平面図形の問題（面積）　早稲田大学高等学院中学部２０２５年算数第１問（４）

　半径の長さが３０cmの円と３つの合同な正方形が、次の図のような位置にあります。このとき、この正方形１つ分の面積を求めなさい。

　　

 

有名問題で、ほんの数秒で答えが求められます。

因みに、ジュニア数学オリンピック（JJMO）でも同じような問題が出されています（日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０１５年予選第１問）。

　　

（解法1）

出題者がわざわざ円をかいてくれているので、それを利用して解きます。

上の左側の図のように、正方形をかきます。

黄色の部分の三角形と黄緑色の部分の三角形は合同だから、結局、正方形５つの面積は、青色の正方形（対角線の長さが３０×２＝６０cm）の面積と等しくなります。

したがって、正方形１つの面積は

　　６０×６０×１/２×１/５

　＝３６０cm2

となります。

因みに、この解法の図は下の問題の解法でも出てきます。

　東海中学校２０２４年算数第４問

（解法２）

円を無視して解きます。

正方形を上の右側の図のように並べ、「方眼紙」で解きます。

正方形４×４－３×２＝１０個分の面積が６０×６０＝３６００cm2だから、正方形１つの面積は３６０cm2となります。

因みに、この解法は、下の問題などでも使うことができます。

　東海中学校２００９年算数第９問

なお、上の２つの解法以外にも、垂線を下して、直角三角形の相似に持ち込む解法などもあります。

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（場合の数）　慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第１問（２）

　[１]のカードが３枚、[２]と[３]と[４]のカードが１枚ずつある。これら６枚のカードから４枚を選んで並べてできる４桁の自然数は、全部で何通りあるか。
（注）
自然数→１以上の整数

 

そのまま慶應中等部とか普通部とかの入試に出せそうですね。

１が複数枚あって面倒なので、使用する１の枚数で場合分けして考えます。

いずれの場合も計算で求めることができます。

詳しくは、下記ページで。

　慶應義塾志木高等学校２０２１年数学第１問（２）（問題）

　慶應義塾志木高等学校２０２１年数学第１問（２）（解答・解説）

 

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数の性質（余り）の問題　大谷中学校２０１８年１次Ａ算数第１問（６）

　（２０１４＋２０１５×２０１６×２０１７＋２０１８）÷７を計算したときの余りは[　]です。

 

開成中学校２０２２年算数第１問（２）同様、解くのに１０秒もかかりません。

もちろん、（　）の中の計算をすべてしてから割り算を実行するのではありません。

詳しくは、大谷中学校２０１８年１次Ａ算数第１問（６）の解答・解説で。

 

 

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文章題（整数条件を利用する問題）　雙葉中学校２０２５年算数第４問

　４７人で動物園に行く計画を立てました。４５人以上だと団体料金で入園することができ、全員の入園料が２割引きになります。当日に欠席者が出て、団体料金で入園することができなかったため、予定より全体で６７２円多くかかりました。欠席者は何人でしたか。また、割引き前の１人あたりの入園料は何円ですか。ただし、この入園料は３００円以上１０００円以下です。

（式と計算と答え）

 

条件が足りなさそうな文章題だから、整数条件を利用することを考えるとよいでしょう。

整数条件を利用した後すぐに７パターンを調べつくしてもよかったのですが、少し楽をしようとして、上限と下限をチェックしたら、見事に空振りさせられました。

何も考えずに調べつくせばよかったですね。

因みに、求めた答えの人数では、４５人の団体として料金を支払ったほうが得（神戸女学院中学部２００８年算数第２問を参照）で、微妙な感じでした。

詳しくは、下記ページで。

　雙葉中学校２０２５年算数第４問（問題）

　雙葉中学校２０２５年算数第４問（解答・解説）

 

 

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比と割合の文章題（商売）　灘中学校２０２５年算数１日目第３問

　あるお店は商品Ａを販売（はんばい）しています。商品Ａの定価から仕入れ値と経費を差し引いた金額が利益です。以下では定価、仕入れ値、経費、利益はすべて１個あたりのものを考えます。
　２０２２年の商品Ａの定価は１０００円で、利益は[　]円でした。２０２３年も定価は１０００円でしたが、仕入れ値が２０２２年より２割高くなり、経費は変わらなかったため、利益が２０２２年の６８％になりました。２０２４年は仕入れ値は２０２３年と変わりませんでしたが、経費が２０２３年より４割高くなったので、利益を２０２２年と同じにするために商品Ａの定価を２２０円高くしました。

 

経費という小学生になじみのない言葉があったり、年によって利益などに変化があったりして、一見すると難しそうな問題ですが、実際のところ、大したことはありません。

定価、仕入れ値、経費、利益の変化に着目して消去算に持ち込めば簡単に解けます。

詳しくは、下記ページで。

　灘中学校２０２５年算数１日目第３問（問題）

　灘中学校２０２５年算数１日目第３問（解答・解説）

 

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