図のような直角三角形ＡＢＣがあり、三角形ＡＰＣの面積と三角形ＡＢＱの面積は等しくなっています。
（ア）三角形ＡＢＣの底辺をＢＣとしたときの高さを求めなさい。
（イ）ＡＰの長さが１cmのとき、ＣＱの長さを求めなさい。
（ウ）ＡＣとＰＱが平行であるとき、三角形ＢＰＱの面積を求めなさい。
面積比の基本問題です。
解説では、いずれの問題も比を活用して解いています。
次のような問題（（ウ）の問題を少し改造した問題（本質的には同じ問題））を解いてみればこういう解法を採用した理由がわかるはずです。
三角形ＡＢＣがあります。辺ＡＢ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑを取ると、ＡＣとＰＱが平行になり、三角形ＡＰＣの面積と三角形ＡＢＱの面積は等しくなります。このとき、三角形ＢＰＱの面積は三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。
詳しくは、洛星中学校２０２５年前期算数第３問（２）の解答・解説で。
日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１６年予選の問題
今回は日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１６年予選第８問を取り上げます。
同じような問題は中学入試でも出されています（９９９の倍数判定法の問題（灘中学校２００３年１日目第７問、大阪星光学院中学校２００５年第１問（１））、９９９９の倍数判定法の問題（洛南附属高等学校中学校２０２３年算数第３問）、１００１の倍数判定法の問題（灘中学校２００２年算数１日目第２問））。
３７×３＝１１１、１１１×９＝９９９であることを利用します。
各桁の数字が異なる整数は１０桁以下であり、最大のものを求めるのだから、とりあえず１０桁の場合を考えます。
１０桁の整数をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ（Ａ～Ｊは各桁の数で、異なる整数（ただし、Ａは０以外の整数）とします。
１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪは
Ａ×１０００００００００＋ＢＣＤ×１００００００＋ＥＦＧ×１０００＋ＨＩＪ
＝Ａ×９９９９９９９９９＋Ａ＋ＢＣＤ×９９９９９９＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ×９９９＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ
＝Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ＋９９９の倍数（当然３７の倍数ですね）
となるから、１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪが３７の倍数となるのは、Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪが３７の倍数となるときになります。
最大のものを求めるから、とりあえずＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６５４３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます（区切りのいいところで固定して考えます）。
９＋８７６＋５４３＋ＨＩＪ
＝１４２８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋９６＋ＨＩＪ
となり、９９９と３３３は３７の倍数だから、ＨＩＪ＋９６が３７の倍数となるものを考えることになります。
ＨＩＪ＋９６は３の倍数（Ｈ、Ｉ、Ｊの各位の数の和が３の倍数で９６が３の倍数だからです）だから、３７×３＝１１１の倍数となるものを考えることになります（問題文には３の倍数という条件はどこにも書いてありませんが、各桁に使う数字に着目して３の倍数判定法を使うのがポイントで、これを使えないと調べる量が激増します。第３１回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２２年トライアル問題５）で、問題文には９の倍数（９で割った余り）という条件はどこにも書いていないにもかかわらず、各桁に使う数字に着目して９の倍数判定法（９で割った余りの判定法）を使うのがポイントだったのと同じですね）。
ＨＩＪ＋９６は１２＋９６＝１０８以上２１０＋９６＝３０６以下だから、ＨＩＪ＋９６＝１１１つまりＨＩＪ＝１５またはＨＩＪ＋９６＝２２２つまりＨＩＪ＝１２６となりますが、いずれの場合も条件を満たしませんね。
以下、同様の作業となるので、説明を多少端折ります。
ＦとＧの４と３を入れ替えると、ＨＩＪ＋８７＝１１１または２２２より、ＨＩＪ＝２４または１３５となりますが、いずれの場合も条件を満たしませんね。
ＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６４５３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます。
９＋８７６＋４５３＋ＨＩＪ
＝１３３８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋６＋ＨＩＪ
ＨＩＪ＋６＝１１１より、ＨＩＪ＝１０５となりますが、条件を満たしません。
ＦとＧの５と３を入れかえる（９９９＋２２２＋９９＋ＨＩＪを考えることになりますね）と、ＨＩＪ＋９９＝１１１または２２２より、ＨＩＪ＝１２（０１２）または１２３となり、ＨＩＪ＝０１２のときに条件を満たします。
したがって、答えは９８７６４３５０１２となります。
なお、１０桁の整数の各桁に使われる数字の和が４５で９の倍数であることから、最初の段階で１０桁の整数が９×３７＝３３３の倍数であることを使うと、次のようにすることができます（こちらの解法のほうが上の解法より調べる場合がさらに減ります）。
１０桁の整数をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ（Ａ～Ｊは各桁の数で、異なる整数（ただし、Ａは０以外の整数）とします。
１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪは
Ａ×１０００００００００＋ＢＣＤ×１００００００＋ＥＦＧ×１０００＋ＨＩＪ
＝Ａ×９９９９９９９９９＋Ａ＋ＢＣＤ×９９９９９９＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ×９９９＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ
＝Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ＋９９９の倍数（当然３３３の倍数ですね）
