小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２６年予選第６問

　日本ジュニア数学オリンピック２０２６年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０２６年予選第６問を取り上げます。

平行線を利用してピラミッド相似を作り出せば簡単に解ける問題です。
頂点Ａを通り、ＰＤ（ＱＥ）に平行な補助線を引き、辺ＢＣと交わった点をＦとします。
　

与えられた角度の条件と平行線の同位角が等しいことから、図の〇をつけた角度は等しくなります。
三角形ＡＢＦと三角形ＰＢＤのピラミッド相似に着目します。
ＢＤ（＝ＤＥ＝ＥＣ）の長さを⑭とすると、ＤＦの長さは⑤となり、ＥＦの長さは⑭－⑤＝⑨となります。
角の二等分線定理（最難関中学校の受験生なら知っているでしょう）より、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＦ：ＦＣ＝（⑭＋⑤）：（⑨＋⑭）＝１９：２３で、ＡＢの長さが５＋１４＝１９だから、ＡＣの長さは２３となります。
なお、角の二等分線定理を知らなければ、角の二等分線定理を使ったところを次のようにすればよいでしょう（いわゆる等高図形の面積比の利用）。
点Ｆから辺ＡＢ、ＡＣにそれぞれ垂線ＦＧ、ＦＨを引きます。
三角形ＡＦＧと三角形ＡＦＨは合同となるから、ＦＧ＝ＦＨとなります。
　　ＡＢ：ＡＣ
　＝三角形ＡＢＦの面積：三角形ＡＣＦの面積（高さが等しい（ＦＧ＝ＦＨ）から）
　＝ＢＦ：ＦＣ　（高さが等しい（Ａから辺ＢＣに引いた垂線）から）
先日取り上げたJJMOの問題同様、底辺を様々な方向で考えてこのように処理しています。

 

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小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック（JMO)２０２６年予選第１問）

　日本数学オリンピック２０２６年予選の問題

 

今回は２０２６年のJMOの予選第１問を取り上げます。

「正の」というのは０より大きいということです。
a20は、aを２０個かけ合わせた数（aの２０乗）です（他も同様）。

 

昨年の京大入試の問題と同じような問題ですね。

　


指数の大きいa、cについて上限チェックを行います。
２の１０乗＝１０２４を利用すると、２の２０乗は１０２４×１０２４となり、明らかに２０２６を超えてしまうから、a＝１と確定します。
　b2＋c6＝２０２６－１＝２０２５
４の６乗＝２の１２乗＝１０２４×４が明らかに２０２５を超えてしまうから、cは３以下となります。
cの候補が高々３つしかないので、調べつくしても簡単に解けますが、少しだけ頭を使って解きます。
一般に、平方数を３で割った余りは０か１となります（面積図を考えれば、０×０、１×１、２×２を３で割った余りを考えれば足ります（上の京都大学の入試問題の解答・解説を参照）。
また、平方数を３乗したものについても同様です。
２０２５は３で割り切れる数だから、条件を満たすのは、cもbも３の倍数のときとなり、c＝３と確定します。
このとき、
　　２０２５－３の６乗
　＝４５×４５－３の６乗　（２０２５＝４５×４５となることを利用しました。）
　＝３の４乗×５×５－３の６乗
　＝３の４乗×（２５－９）
　＝３の４乗×１６
　＝（９×４）の２乗
となり、b＝９×４＝３６となります。

上の解説では、３の平方剰余・非剰余に着目して、cを確定させましたが、２０２５（＝４５×４５）の１つ手前の平方数は２０２５－（４４＋４５）だから、２０２５から１の６乗や２の６乗を引いたところで平方数となるはずがないということは一瞬でわかります。

そのことに着目しても手間は変わりません。

因みに、aの指数は２０ではなく、１９などでも答えは変わりませんが、aの指数を２０にしたのは、a、b、cの指数を順に並べたときに２０、２、６（２０２６）となるようにしたかったからでしょう。

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２０２６年予選第１問

　日本ジュニア数学オリンピック２０２６年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０２６年予選第１問を取り上げます。
相似の単元と面積比の単元の基本を学習済みであれば、簡単に解ける問題です。

そのまま中学入試に出せそうな問題です。

　　

