５/３＋７/１０＋２/７＋４/１５＋１/２１＋１/３０を計算しなさい。
３と１０と１５は３０の約数、７は２１の約数だから、３０と２１の最小公倍数の２１０で通分できることはすぐにわかりますが、面倒そうですね。
そこで、相性のよさそうな分数を組み合わせて計算します。
分母に７の倍数がある２/７と１/２１をまず計算します。
２/７＋１/２１
＝（６＋１）/２１
＝７/２１
＝１/３
これと５/３を足すと２となりますね。
残りの分数を３０で通分して計算します。
７/１０＋４/１５＋１/３０
＝（２１＋８＋１）/３０
＝３０/３０
＝１
となるから、答えは２＋１＝３となります。
丁寧に書くと上のようになりますが、実際には暗算で答えが求められますね。
次のように、ある規則にしたがって数が並（なら）んでいます。
１/２，４/３，５/６，８/７，９/１０，１２/１１，……
（１）１００番目の数は何ですか。
（２）（ｘ＋１）番目の数とｘ番目の数の差が１/４０２＋１/４０３です。ｘの値を求めなさい。
分数の規則性の問題ですが、分数を知らなくても規則性が分かります。
実際、数は数えられるけど分数を知らない年長さんの教え子に１５番目は何かなぁと尋ねてみると、書き出して答えを出していましたからね。
（２）ですが、分数の引き算が足し算で表されていることがポイントです。
分数の引き算（例えば、１３/１２－１２/１３）において、正しい解き方をしていれば、すぐに意味が分かるはずです。
日常の勉強に対する姿勢が問われる問題です。
詳しくは、下記ページで。
ある整数アのすべての位の数の和を【ア】で表すことにします。
例えば、次のようになります。
【３】＝３
【１０】＝１＋０＝１
【５９７】＝５＋９＋７＝２１
①【２０１９】はいくつになりますか。
②【ア】＝９になる１０００より小さい整数アは何個ありますか。
灘中などで同じような問題が出されています（灘中学校２０２１年算数１日目第３問、六甲学院中学校２０２４年Ｂ算数第４問、栄東中学校２０２５年東大特待Ⅰ算数第１問（３）など）。
メインの②ですが、重複組合せの考え方をマスターしていればほんの数秒で答えが出せますが、帝塚山学院中学校の受験生の場合、この考え方をマスターしていないことが多いでしょう。
すると、地道な解法を選択することになりますが、地道な解法で解いても大した手間ではない灘中の問題とは異なり、ちょっと面倒ですね。
解説では、地道な解法の際にデジタル表示の考え方を利用していますが、この考え方をマスターしていなければ、桁で場合分けして解くことになります。
詳しくは、帝塚山学院中学校２０１９年１次Ａ算数第７問の解答・解説で。
辺ＡＢ、ＡＣ、ＢＣの長さがそれぞれ４cm、３cm、５cmの直角三角形の２つの辺ＡＢ、ＡＣを利用して、直角二等辺三角形ＤＡＢ、ＥＡＣを図のように作ります。かげをつけた部分の面積の和を求めなさい。
ＢＣの長さは不要です。
様々な解法が考えられますが、解説では、２組の相似を利用して辺の比をＡＤ上に集めて解いています。
比をうまく活用することで計算の手間が省けます。
ところで、開成中の受験生であれば、角の二等分線定理を知っているでしょうね。
そこで、角の二等分線定理を利用した解法を紹介しておきます。
ＡＤとＢＣが交わった点をＦとします。
角の二等分線定理より、ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝４：３となります。
三角形ＢＤＦと三角形ＣＥＦのちょうちょ相似（相似比はＢＦ：ＣＦ＝４：３）だから、その面積比は（４×４）：（３×３）＝１６：９となります。
ここで、三角形ＢＤＦの面積と三角形ＣＥＦの面積の差は
三角形ＤＡＢの面積＋三角形ＡＥＣの面積－三角形ＡＢＣの面積
＝４×（４×１/２）×１/２＋３×（３×１/２）×１/２－４×３×１/２
＝４＋９/４－６
＝１/４cm2
だから、求める面積の和は
１/４×（１６＋９）/（１６－９）
＝２５/２８cm2
となります。
まぁ、より高度な知識を使った割にたいして楽になっていないので、微妙な感じですね。
ただ、面積をうまく足し引きする手法はしっかりマスターしておいた方がいいでしょう。
詳しくは、下記ページで。
因みに、この問題と同じような問題を以前取り上げています。
ラ・サール高校の問題の解説では、直角三角形を２個組み合わせた二等辺三角形を作出して解いていますが、今回取り上げた開成中の問題と同様の補助線を引いて解くこともできます。
（ラ・サール高校２０１０年数学第２問（２）の略解）
ＡＤ上に∠ＡＦＣが直角となるような点Ｆを取ります。
開成中の問題と同様の相似の処理を行います。
ＡＥ：ＡＦ＝ＡＢ：ＡＣ＝３：２＝⑮：⑩
ＦＤ＝②、ＤＥ＝③
ＡＤ：ＤＥ＝（⑮－③）：③＝４：１
三角形ＡＤＣの面積：三角形ＢＥＤの面積＝（ＡＤ×ＣＦ）：（ＤＥ×ＢＥ）＝（⑫×２）：（③×３）＝８：３
ある文房具店に鉛筆とボールペンがあり、その本数の比は６：５である。また、黒の鉛筆と黒のボールペンの本数の比は５：３で、黒以外の鉛筆と黒以外のボールペンの本数の比は８：７である。このとき、次の問に答えよ。
（１）鉛筆のうち、黒と黒以外の本数の比を求めよ。
（２）ボールペンの全本数が４００本より多く４５０本より少ないとき、鉛筆の全本数を求めよ。
中学入試でも結構出される問題です。
（１）は簡単な消去算の問題で、（２）は整数条件を利用する問題です。
（１）の答えが５：２８で、（２）の答えが５２８本というのはなかなかおしゃれですね。
詳しくは、下記ページで。
