ合計（３×ｎ）個の点があり、これらの点から異なる３個の点を選ぶ。選んだ３点が三角形の３頂点となる確率を求めよ。」ということです。

 

今回取り上げる問題は、難問ぞろいの今年の東大入試数学におけるオアシスと言える問題です。
今から７０年弱前の東大入試において、数値が変わっただけの問題（等間隔に縦４個、横５個の点が並んだ問題）が出されていますからね。
この古い東大の問題は、灘中対策演習問題に入れていて、灘中を受験する教え子に解いてもらっています。
きっちりとした解き方をしていれば、今年の東大の問題も解けます。
今年の東大の問題は横に３個並んでいるのでむしろ解きやすかったなぁという印象です。

詳しくは、下記ページで。

　東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問（問題）

　東京大学２０２６年理科数学第２問・文科数学第２問（解答・解説）

 

 

 

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題　京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問

　ｎは３以上の整数とする。１からｎまでの番号が書かれたｎ枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が書かれた札はないとする。この袋から３枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号をＸとする。Ｘの期待値を求めよ。
（注）
期待値→小学生の場合、単に平均と考えればよいでしょう。

 

小学生にとっては文字式の処理が若干うっとうしいかもしれませんが、内容的には小学生でも解ける問題です。

中学受験生であれば、組合せを当然マスターしているはずですからね。

途中の計算で、連続３整数の積の和を求める処理が必要となります。

高校生ならシグマ公式一発で終わりですが、小学生には無理なので、シグマ公式を証明する際の手法を利用することになります。

難しく感じるかもしれませんが、２０年以上前に洛星中学校で同種の計算問題が誘導付きで出されています。

 

この問題と同じ手法を用いれば、簡単に計算することができます。

因みに、九州大学などでシグマ公式の証明問題が出されていますが、この手法で簡単に証明することができます。

機会があれば、九大の問題を取り上げ解説したいと思います。

詳しくは、下記ページで。

　京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問（問題）

　京都大学２０２６年理系数学第６問・文系数学第５問（解答・解説）

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（数の性質の問題）　東京大学２０２６年理科数学第６問（１）

 　ｎを正の整数とする。ｎの正の約数の内、３で割って１余るものの個数をf(ｎ)、３で割って２余るものの個数をg(ｎ)とする。
（１）f(２８００)、g(２８００)を求めよ。
（２）省略
（３）省略

「正の」というのは、０より大きいということです。
（２）と（３）は小学生には厳しいので省略しています。

（１）は小学生でも解ける問題で、実際、灘中で同じような問題が出されています。

 

 
因みに、灘中を受験する教え子が取り組む灘中対策演習問題には、次の問題などが入っています。
 

　９１を１２個かけあわせた数の約数のうち、一の位が１となるものは全部で[　]個あります。

 

　３６００の約数Ａを考え、Ａの約数のうち、すべての約数の和が７で割り切れるものＢを考えます。Ｂのうち、３番目に大きいものは[　]です。

 

さて、東大の問題を解いてみましょう。

２８００を素因数分解すると、４×７×１０×１０＝２×２×２×２×５×５×７となります。
３で割ると２余る数である２と５は合わせて偶数個（０個も含みます（以下同じ））使うと、３で割ると１余る数となり、合わせて奇数個使うと、３で割ると２余る数となります（大学受験生なら合同式を用いて説明することになりますが、小学生の場合、上の灘中の問題の解説にあるように、面積図を用いて説明すればすぐにわかることです）。
３で割ると１余る数である７は使っても使わなくても３で割った余りに変化はありません。
f(２８００)について
２の使用個数と５の使用個数の偶奇が一致するときが条件を満たしますね。
２の使用個数と５の使用個数がともに偶数の場合、２は０個か２個か４個の３通りあり、そのそれぞれに対して５は０個か２個の２通りあり、そのそれぞれに対して、７は０個か１個の２通りあります。
また、２の使用個数と５の使用個数がともに奇数の場合、２は１個か３個の２通りあり、そのそれぞれに対して５は１個の１通りあり、そのそれぞれに対して、７は０個か１個の２通りあります。
したがって、
　　f(２８００)
　＝３×２×２＋２×１×２
　＝１６
となります。
g(２８００)について
２の使用個数と５の使用個数の偶奇が異なるときが条件を満たしますね。
f(２８００)と同様に考えると、
　　g(２８００)
　＝３×１×２＋２×２×２　（f(２８００)の２つの積の真ん中の数２と１を入れ替えるだけの作業です。）
　＝１４
となります。

 

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