次の空欄にあてはまる数を答えなさい。
０、１、２、３、４、５が書かれた６枚のカードがあります。この中から３枚を使って３桁（けた）の整数をつくるとき、できる３桁の整数は全部で[ア]通りあります。このうち、３の倍数であるものは全部で[イ]通りあります。ただし、百の位には、０が書かれたカードは使えません。
（前半について）
ほんの数秒で答えが求められますね。
百の位の数が０以外の５通りあり、そのそれぞれに対して、十の位の数が百の位の数以外の５通りあり、そのそれぞれに対して、一の位の数が百の位の数と十の位の数以外の４通りあるから、３桁の整数は全部で
５×５×４
＝１００通り
できます。
なお、３桁の整数の個数から２桁の整数（デジタル表示で考え、百の位が０の整数）の個数を引いて、
６×５×４－（１×）５×４
＝１２０－２０
＝１００通り
とすることもできます。
この問題をこの考え方で解くのは面倒なだけですが、あえて余分なものをカウントして、その後でそれを取り除くという考え方は大切です。
（後半について）
まず、カードの数字を３で割った余りで分類します。
（あ）３で割ると１余る数・・・１、４
（い）３で割ると２余る数・・・２、５
（う）３で割り切れる数・・・０、３
３桁の整数が３の倍数となる組み合わせは、（あ）、（い）、（う）のそれぞれのグループから１個ずつ使った場合（Ｐ）と（あ）、（い）、（う）の同一のグループから３個使った場合（Ｑ）になりますが、この問題では、（Ｑ）の場合はありえませんね。
まず、使う３つの数の選び方を考えます。
（あ）からどの数字を選ぶかで２通りあり、そのそれぞれに対して、（い）からどの数字を選ぶかで２通りあり、そのそれぞれに対して、（う）からどの数字を選ぶかで２通りあるから、全部で
２×２×２
＝８通り
あります。
次に、選んだ３つの数の並べ方を考えると、３×２×１＝６通りあります。
したがって、３桁以下の３の倍数（実際には、３桁と２桁の３の倍数）は
８×６
＝４８通り
あります。
このうち２桁の整数（デジタル表示で考え、百の位が０の整数）が何通りあるか考えます。
まず、使う３つの数の選び方を考えます。
（う）からどの数字を選ぶかで１通り（０を選ぶことに確定していますね）あり、そのそれぞれに対して、（あ）からどの数字を選ぶかで２通りあり、そのそれぞれに対して、（い）からどの数字を選ぶかで２通りあるから、全部で
（１×）２×２
＝４通り
あります。
次に、選んだ３つの数の並べ方を考えると、（１×）２×１＝２通りあります。
したがって、２桁の３の倍数は
４×２
＝８通り
あります。
結局、３桁の３の倍数は
４８－８
＝４０通り
あります。
詳しく説明すると長々しいですが、実際には、２×２×２×３×２×１－２×２×２×１＝４０通りというようにできるので、解くのに３０秒もかからないでしょう。
各位の数の和が３の倍数となるものの組合せを書き出した後その並べ替えを考える地道な解法で解くこともできますが、最難関中学校の受験生であれば、上の解法を当然マスターしておくべきでしょう。
なお、下の灘高校の問題の解説では、地道な解法も紹介しています（メインの（３）の問題が解きやすいので、地道な解法を利用しています）。
