１/１２＝１/△＋１/□となる整数△と□の組をすべて求めなさい。ただし、□は△以上であるとします。また、解答欄（らん）をすべて用いるとはかぎりません。
（解答欄は１０個ありました。）
単位分数の和の問題です。
通常、範囲をしぼって調べつくせば簡単に解決します。
単位分数２つや３つである程度大きな数（例えば１に近い数など）を作る場合、大きな単位分数が限られているため、答えの候補はそんなにありませんからね。
ただ、今回取り上げた開成中の問題の場合、与えられた分数（１/１２）が小さいので、範囲をしぼって解こうとしても答えの候補が多くて面倒ですね。
そこで、解説では、通分を分析して解いています。
ただ、答えが８個もあったので、結果として、あまり楽になったという感じはしませんね。
△は１２より大きく、１２×２＝２４以下の整数で、１７とか１９とか明らかにありえないものがあるため、全部調べつくしても３分ぐらいでできそうですからね。
詳しくは、下記ページで。
ＡＢ＝２、ＡＤ＝３の長方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＢの中点をＥ、辺ＡＤを２：１に分ける点をＦとする。このとき、∠ＡＦＥ＋∠ＢＣＥの大きさを求めよ。
（注）
中点→真ん中の点
∠→角
小学生でも簡単に解ける問題で、解くのに１０秒もかからないでしょうね。
正方形を３つ組み合わせた図形で、色を塗った角の大きさの和を求める問題は、どの中学受験の塾のテキストでも取り上げられている典型問題で、一瞬で答えを出せる小学生がかなりいますが、今回取り上げた塾高の問題はこの問題と同じですからね。
詳しくは、下記ページで。
この問題を難しくした問題が下にあるので、余裕のある人は解いてみるとよいでしょう。
論点は、上で紹介した典型問題と同じであることが見え見えですが、解き始めてみると、意外と難しいと感じると思います。
図においてＡＢ＝３、ＡＣ＝２、直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線であり、ＡＥ⊥ＢＥである。点Ｄは直線ＡＥとＢＣの交点である。
（ⅰ）線分の長さの比ＡＤ：ＤＥを求めよ。
（ⅱ）面積の比△ＡＤＣ：△ＢＥＤを求めよ。
（注）
直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線→直線ＡＥが角ＢＡＣの大きさを２等分するということです（図の２つの〇を見ればわかることですね）。
⊥→垂直
灘中学校や東海中学校など、レベルの高い平面図形の問題を出す中学校の受験生を教えるときに取り扱う問題の１つです。
直角三角形を２つ組み合わせて二等辺三角形を作り出す解法のマスターにちょうどいいですし、解説で紹介した２つの解法を確認すれば、いわゆる隣辺比、ベンツ切り、等高図形の面積比の確認ができますからね。
行き掛けの駄賃として、角の二等分線定理も確認できるので、この１問を通じて様々なことを学ぶことができます。
こういう学習は、志望校対策で過去問を取り扱う際にも大切なことです。
単に過去問を解いて、解けたとか解けなかったとか確認するだけでは不十分です。
すでに実力が完成してほぼ満点を取れるのであれば、時間を短縮して過去問に取り組み、解けなかった問題の解法等を確認する勉強でもいいでしょうが、そうでなければ、こんな学習をしても本当の実力はつきません。
過去問を学ぶのではなく、過去問で（様々なことを）学ぶことが肝要です。
詳しくは、下記ページで。
日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１７年予選の問題
今回は日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１７年予選第７問を取り上げます。
「正の」というのは０より大きいということで、「２P(ｎ)」は２×Ｐ(ｎ)ということです。
倍数判定法をうまく利用すれば、小学生でも解ける問題です。
中学入試で出される条件不足のつるかめ算の問題の処理（神戸女学院中学部２００９年算数第２問、武蔵中学校２００９年算数第３問、神戸女学院中学部２０１４年算数第１問、渋谷教育学園幕張中学校２０１８年１次算数第２問などの解答・解説を参照）と同じような感じですからね。
ｎの百の位の数を〇、十の位の数を□、一の位の数を△（〇は１以上９以下の整数、□と△は０以上９以下の整数）とします。
与えられた条件から、
〇×１００＋□×１０＋△×１＝２×〇×□×△＋２７
となります。
２×〇×□×△＋２７は奇数だから、△も奇数となります。
（あ）△＝１のとき
２×〇×□×△＋２７
＝２×〇×□×１＋２７
