（問題１）
早稲田中学校２０１９年算数第１問（１）
５０８０/５２０７を最も簡単な分数にしなさい。
（解答・解説）
５０８０/５２０７が１に近い数で、１より１２７/５２０７小さい数であることに着目して、約分します。
１１×１１＝１２１＜１２７＜１４４＝１２×１２で、１２７は、１１以下の素数２、３、５、７、１１のいずれの数でも割り切れないから、素数となります。
１２７/５２０７が約分できるとしたら、１２７ということになります。
５２０７÷１２７＝４１だから、５０８０/５２０７は１より１/４１小さい数となり、４０/４１に他ならないことになります。
上の解法は、ユークリッドの互除法の考え方を一切意識しなくてもできることです。
分数を習い始めた時に、例えば１１/１２と１２/１３の大小を比べる問題があり、その際、１１/１２は１まであと１/１２（１より１/１２小さい数）、１２/１３は１まであと１/１３（１より１/１３小さい数）で、１/１２のほうが１/１３より大きいから、１１/１２のほうが１２/１３より小さいとしたはずです。
この解法を応用しています。
（問題２）
慶應義塾高等学校２０２０年数学第１問（２）
３００７/３２０１を既約分数に直すと、[ ]である。
（解答・解説）
一般に、２数を割り切る数は、その差も割り切ります。
このことを利用します。
３００７と３２０１がともに同じ長さの線分（☆）の寄せ集めになっているから、３２０１と３００７をともに割り切る数は、その差３２０１－３００７＝１９４も割り切ります（線分図を参照）。
１９４の約数が約分できる数の候補になります。
１９４を素因数分解すると、２×９７となり、３００７は２で割り切れないから、３００７が９７で割り切れることになります（３００７が９７で割り切れないと、約分できないことになり、既約分数に直すという言葉に反しますね）。
３００７÷９７＝３１で、３２０１は３００７＋２×９７だから、これを９７で割ると３１＋２＝３３となります。
したがって、答えは３１/３３となります。
やっていることは実質的には同じことです（頭の中で考えていることは違います）が、（問題１）の解法と同様にすることもできます。
３００７/３２０１は１より１９４/３２０１小さい数ですね。
１９４を素因数分解すると２×９７となります。
３２０１は明らかに２で割り切れませんね。
また、３２０１÷９７＝３３だから、３００７/３２０１は１より２/３３小さい数となり、３１/３３に他ならないことになります。
（問題３）
横浜市立大学２０１７年医学部・国際総合科学部数学第１問（１）
１４８９５３/２９８７６７を約分して、既約分数にせよ。
（解答・解説）
一般に２数を割り切る数は、一方を何倍かした数と他方の差も割り切ります。
このことを利用します。
１４８９５３と２９８７６７をともに割り切る数は、２９８７６７と１４８９５３×２＝２９７００６の差２９８７６７－２９７９０６＝８６１も割り切ります。
このことは次のような線分図をイメージ（１４８９５３と２９７９０６がともに同じ長さの線分（☆）を寄せ集めたイメージ）すれば明らかでしょう。
８６１の約数が約分できる数の候補となります。
３）８６１
７）２８７
４１
１＋４＋８＋９＋５＋３＝３０だから、１４８９５３は３で割り切れます（3の倍数判定法の利用）。
１４８＋９５３＝１００１だから、１４８９５３は７で割り切れます（7の倍数判定法（灘中学校２０１９年算数２日目第１問の解答・解説を参照）の利用）。
論理的な理由ではありませんが、3で約分してさらに7で約分するだけの問題をわざわざ大学入試で問うはずがないと考えられる（小さい素数で順に割っていけば３と７の約分にはすぐに気づくからです）から、おそらく４１で割り切れるだろうと予測できますね。
そこで、１４８９５３を８６１で割ってみます。
１４８９５３÷８６１＝１７３で、２９８７６７は１４８９５３×２＋８６１だから、これを８６１で割ると１７３×２＋１＝３４７となります。
したがって、答えは１７３/３４７となります。
ところで、３９/９１を約分すると３/７となりますが、３９/９１の逆数である９１/３９を約分すると当然３/７の逆数の７/３となりますね。
このことに着目して解いてみます。
２９８７６７/１４８９５３=２＋８６１/１４８９５３（帯分数に直しただけです）となるから、８６１の約数が約分できる数の候補です。
あとは、上の解法と同じです。
早稲田中学校と慶應義塾高校の問題でも同様の解法が可能です。
