小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２０１８年予選第７問

　日本ジュニア数学オリンピック２０１８年予選の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０１８年予選第７問を取り上げます。
中学受験生でも（解き方次第では）簡単に解ける問題です。

問題の操作によって最終的に７の倍数にするのだから、最終的に７の倍数になる３桁の整数が何個あるかと考えるのがポイントです。

１桁を変えて３桁の数〇△□となる数が何個あるか考えます（わかりにくければ、具体例（例えば１０５になる数）を考えればよいでしょう）。
百の位の数を変えたものが、０と〇以外の８通りあり、十の位の数を変えたものが、△以外の９通りあり、一の位の数を変えたものが、□以外の９通りありあるから、１桁変えて〇△□となる数は８＋９＋９＝２６個あります。
言い換えれば、１桁変えて〇△□となる数についてのラッキー度の総和は２６となります。
ここで、３桁の７の倍数は
　　[９９９/７]－[９９/７]　（[☆]は☆を超えない最大の整数を表します。）
　＝１４２－１４
　＝１２８個
あるから、求めるラッキー度の総和は
　　２６×１２８
　＝３３２８
となります。

 

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数の性質の問題（ルジャンドルの定理にまつわる有名問題）　京都女子中学校２０２５年Ａ算数第５問

　１から２０までの整数をすべてかけ合わせてできる数１×２×３×・・・×１９×２０を考えます。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）この数は一の位から０がいくつ続いて現れますか。
（２）この数を６でくり返し割っていくと、何回割り切ることができますか。

 

ルジャンドルの定理にまつわる有名問題で、昔から大学入試や高校入試だけでなく、中学入試でも出されています（京都大学２００９年理系甲数学第５問・文系第数学５問、筑波大学附属駒場高等学校２０１７年数学第２問、四天王寺中学校２００５年算数Ｂ第１問（２）、筑波大学附属駒場中学校２００２年算数第１問、神戸女学院中学部２０２５年算数第１問など）。

解説ページでは採用しませんでしたが、１０進数をＮ進数に直す際の手法において余りをカットしたものを利用することもできます（下の高槻中学校を取り上げたページを参照）。

塾で習ったこの作業を意味も分からずにしている子がたまにいますが、問題の解き方を覚えるだけでは何の意味もないでしょう。

 

 

余裕のある人は、与えられた積が２４で何回割り切れるか考えてみるとよいでしょう。

（略解）

[〇]は〇を超えない最大の整数を表します。

[２０/２]＋[２０/４]＋[２０/８]＋[２０/１６]（＋[２０/３２]）＝１８回（２で割り切れる回数）

[２０/３]＋[２０/９]（＋[２０/２７]）＝８回（３で割り切れる回数）
２４で１回割るということは、２で３回割り、３で１回割るということだから、[１８/３]＝６と８の大きくない方の６回が答えとなります。

詳しくは、下記ページで。

　京都女子中学校２０２５年Ａ算数第５問（問題）

　京都女子中学校２０２５年Ａ算数第５問（解答・解説）

下のジュニア数学オリンピックの問題もぜひ解いてみましょう。

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００８年第２問

面倒そうに思えるかもしれません（実際、今回取り上げた問題の解法で解くと少し面倒です）が、適切な解法を選択すれば簡単に解けます。

臨機応変に対処することが大切です。

 

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文章題（仕事算の問題）　三田学園中学校２０２５年前期Ａ算数第１問（６）

　ある仕事をＡさんとＢさんの２人で行うと４分３３秒で終わりました。同じ仕事をＡさんが１人で行うと７分で終わりました。同じ仕事をＢさんが１人で行うと何分かかりますか。

 

タイトルは一応仕事算にしていますが、実質的には単なる比例の問題です。

与えられた２つの条件の違い（差）を考えることがスタートラインです。

あとは、以前取り上げた同志社中の問題の解説と同様の手法で簡単に解けます。

 

 

詳しくは、三田学園中学校２０２５年前期Ａ算数第１問（６）の解答・解説で。

 

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場合の数の問題　フェリス女学院中学校２０２３年算数第４問（１）

　サイコロを３回振ります。１回目に出た目の数をＡ、２回目に出た目の数をＢ、３回目に出た目の数をＣとします。
　Ａ×Ｂ×Ｃの値が偶数となるようなサイコロの目の出方は[ア]通りあります。
　Ａ×Ｂ×Ｃの値が８の倍数となるようなサイコロの目の出方は[イ]通りあります。
　[ア]、[イ]にあてはまる数を答えなさい。
 
後半の問題は前半の問題と比べると差がつきやすい問題です。
いずれの問題も余事象を利用することで簡単に解けます。
後半の問題は、場合分けした後、その一部の場合で余事象を利用するとよいでしょう。
詳しくは、下記ページで。

　フェリス女学院中学校２０２３年算数第４問（１）（問題）

　フェリス女学院中学校２０２３年算数第４問（１）（解答・解説）

 

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場合の数の問題　慶應義塾湘南藤沢中等部２０２５年算数第１問（３）

　大小２つのサイコロを振って、大きいサイコロの目を十の位、小さいサイコロの目を一の位とする。この２けたの数が３の倍数になるのは[　]通りである。

ほんの数秒で解ける問題です。
３の倍数判定法より、２回のサイコロの出た目の数の和が３の倍数となる場合を考えればいいですね。
出た目の数の和が３の倍数（３、６、９、１２）となる場合を地道に数え上げても解けますが、ここでは頭を使って解きます。
１回目に出た目が何であっても、２回目に出た目で条件を満たすものは２通りある（１回目に出た目を３で割った余りが０、１、２の場合、２回目に出た目を３で割った余りはそれぞれ０、２、１となりますね）から、全部で６×２＝１２通りあります。
仮に地道に数え上げても、６×６の表を使うまでもなく、１０秒程度で解けるでしょう。

　１－２

　２－１

 

　１－５

　・・・

　５－１

 

　６－３

　・・・

　３－６

 

　６－６

２＋５＋４＋１＝１２通りありますね。

因みに、サイコロが３個以上になると地道な解法はかなり面倒になりますが、最初に紹介した解法であれば簡単に解けます。

 

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