規則性の問題　灘中学校２０１２年算数１日目第６問

　１０枚のカードが横一列に並んでいます。カードには１枚につき１つの数が書かれていて、次の規則(ア)、(イ)をみたしています。
　(ア)左端（はし）のカードには１が、左から２枚目のカードには３が書かれています。 　(イ)左から３枚目以降のカードには、そのカードより左にあるカードに書かれているすべての数の積に２を加えた数が書かれています。
　たとえば、左から３枚目のカードには、１×３＋２＝５なので、５が書かれています。左から４枚目のカードには、１×３×５＋２＝１７なので、１７が書かれています。

　このとき、右端のカードに書かれている数から１を引いた数は、２で[　]回まで割り切ることができます。

 

それぞれのカードに書かれた数の２で割り切れる回数を１枚目から調べていけば、簡単に規則性が見つけられます。
この問題を解くにあたっては不要ですが、５枚目と６枚目を調べる際の式変形で、規則性の裏付けをしています（灘中志望者であれば日常の学習で当然考えておくべきことです）。
この式変形と同様の作業をすれば、ｎ枚の場合について、推測ではなく、きっちりと証明することができます（高校で習う数学的帰納法が必要となります）。

詳しくは、灘中学校２０１２年算数１日目第６問の解答・解説で。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（平面図形の問題）　灘高等学校２０２３年数学第１問（４）

　右の図において、ＢＤ＝ＤＣ＝ＣＡ、ＢＥ＝ＥＡである。∠ＤＥＡの大きさが３２度のとき、∠ＡＢＣの大きさは[　]度である。
（注）
∠→角

　　

 

そのまま灘中の入試に出せそうな問題です。

解説ページでは、円周角の定理を知らないことを前提として合同に着目して処理しましたが、仮に円周角の定理を知っていれば、円周角の定理より、４点Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｃが同一円上にあることがすぐにわかるので、円周角の定理を再び用いて、角ＤＣＡ＝角ＤＥＡ＝３２度とすることができます。

詳しくは、下記ページで。

　灘高等学校２０２３年数学第１問（４）（問題）

　灘高等学校２０２３年数学第１問（４）（解答・解説）

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２０２６年予選第２問

　日本ジュニア数学オリンピック２０２６年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０２６年予選第２問を取り上げます。

a（a＋b）（a＋b＋c）（a＋b＋c＋d）というのは、a×（a＋b）×（a＋b＋c）×（a＋b＋c＋d）ということです。
そのまま中学入試に出されても何の不思議もない問題です。

a＋b＋c＋d＝１＋２＋３＋４＝１０（＝２×５）と気づくことがスタートラインです。
a＋b＋c＋d以外に５の倍数が必要となります。
aは５の倍数となりえないから、a+bかa+b+cが５の倍数となりますが、a＋b＋c＝１０－dが５の倍数となることはないから、a＋bが５の倍数となります。

そこで、a＋bが５の倍数（実際には５）となる組合せを書き出して調べつくします。
a＋bは１＋４または２＋３となり、下の（あ）、（い）の場合が考えられます。
（あ）Ｐ＝a×（１＋４）×（５＋c）×１０（aは１か４、cは２か３）のとき
なるべく大きいほうがよいから、a＝４、c＝３で試すと、Ｐ＝４×５×８×１０＝４０×４０となり、確かに平方数となります。
この場合の他の組合せをチェックする必要はありませんね。
（い）Ｐ＝a×（２＋３）×（５＋c）×１０（aは２か３、cは１か４）のとき
１０が偶数で、２＋３は奇数だから、Ｐが平方数となるためには、aか５＋cの少なくとも一方が偶数でないといけません。
この場合の組合せとしてありうるのは、（a,c）＝（２，１）、（２，４）、（３，１）となります。
（a,c）＝（２，４）で試すと、Ｐ＝２×５×９×１０＝３０×３０となり、４０×４０より小さくなります。
当然（a,c）＝（２，１）の場合も４０×４０より小さくなりますね。
また、（a,c）＝（３，１）で試すと、Ｐ＝３×５×６×１０＝３０×３０となり、４０×４０より小さくなります。
（あ）、（い）より、答えは４０×４０＝１６００となります。