三角形ＡＢＣとＡＤＥのピラミッド相似（相似比はＢＣ：ＤＥ＝８：４＝２：１）に着目します。
黄色の三角形２つと黄緑色の三角形２つはそれぞれ底辺（ＤＰ）と高さが等しくなるから、面積も等しくなります。
また、黄色の三角形を２つ合わせた三角形とオレンジ色の三角形は、底辺（ＡＤとＤＢ）と高さが等しくなるから、面積も等しくなり、黄緑色の三角形を２つ合わせた三角形と水色の三角形についても同様です。
さらに、色を付けた三角形を集めた三角形は三角形ＡＦＧと底辺（ＢＦ＋ＧＣとＦＧ）と高さが等しいから、面積も等しくなります。
したがって、三角形ＡＢＣの面積は
　　（１＋１＋１＋１＋２＋２＋２＋２）×２
　＝２４
となります。

底辺を様々な方向で考えると簡単に解けましたね。

 

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小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２０１８年予選第７問

　日本ジュニア数学オリンピック２０１８年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０１８年予選第７問を取り上げます。
中学受験生でも（解き方次第では）簡単に解ける問題です。

問題の操作によって最終的に７の倍数にするのだから、最終的に７の倍数になる３桁の整数が何個あるかと考えるのがポイントです。

１桁を変えて３桁の数〇△□となる数が何個あるか考えます（わかりにくければ、具体例（例えば１０５になる数）を考えればよいでしょう）。
百の位の数を変えたものが、０と〇以外の８通りあり、十の位の数を変えたものが、△以外の９通りあり、一の位の数を変えたものが、□以外の９通りありあるから、１桁変えて〇△□となる数は８＋９＋９＝２６個あります。
言い換えれば、１桁変えて〇△□となる数についてのラッキー度の総和は２６となります。
ここで、３桁の７の倍数は
　　[９９９/７]－[９９/７]　（[☆]は☆を超えない最大の整数を表します。）
　＝１４２－１４
　＝１２８個
あるから、求めるラッキー度の総和は
　　２６×１２８
　＝３３２８
となります。

 

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数の性質の問題（ルジャンドルの定理にまつわる有名問題）　京都女子中学校２０２５年Ａ算数第５問

　１から２０までの整数をすべてかけ合わせてできる数１×２×３×・・・×１９×２０を考えます。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）この数は一の位から０がいくつ続いて現れますか。
（２）この数を６でくり返し割っていくと、何回割り切ることができますか。

 

ルジャンドルの定理にまつわる有名問題で、昔から大学入試や高校入試だけでなく、中学入試でも出されています（京都大学２００９年理系甲数学第５問・文系第数学５問、筑波大学附属駒場高等学校２０１７年数学第２問、四天王寺中学校２００５年算数Ｂ第１問（２）、筑波大学附属駒場中学校２００２年算数第１問、神戸女学院中学部２０２５年算数第１問など）。

解説ページでは採用しませんでしたが、１０進数をＮ進数に直す際の手法において余りをカットしたものを利用することもできます（下の高槻中学校を取り上げたページを参照）。

塾で習ったこの作業を意味も分からずにしている子がたまにいますが、問題の解き方を覚えるだけでは何の意味もないでしょう。

 

 

余裕のある人は、与えられた積が２４で何回割り切れるか考えてみるとよいでしょう。

（略解）

[〇]は〇を超えない最大の整数を表します。

[２０/２]＋[２０/４]＋[２０/８]＋[２０/１６]（＋[２０/３２]）＝１８回（２で割り切れる回数）

[２０/３]＋[２０/９]（＋[２０/２７]）＝８回（３で割り切れる回数）
２４で１回割るということは、２で３回割り、３で１回割るということだから、[１８/３]＝６と８の大きくない方の６回が答えとなります。

詳しくは、下記ページで。

　京都女子中学校２０２５年Ａ算数第５問（問題）

　京都女子中学校２０２５年Ａ算数第５問（解答・解説）

下のジュニア数学オリンピックの問題もぜひ解いてみましょう。

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００８年第２問

面倒そうに思えるかもしれません（実際、今回取り上げた問題の解法で解くと少し面倒です）が、適切な解法を選択すれば簡単に解けます。

臨機応変に対処することが大切です。

 

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