小学生でも解ける高校入試数学の問題（素因数分解）　慶應義塾高等学校２０１７年数学第１問（４）

　９９９９７５を素因数分解せよ。

ちまちまと小さい素数で割っていくのは面倒ですね。

そこで、一工夫して解きます。
９９９９７５に近い数できれいなものとして、１００００００がありますが、これは平方数で、そこから平方数の２５を引いたものが９９９９７５となっていますね。
　　９９９９７５
　＝１００００００－２５
　＝１０００×１０００－５×５
　＝（１０００＋５）×（１０００－５）　（「和と差の積＝２乗の差」（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）、関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）の解答・解説を参照）を利用しました。）
　＝１００５×９９５
　＝５×２０１×５×１９９
　＝５×３×６７×５×１９９　（各位の数の和が３の倍数である２０１が３で割り切れることはすぐにわかりますね。）
　＝３×５×５×６７×１９９
６７＜８１（＝９×９）で、６７は、９未満の素数（２、３、５、７）で割り切れないから、素数となります。
また、１９９＜２２５（＝１５×１５）で、１９９は、１５未満の素数（２、３、５、７、１１、１３）で割り切れないから、素数となります。

したがって、３×５×５×６７×１９９が答えとなります。

慶應義塾女子高等学校で、９９９１を素因数分解する問題が過去に出されているので、ぜひ解いてみましょう（南山中学校男子部２０２１年算数第１問（３）のところに解答・解説があります）。

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比を簡単にする問題（約比）　跡見学園中学校２０２５年第１回算数第１問（７）

　次の□にあてはまる数を求めなさい。
　　８８４：５７２＝□：□（最も簡単な整数の比）

倍数判定法を利用して解きます。
下２桁が４の倍数だから、４で約比できることはすぐにわかりますね。
　　８８４：５７２
　＝２２１：１４３
１＋３＝４となっているから、１４３が１１で割り切れることがすぐにわかりますね（１１の倍数判定法の利用）。
２２１が１１で割り切れないことは明らかだから、１３で割り切れるかどうか確認すると、２２１÷１３＝１７となるので、１３で約比することができ、１７：１１となります。
なお、２２１と１４３をともに割り切る数がその差の７８＝２×３×１３も割り切ることを利用してもよいでしょう。

このことについては、下の解説を参照しましょう。

 

 

２２１が２でも３でも割り切れないことは倍数判定法を利用すればすぐにわかるから、１３で割り切れるかどうか確認するだけですね。

因みに、８８４と５７２の最大公約数は４×１３＝５２となります。

少し大きな数の最大公約数を求める問題を紹介しておくので、ぜひ解いてみましょう。

 

 

順天堂大学医学部の問題は、今回取り上げた問題と実質的には何も変わりません。

今回取り上げた問題の解説と同様にして解くと、下のようになります。

１０５０と８１９は各位の和が３の倍数となっているから、ともに３で割り切れます（８１９は、８１と９というように見ると９で割り切れる（当然３で割り切れますね）ことが明らかですが・・・）。
　　１０５０：８１９

　＝３５０：２７３

３５０と２７３を割り切る数はその差の７７＝７×１１も割り切ります。

３＋０と５が等しくないから、３５０は１１で割り切れません（１１の倍数判定法の利用）。

３５０が７で割り切れることは明らかで、３５０から７の倍数である７７を引いた２７３も当然７で割り切れるから、最大公約数は３×７＝２１となります。

 

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中学入試算数の計算問題　東海中学校２０１８年算数第１問（１）

　次の□に当てはまる数を求めなさい。
　　５．６×（０．７５－１/３）－（５．１９－２．３１）÷２７/２０＝□
 

基本的な計算問題です。

東海中の受験生でこの問題が解けない子はいないはずなので、短時間で解けるかどうかが勝負の分かれ目です。

例えば、前半部分の計算で無駄な約分をしてしまうと時間をロスしてしまいます。

前半部分の計算をする際に、後半部分も視野に入れながら処理することが大切です。

詳しくは、東海中学校２０１８年算数第１問（１）の解答・解説で。

 

 

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中学入試算数の計算問題（平均の利用）　愛知中学校２０２５年算数第１問（２）

　次の□に当てはまる数を答えなさい。
　（２０５６＋２０４０＋２０２４＋２００８＋１９９２）÷１０１２＝□

 

（　）内の５つの数の平均が２０２４であることに着目すれば一瞬で答えが求められます。

詳しくは、愛知中学校２０２５年算数第１問（２）の解答・解説で。

平均を利用すると簡単に解ける計算問題で、もう少し難しい問題を紹介しておきます。

 

 

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（消去算の問題）　ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（１）

　ある正の整数Ｎは正の整数a、b、cを用いて、Ｎ＝６a＋４b＋６cともＮ＝５a＋６b＋５cとも表される。
（ⅰ）Ｎをbだけを用いて表せ。
（ⅱ）Ｎが１７０以上、１８０以下の整数とするとき、a＋b＋cの値を求めよ。
（注）
正の→０より大きい
６a→６×a（他も同様）

 

簡単な消去算の問題で、小学生でも普通に解けるでしょう。

６a＋４b＋６cと５a＋６b＋５cを見比べれば、（ⅰ）の答えが簡単に求められますね。

（ⅱ）は、整数条件（倍数条件）を利用すればおしまいです。

詳しくは、下記ページで。

　ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（１）（問題）

　ラ・サール高等学校２０１０年数学第２問（１）（解答・解説）

 

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