場合の数（重複組合せ）の問題　栄東中学校２０２５年東大特待Ⅰ算数第１問（３）

　２０２５のように各位の数の和が９である４けたの整数のうち、２０２５未満のものは[　]個あります。

近年、同じような問題が中学入試でよく出されています（（麻布中学校２０１６年算数第５問（（１）の問題は今回取り上げた問題と同じですね）、灘中学校２０２１年算数１日目第３問、六甲学院中学校２０２４年Ｂ算数第４問など）。
まず、千の位が１で各位の数の和が９である４桁の整数が何個あるか考えます。
合計８個の１（〇）を百、十、一の各位に配置すると考えます。

 

例えば、/〇/〇〇〇〇〇〇〇であれば、１０１７となり、〇〇〇/〇/〇〇〇〇であれば、１３１４となります。
〇８個と仕切り２個の配置の仕方を考えればよいから、千の位が１で各位の数の和が９である４桁の整数は
　　（１０×９）/（２×１）
　＝４５個
あります。
次に、千の位が２で各位の数の和が９である４桁の整数（ただし、２０２５未満もの）が何個あるか考えます。
２００７と２０１６の２個だけあります。
したがって、条件を満たす整数は全部で
　　４５＋２
　＝４７個
あります。

２０２６年の受験生は、各位の数の和が１０となる整数が何個あるか考えてみるとよいでしょう。

上で紹介した各問題と異なり、安易に考えると間違えてしまいます。

〇を１０個とも１つの位に配置した場合を排除する必要があります。

 

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平面図形（角度）の問題　洛南高等学校附属中学校２０２１年算数第２問（４）

　下の図において、角（あ）の大きさは[　]度です。
　　　


「回転＋拡大・縮小」が合同を生み出すことが分かっていれば、ほんの数秒で答えが求められます。

詳しくは、洛南高等学校附属中学校２０２１年算数第２問（４）の解答・解説で。

因みに、「回転＋拡大・縮小」が合同を生み出すということは、最難関中学校の受験生や算数オリンピックにチャレンジする子にとっては常識レベルの知識です。

下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２００４年第６問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００４年の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００４年第６問を取り上げ、解説します。

中学入試にも同種の問題（灘中学校１９９７年算数１日目第７問など）が出されていて、本質的には今回取り上げたJMOの問題と何も変わりませんね。

８７７（バナナ）と１５（イチゴ）という数字がおしゃれですね。
まず、２つの魔法について分析します。
魔法Ａを使うと、イチゴの個数は変わらず、バナナの本数がイチゴの個数の分だけ増え、その結果、バナナの本数がイチゴの個数以上となります。
魔法Ｂを使うと、バナナの本数は変わらず、イチゴの個数がバナナの本数の分だけ増え、その結果、イチゴの個数がバナナの本数以上となります。
最初の状態から考えようとしても、どちらの魔法を使ったかわかりませんが、バナナの本数がイチゴの個数より多い最後の状態からさかのぼって考えると、直前に魔法Ａを使ったことがわかり、以下同様に考えることができますね。
そこで、最後の状態からさかのぼって考えます。
（８７７－１５）÷１５＝５７・・・７だから、
　バナナ８７７本　イチゴ１５個　←魔法Ａ５７回←　バナナ２２本　イチゴ１５個
となり、
　バナナ８７７本　イチゴ１５個　←魔法Ａ５８回←　バナナ７本　イチゴ１５個
となります。
イチゴの個数がバナナの本数より多くなったので、直前に魔法Ｂを使ったことがわかりますね。
　バナナ７本　イチゴ１５個　←魔法Ｂ１回←　バナナ７本　イチゴ８個　←魔法Ｂ１回←　バナナ７本　イチゴ１個
となります。
バナナの本数がイチゴの個数より多くなったので、直前に魔法Ａを使ったことが分かりますね。
　バナナ７本　イチゴ１個　←魔法Ａ６回←　バナナ１本　イチゴ１個
となります。
したがって、魔法Ａを５８＋６＝６４回、魔法Ｂを２回の合計６４＋２＝６６回の魔法を使ったことになります。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（資料の整理）　東海高等学校２０２１年数学第１問（２）

　点数が０点以上１０点以下の整数である小テストを７人の生徒が受験したところ、得点の範囲が７点、平均値と中央値がともに６点であり、最頻値は１つのみで７点であった。このとき、７人の得点を左から小さい順に書き並べると[　]である。
 

近年は中学入試でも出されることがあるデータの分析（資料の整理）の問題です。

入試で出されるデータの分析の問題は、単なる計算問題にすぎないものが大半ですが、今回取り上げた東海高校の問題は、頭を使って考えると、面倒な計算を避けることができます。

平均値から総和に持ち込むのではなく、平らに均すという平均の意味を考えて処理するのがポイントです。
東海の問題だからうまく解けるようにできているだろうと信じて頭を使う解法を採用してよかったです。
ただ、実際にはさっと解けるのですが、文章で解説を書くとちょっと面倒ですね。

詳しくは、下記ページで。

　東海高等学校２０２１年数学第１問（２）（問題）

　東海高等学校２０２１年数学第１問（２）（解答・解説）

 

中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について　中学受験・算数の森中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集のお知らせです。中学受験算数のプロ家庭教師が、灘中学校、神戸女学院中学部、洛南高等学校附属中学校などの志望校対策、過去問特訓、浜学園、希学園、日能研などの進学塾の授業のフォロー、苦手分野対策、算数オリンピック対策、低学年からの英才教育、塾なし中学受験指導などを承っています。家庭教師の対象地域は、大阪、神戸、芦屋、西宮、京都な…リンクwww.sansuu.net
 

 

 

 

 

数の性質（単位分数の和）の問題　南山中学校女子部２０２０年算数第５問

（１）１/（２×[ア]）＋１/（３×[ア]）＝１/６となる整数[ア]を求めなさい。
（２）１/（２×[イ]）＋１/（３×[ウ]）＝１/６となる整数[イ]と整数[ウ]を求めなさい。
　ただし、[イ]＜[ウ]とします。

 

単位分数の和の問題です。

（１）は、式の意味を見抜ければほんの数秒で答えが出せます。

（２）は、上限チェック・下限チェックを行えば、[イ]がすぐに求められ、[ウ]もすぐに求められます。

上限チェックの際、消去算的な処理をしています（与えられた式のまま上限チェックすることもできますが、表記が若干煩雑になるので、それを回避しました）。

因みに、南女の出題者の頭の中には、次のような問題があったのかなと思います。

　１/△＋１/□＝１/６となる整数△と□の組をすべて求めなさい。ただし、□は△以上であるとします。

同じような問題が開成中学校でも出されています。

 

 

詳しくは、下記ページで。

　南山中学校女子部２０２０年算数第５問（問題）

　南山中学校女子部２０２０年算数第５問（解答・解説）

 

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