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２６年予選第６問

　日本ジュニア数学オリンピック２０２６年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０２６年予選第６問を取り上げます。

平行線を利用してピラミッド相似を作り出せば簡単に解ける問題です。
頂点Ａを通り、ＰＤ（ＱＥ）に平行な補助線を引き、辺ＢＣと交わった点をＦとします。
　

与えられた角度の条件と平行線の同位角が等しいことから、図の〇をつけた角度は等しくなります。
三角形ＡＢＦと三角形ＰＢＤのピラミッド相似に着目します。
ＢＤ（＝ＤＥ＝ＥＣ）の長さを⑭とすると、ＤＦの長さは⑤となり、ＥＦの長さは⑭－⑤＝⑨となります。
角の二等分線定理（最難関中学校の受験生なら知っているでしょう）より、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＦ：ＦＣ＝（⑭＋⑤）：（⑨＋⑭）＝１９：２３で、ＡＢの長さが５＋１４＝１９だから、ＡＣの長さは２３となります。
なお、角の二等分線定理を知らなければ、角の二等分線定理を使ったところを次のようにすればよいでしょう（いわゆる等高図形の面積比の利用）。
点Ｆから辺ＡＢ、ＡＣにそれぞれ垂線ＦＧ、ＦＨを引きます。
三角形ＡＦＧと三角形ＡＦＨは合同となるから、ＦＧ＝ＦＨとなります。
　　ＡＢ：ＡＣ
　＝三角形ＡＢＦの面積：三角形ＡＣＦの面積（高さが等しい（ＦＧ＝ＦＨ）から）
　＝ＢＦ：ＦＣ　（高さが等しい（Ａから辺ＢＣに引いた垂線）から）
先日取り上げたJJMOの問題同様、底辺を様々な方向で考えてこのように処理しています。

 

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小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック（JMO)２０２６年予選第１問）

　日本数学オリンピック２０２６年予選の問題

 

今回は２０２６年のJMOの予選第１問を取り上げます。

「正の」というのは０より大きいということです。
a20は、aを２０個かけ合わせた数（aの２０乗）です（他も同様）。

 

昨年の京大入試の問題と同じような問題ですね。

　


指数の大きいa、cについて上限チェックを行います。
２の１０乗＝１０２４を利用すると、２の２０乗は１０２４×１０２４となり、明らかに２０２６を超えてしまうから、a＝１と確定します。
　b2＋c6＝２０２６－１＝２０２５
４の６乗＝２の１２乗＝１０２４×４が明らかに２０２５を超えてしまうから、cは３以下となります。
cの候補が高々３つしかないので、調べつくしても簡単に解けますが、少しだけ頭を使って解きます。
一般に、平方数を３で割った余りは０か１となります（面積図を考えれば、０×０、１×１、２×２を３で割った余りを考えれば足ります（上の京都大学の入試問題の解答・解説を参照）。
また、平方数を３乗したものについても同様です。
２０２５は３で割り切れる数だから、条件を満たすのは、cもbも３の倍数のときとなり、c＝３と確定します。
このとき、
　　２０２５－３の６乗
　＝４５×４５－３の６乗　（２０２５＝４５×４５となることを利用しました。）
　＝３の４乗×５×５－３の６乗
　＝３の４乗×（２５－９）
　＝３の４乗×１６
　＝（９×４）の２乗
となり、b＝９×４＝３６となります。

上の解説では、３の平方剰余・非剰余に着目して、cを確定させましたが、２０２５（＝４５×４５）の１つ手前の平方数は２０２５－（４４＋４５）だから、２０２５から１の６乗や２の６乗を引いたところで平方数となるはずがないということは一瞬でわかります。

そのことに着目しても手間は変わりません。

因みに、aの指数は２０ではなく、１９などでも答えは変わりませんが、aの指数を２０にしたのは、a、b、cの指数を順に並べたときに２０、２、６（２０２６）となるようにしたかったからでしょう。

 

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