辺ＡＢ、ＡＣ、ＢＣの長さがそれぞれ４cm、３cm、５cmの直角三角形の２つの辺ＡＢ、ＡＣを利用して、直角二等辺三角形ＤＡＢ、ＥＡＣを図のように作ります。かげをつけた部分の面積の和を求めなさい。
ＢＣの長さは不要です。
様々な解法が考えられますが、解説では、２組の相似を利用して辺の比をＡＤ上に集めて解いています。
比をうまく活用することで計算の手間が省けます。
ところで、開成中の受験生であれば、角の二等分線定理を知っているでしょうね。
そこで、角の二等分線定理を利用した解法を紹介しておきます。
ＡＤとＢＣが交わった点をＦとします。
角の二等分線定理より、ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝４：３となります。
三角形ＢＤＦと三角形ＣＥＦのちょうちょ相似（相似比はＢＦ：ＣＦ＝４：３）だから、その面積比は（４×４）：（３×３）＝１６：９となります。
ここで、三角形ＢＤＦの面積と三角形ＣＥＦの面積の差は
三角形ＤＡＢの面積＋三角形ＡＥＣの面積－三角形ＡＢＣの面積
＝４×（４×１/２）×１/２＋３×（３×１/２）×１/２－４×３×１/２
＝４＋９/４－６
＝１/４cm2
だから、求める面積の和は
１/４×（１６＋９）/（１６－９）
＝２５/２８cm2
となります。
まぁ、より高度な知識を使った割にたいして楽になっていないので、微妙な感じですね。
ただ、面積をうまく足し引きする手法はしっかりマスターしておいた方がいいでしょう。
詳しくは、下記ページで。
因みに、この問題と同じような問題を以前取り上げています。
ラ・サール高校の問題の解説では、直角三角形を２個組み合わせた二等辺三角形を作出して解いていますが、今回取り上げた開成中の問題と同様の補助線を引いて解くこともできます。
（ラ・サール高校２０１０年数学第２問（２）の略解）
ＡＤ上に∠ＡＦＣが直角となるような点Ｆを取ります。
開成中の問題と同様の相似の処理を行います。
ＡＥ：ＡＦ＝ＡＢ：ＡＣ＝３：２＝⑮：⑩
ＦＤ＝②、ＤＥ＝③
ＡＤ：ＤＥ＝（⑮－③）：③＝４：１
三角形ＡＤＣの面積：三角形ＢＥＤの面積＝（ＡＤ×ＣＦ）：（ＤＥ×ＢＥ）＝（⑫×２）：（③×３）＝８：３