となるから、１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪが３３３の倍数となるのは、Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪが３３３の倍数となるときになります。
最大のものを求めるから、とりあえずＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６５４３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます（区切りのいいところで固定して考えます）。
９＋８７６＋５４３＋ＨＩＪ
＝１４２８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋９６＋ＨＩＪ
となり、９９９と３３３は３３３の倍数だから、ＨＩＪ＋９６が３３３の倍数となるものを考えることになります。
ＨＩＪ＋９６は１２＋９６＝１０８以上２１０＋９６＝３０６以下だから３３３の倍数となることはありえませんね。
以下、同様の作業となるので、説明を多少端折ります。
ＦとＧの４と３を入れ替えると、ＨＩＪ＋８７が３３３の倍数となるものを考えることになりますが、この場合もありえませんね。
ＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６４５３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます。
９＋８７６＋４５３＋ＨＩＪ
＝１３３８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋６＋ＨＩＪ
ＨＩＪ＋６が３３３の倍数となるものを考えることになりますが、この場合もありえませんね。
ＦとＧの５と３を入れかえる（９９９＋３３３－１２＋ＨＩＪを考えることになりますね）と、ＨＩＪー１２が３３３の倍数（０も含みます）となるものを考えることになりますが、ＨＩＪ－１２＝０つまり、ＨＩＪ＝０１２のときに条件を満たします。
したがって、答えは９８７６４３５０１２となります。
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日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１２年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１２年予選第３問を取り上げ、解説します。
同じような問題は中学入試でも出されています。
ただ、今回取り上げるJJMOの問題は、答えにルートが絡んで小学生が解くことができないので、少しだけ設定を変えます（本質的には何も変わりません）。
ＢＣ＝４、ＡＢ＝ＡＣで、三角形ＡＢＣの面積を６とします。
ＡＤ＝６×２/４＝３となります。
図のように、斜めの正方形ＡＰＱＢを水平な正方形の中に埋め込みます。
この正方形の面積は（２＋３）×（２＋３）－２×３×２＝１３となります。
また、三角形ＣＳＴを点Ｃを中心に反時計回りに９０度回転すると、三角形ＣＥＡとなり、３点Ｂ、Ｃ、Ｅは一直線上に来ます。
三角形ＡＢＣと三角形ＣＥＡは底辺と高さが等しいから面積も等しくなります。
条件の対等性により、他の三角形も同様ですね。
したがって、六角形ＰＱＲＳＴＵの面積は
６×４＋４×４＋１３×２
＝６６
となります。
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今回は２０１８年のJMOの予選第５問を取り上げます。
「小さな例で実験→観察→規則性の把握→一般化」という規則性の問題の基本的な考え方（麻布中学校１９９９年算数第５問、筑波大学附属駒場中学校２００８年算数第２問、四天王寺中学校２０１８年算数第４問の解答・解説を参照）をしっかりマスターしていれば、小学生でも難なく解けるでしょう。
いきなり１１個のオセロの石を考えるのは厄介なので、とりあえず少ない個数の石で考えます。
（a）において、両端が●で、●と〇が交互に並んでいることに着目して、奇数個の石が（a）と同じように並んでいる場合を考えます。
１個の場合は与えられた作業ができないので、３個の場合から考えます。
●〇●
両端の石を裏返しにすることはできませんね（以下同様）。
左から２番目の石を裏返しにすると、●●●となります。
結局、３個の場合の石の裏返し方は１通りあります。
この１というのは、両端の石を裏返しにすることはできないことから、３－２ということですね。
次に、５個の場合について考えます。
●〇●〇●
左から２番目の石を裏返しにすると、●●●〇●となります。
[●●●]〇●の[●●●]の部分は以後同じ動きをする（この場合は裏返すことはできません）ので、[●●●]の部分を１つの●と考えることができ、３個の場合の石の裏返し方を考えればいいですね。
左から３番目の石を裏返しにすると、●〇〇〇●となります。
●[〇〇〇]●の[〇〇〇]の部分は以後同じ動きをするので、[〇〇〇]の部分を１つの〇と考えることができ、３個の場合の石の裏返し方を考えればいいですね。
左から４番目の石を裏返しにした場合は、対称性を考慮すると、左から２番目の石を裏返しにした場合と同様に考えられますね。
結局、５個の場合の石の裏返し方はは３×１＝３通りあります。
この３というのは、両端の石を裏返しにすることはできないことから、５－２ということですね。
もう決まりが分かりましたね。
１１個の石の裏返し方は
（１１－２）×（９－２）×（７－２）×（５－２）×（３－２）
＝９×７×５×３×１
＝９４５通り
あります。
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右ページのような①～⑦の三角形があります。三角形は裏返してはいけません。また、計算で必要なときは、図の★は２．６、●は２．５として計算しなさい。
（１）２つの三角形を選び、一辺を合わせます。長方形ができるのは何番と何番を選んだときでしょうか。
（２）②～⑦の三角形のうちどれかを選び、①の三角形と一辺を合わせると、角アの大きさを求めることができます。どの三角形を選んだらよいか番号を答え、角アの大きさを求めなさい。
（３）①～⑥の三角形のうちどれかを選び、⑦の三角形と一辺を合わせると、イにあてはまる数を求めることができます。どの三角形を選んだらよいか番号を答え、イにあてはまる数を求めなさい。
図形パズル的な問題で、算数オリンピックなどで出されるタイプの問題です。
（２）、（３）は様々な解法が考えられる問題なので、自分で様々な解法で解いてみるとよいでしょう。
（２）は２つの解法、（３）は３つの解法を紹介しています。
因みに、（２）も（３）も図形のセンスだけでなく、数のセンスも問われています。
１０と５０、３６と２４、３６＋６０と６０＋２４を見れば、何を考えればよいかすぐにわかるはずです。
詳しくは、下記ページで。
下の問題（図形パズル的な問題）もぜひ解いてみましょう。