≦２×９×９×１＋２７（上限チェック！（以下同様））
＝１８９
だから、〇は１となります。
このとき、２×〇×□×△＋２７＝２×１×□×１＋２７≦２×１×９×１＋２７＝４５＜１００となり、条件を満たしませんね。
（い）△＝３のとき
２×〇×□×△＋２７
＝２×〇×□×３＋２７
≦２×９×９×３＋２７
＝５１３
だから、〇は１～５のいずれかの数となり、さらに、
２×〇×□×３＋２７
≦２×５×９×３＋２７
＝２９７
となるから、〇は１か２となり、さらにまた、
２×〇×□×３＋２７
≦２×２×９×３＋２７
＝１３５
となり、〇は１となります。
このとき、２×〇×□×△＋２７＝２×１×□×３＋２７≦２×１×９×３＋２７＝８１＜１００となり、条件を満たしませんね。
（う）△＝５のとき
２×〇×□×△＋２７＝２×〇×□×５＋２７の一の位の数が７となり、この場合はありえませんね。
（え）△＝７のとき
２×９×９×７が１０００を超えてしまうので、上限チェックをしても何の意味もないですね。
そこで、与えられた条件から得られる式をよく観察します。
〇×１００＋□×１０＋７×１＝２×〇×□×７＋２７
〇×１００＋□×１０＝２×〇×□×７＋２０
〇×１００、□×１０、２０はいずれも５の倍数だから、２×〇×□×７も５の倍数となり、（２と７は５と互いに素だから、）〇か□が５の倍数、つまり５となります。
〇＝５のとき
５×１００＋□×１０＝２×５×□×７＋２０
４８０＝□×６０
□＝８
このとき、ｎ＝５８７となります。
□＝５のとき
〇×１００＋５×１０＝２×〇×５×７＋２０
〇×１００＋５０＝〇×７０＋２０
となり、左辺が右辺より大きくなることが明らかだから、この場合はありえませんね。
（お）△＝９のとき
〇×１００＋□×１０＋９×１＝２×〇×□×９＋２７
ｎ（２×〇×□×９＋２７）が９の倍数だから、ｎの各位の数の和（〇＋□＋９）は９の倍数となり、〇＋□＝９か１８となります。
〇＋□＝９のとき
〇×９０＋（〇＋□）×１０＋９＝２×〇×□×９＋２７（分配法則の逆を利用しました。）
〇×９０＋９×１０＋９＝２×〇×□×９＋２７
〇×１０＋１０＋１＝２×〇×□＋３（式全体を１/９倍しました。）
〇×１０＋８＝２×〇×□
〇×５＋４＝〇×□（式全体を１/２倍しました。）
４＝〇×□ー〇×５
４＝〇×（□ー５）（分配法則の逆を利用しました。）
〇と□ー５は４の約数のペアで、その和が９－５＝４となるから、〇＝２、□ー５＝２となります。
このとき、ｎ＝２７９となります。
〇＋□＝１８のとき
〇＝□＝９となりますが、２×９×９×９＋２７＞１０００となり、条件を満たしませんね。
（あ）～（お）より、答えは５８７と２７９となります。
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次の①～③のルールにしたがって整数をつくって、左から右へ順番に並べていきます。
＜ルール＞
①１番目の数を０とする。
②２番目の数をaとする。（aは１けたの整数とする。）
③３番目からあとの数は、１つ前につくった数と２つ前につくった数をたした数の１の位の数とする。
このルールで整数を並べたときのn番目の数を、(a、n)と表します。たとえば、a＝１とすると、数が０、１、１、２、３、５、８、３、…… と並ぶので、(１、８)＝３となります。
次の各問いに答えなさい。
（１） (１、n)＝0 にあてはまるnのうち、２番目に小さい数を求めなさい。
（２） (１、２０２３)＋(a、２０２３)＝１０にあてはまるaをすべて求めなさい。
フィボナッチ数列と余りの周期性の問題です。
同種の問題は渋幕で過去に出されています（渋谷教育学園幕張中学校２００８年２次算数第３問）が、その問題とは雲泥の差があります。
実際、この問題は大学入試レベルで、以前取り上げた一橋大学の問題より難しい（作業量が多いので面倒）でしょう。
この一橋大学の問題は愚直に数を書き出して解いたところで２８個で済みますし、大学入試は時間が長いので問題ないですが、今回取り上げる渋幕の問題は愚直に書き出すと６０個も書き出さないといけないので、かなり面倒なことになります。
試験時間はそれほど長くないですし、書き出している途中で計算を間違えたかもしれないと不安になったりしかねないですしね。
解説では６０個書き出すという愚直な解法ではなく、少し頭を使って解く方法を紹介しています。
因みに、今回取り上げた問題と同様の問題が、東京出版のマスター・オブ・整数でも取り上げられていますが、その問題と比べても渋幕の問題は難しいと言えるでしょう。
詳しくは、下記ページで。
渋谷教育学園幕張中学校２０２３年１次算数第２問（解答・解説）
