小学生でも解ける高校入試数学の問題（場合の数・確率の問題）　灘高等学校２０１８年数学第３問

　１個のサイコロを３回続けてふり、出た目の数を順にa、b、cとする。
（１）ab＝６となる確率を求めよ。
（２）（ab－６）（bc－６）（ca－６）＝０となる確率を求めよ。
（３）（ab－４）（bc－４）（ca－４）＝０となる確率を求めよ。
（注）
ab=６→a×b＝６（他も同様）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
（ab－６）（bc－６）（ca－６）＝０→（ab－６）×（bc－６）×（ca－６）＝０（他も同様）

 

灘高の入試問題ですが、小学生でも解ける問題です。

灘高入試の場合の数・確率の問題にありがちなことですが、灘中の入試問題よりも簡単でしょう。

（１）は（２）を解くためのヒントになっています。

（２）と（３）はダブりに注意するだけです。

（２）と（３）の違いは、トリプルカウントがあるかどうかだけです。

トリプルカウントがあろうがなかろうがその可能性に注意を払わないといけないのだから、（２）と（３）の両方を問う意味はないような気がします。

（２）でトリプルカウントの可能性を検討したときに、６が平方数でないからトリプルカウントがないという結論に至るので、当然６が４になった場合は、トリプルカウントがあるだろうと（２）の時点で見切ることができますからね。

詳しくは、下記ページで。

　灘高等学校２０１８年数学第３問（問題）

　灘高等学校２０１８年数学第３問（解答・解説）

 

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最大公約数を求める問題（難問？）　順天堂大学・茨城大学

（問題１）
順天堂大学２０１９年医学部数学第３問（１）
　１０５０と８１９の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。

小学生の場合、ユークリッドの互除法を用いてという条件は無視して考えればよいでしょう。
この条件は（２）以降の問題を解くためのヒントにすぎませんからね。
（解答・解説）
一般に、２数を割り切る数は、その差も割り切ります。
このことを利用します（下のページの解説を参照）。

 

 

１０５０と８１９をともに割り切る数は、１０５０－８１９＝２３１も割り切ります。
２３１は、各位の数の和が３で割り切れるから、２３１＝３×７７＝３×７×１１とすぐにできますね。
１０５０は１１では割り切れない（倍数判定法の利用）から、２数の最大公約数の句補は２１の約数となります。
１０５０が２１で割り切れることは数（１０５の部分）を見ただけでわかりますね。
当然、８１９（＝１０５０－２３１）も２１で割り切れるので、２１が答えとなります。
文章にすると長々しいですが、実際のところ答えを求めるのに３０秒もかかりません。
因みに、ユークリッドの互除法を用いて解くと下のようになります。
　　１０５９＝８１９×１＋２３１
　　８１９＝２３１×３＋１２６
　　２３１＝１２６×１＋１０５
　　１２６＝１０５×１＋２１
　　１０５＝２１×５（＋０）
したがって、２１が答えとなります。
ユークリッドの互除法を知っていたとしても、文字式ならともかく、具体的な数の場合は、必要に応じて、途中で作業を打ち切り、約数を考えるとよいでしょう。

（問題２）
茨城大学２０２２年前期教育学部数学第１問（１）
　４７５７と２０５９の最大公約数を求めよ。

（解答・解説）
一般に２数を割り切る数は、一方を何倍かした数と他方の差も割り切ります。
このことを利用します。
４７５７と２０５９をともに割り切る数は、４７５７と２０５９×２＝４１１８の差４７５７－４１１８＝６３９も割り切ります。
６３９＝９×７１で、各位の数の和が３で割り切れない数である２０５９は３の倍数でないから、２数の最大公約数の候補は７１の約数となります。
２０５９が７１の３０倍ぐらいであることに着目すると、２０５９＝２１３０－７１とすぐにすることができ、７１で割り切れることが確認できます。
当然、４７５７（＝２０５９×２＋６３９）も７１で割り切れるので、７１が答えとなります。
これも解くのに３０秒もかからないでしょう。

 

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平面図形（角度）の問題　同志社香里中学校２０２５年前期算数第２問（１）

　右の図において、印をつけた角度の和は何度ですか。

　　　　　　　　　　　　　　

 

角度の典型問題の１つで、同じような問題がどの塾のテキストでも取り上げられているでしょう。

様々な解法が考えられますが、解説では、３つの解法を紹介しています。

いずれの解法でも、１０秒以内に暗算で答えが求められるでしょう。

詳しくは、同志社香里中学校２０２５年前期算数第２問（１）の解答・解説で。

 

 

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場合の数の問題　甲南中学校２０２４年３期算数第４問

　次のように、同じ数字の入った整数（１１、２２、１００、１０１など）を除いた整数が並んでいます。
　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１２，１３，・・・，９８，１０２，１０３，・・・
（１）５０は何番目の整数ですか。
（２）１００番目の整数は何ですか。
（３）３けたの整数は何個ありますか。

 

場合の数の基本問題です。

（１）と（３）はいずれも１０秒程度で解けるでしょう。

（３）は、「同じ数字の入った整数（中略）を除いた整数」という言葉に騙されないことが大切です。

（２）は、２桁以下の整数で条件を満たすものが９０個であることがすぐにわかるので、あと１０個を調べつくせばよいでしょう。

詳しくは、下記ページで。

　甲南中学校２０２４年３期算数第４問（問題）

　甲南中学校２０２４年３期算数第４問（解答・解説）

 

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場合の数の問題（お金の支払い方）　早稲田実業学校中等部２０２５年算数第１問（３）

　５００円硬貨（こうか）、１００円硬貨、５０円硬貨がたくさんあります。これらの硬貨を使って１６００円を支払（しは）う方法は何通りありますか。ただし、使わない硬貨があってもよいものとします。

１６００円の支払い方を表のようなもので書き出して規則性を見つけて解くこともできますが、少し違う解き方をしてみましょうか。
１６００円以下の１００の倍数の金額（０円も含みます）を５００円硬貨と１００円硬貨で支払う方法を考えればいいですね。
１６００円に足りない分は５０円硬貨で支払うことができるからです。
因みに、表のようなもので書き出して解く場合も５０円硬貨の枚数についていちいち考えてはいけません。
意味のない無駄に作業になりますからね。
さて、話を戻します。
　０円～４００円・・・それぞれ１通り（５００円硬貨が０枚）で、合計１×５＝５通り
　５００円～９００円・・・それぞれ２通り（５００円硬貨が０枚か１枚か）で、合計２×５＝１０通り
　１０００円～１４００円・・・それぞれ３通り（５００円硬貨が０枚か１枚か２枚か）で、合計３×５＝１５通り
　１５００円と１６００円・・・それぞれ４通り（５００円硬貨が０枚か１枚か２枚か３枚か）で、合計４×２＝８通り

（なお、上記の作業において、１００円硬貨の枚数についていちいち考える必要がないことに注意しましょう。）
したがって、１６００円の支払い方は全部で
　　５＋１０＋１５＋８
　＝３８通り
あります。
余裕のある人は下の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

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