次のように、同じ数字の入った整数（１１、２２、１００、１０１など）を除いた整数が並んでいます。
１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１２，１３，・・・，９８，１０２，１０３，・・・
（１）５０は何番目の整数ですか。
（２）１００番目の整数は何ですか。
（３）３けたの整数は何個ありますか。
場合の数の基本問題です。
（１）と（３）はいずれも１０秒程度で解けるでしょう。
（３）は、「同じ数字の入った整数（中略）を除いた整数」という言葉に騙されないことが大切です。
（２）は、２桁以下の整数で条件を満たすものが９０個であることがすぐにわかるので、あと１０個を調べつくせばよいでしょう。
詳しくは、下記ページで。
５００円硬貨（こうか）、１００円硬貨、５０円硬貨がたくさんあります。これらの硬貨を使って１６００円を支払（しは）う方法は何通りありますか。ただし、使わない硬貨があってもよいものとします。
１６００円の支払い方を表のようなもので書き出して規則性を見つけて解くこともできますが、少し違う解き方をしてみましょうか。
１６００円以下の１００の倍数の金額（０円も含みます）を５００円硬貨と１００円硬貨で支払う方法を考えればいいですね。
１６００円に足りない分は５０円硬貨で支払うことができるからです。
因みに、表のようなもので書き出して解く場合も５０円硬貨の枚数についていちいち考えてはいけません。
意味のない無駄に作業になりますからね。
さて、話を戻します。
０円～４００円・・・それぞれ１通り（５００円硬貨が０枚）で、合計１×５＝５通り
５００円～９００円・・・それぞれ２通り（５００円硬貨が０枚か１枚か）で、合計２×５＝１０通り
１０００円～１４００円・・・それぞれ３通り（５００円硬貨が０枚か１枚か２枚か）で、合計３×５＝１５通り
１５００円と１６００円・・・それぞれ４通り（５００円硬貨が０枚か１枚か２枚か３枚か）で、合計４×２＝８通り
（なお、上記の作業において、１００円硬貨の枚数についていちいち考える必要がないことに注意しましょう。）
したがって、１６００円の支払い方は全部で
５＋１０＋１５＋８
＝３８通り
あります。
余裕のある人は下の問題もぜひ解いてみましょう。
１/１２＝１/△＋１/□となる整数△と□の組をすべて求めなさい。ただし、□は△以上であるとします。また、解答欄（らん）をすべて用いるとはかぎりません。
（解答欄は１０個ありました。）
単位分数の和の問題です。
通常、範囲をしぼって調べつくせば簡単に解決します。
単位分数２つや３つである程度大きな数（例えば１に近い数など）を作る場合、大きな単位分数が限られているため、答えの候補はそんなにありませんからね。
ただ、今回取り上げた開成中の問題の場合、与えられた分数（１/１２）が小さいので、範囲をしぼって解こうとしても答えの候補が多くて面倒ですね。
そこで、解説では、通分を分析して解いています。
ただ、答えが８個もあったので、結果として、あまり楽になったという感じはしませんね。
△は１２より大きく、１２×２＝２４以下の整数で、１７とか１９とか明らかにありえないものがあるため、全部調べつくしても３分ぐらいでできそうですからね。
詳しくは、下記ページで。
ＡＢ＝２、ＡＤ＝３の長方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＢの中点をＥ、辺ＡＤを２：１に分ける点をＦとする。このとき、∠ＡＦＥ＋∠ＢＣＥの大きさを求めよ。
（注）
中点→真ん中の点
∠→角
小学生でも簡単に解ける問題で、解くのに１０秒もかからないでしょうね。
正方形を３つ組み合わせた図形で、色を塗った角の大きさの和を求める問題は、どの中学受験の塾のテキストでも取り上げられている典型問題で、一瞬で答えを出せる小学生がかなりいますが、今回取り上げた塾高の問題はこの問題と同じですからね。
詳しくは、下記ページで。
この問題を難しくした問題が下にあるので、余裕のある人は解いてみるとよいでしょう。
論点は、上で紹介した典型問題と同じであることが見え見えですが、解き始めてみると、意外と難しいと感じると思います。
図においてＡＢ＝３、ＡＣ＝２、直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線であり、ＡＥ⊥ＢＥである。点Ｄは直線ＡＥとＢＣの交点である。
（ⅰ）線分の長さの比ＡＤ：ＤＥを求めよ。
（ⅱ）面積の比△ＡＤＣ：△ＢＥＤを求めよ。
（注）
直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線→直線ＡＥが角ＢＡＣの大きさを２等分するということです（図の２つの〇を見ればわかることですね）。
⊥→垂直
灘中学校や東海中学校など、レベルの高い平面図形の問題を出す中学校の受験生を教えるときに取り扱う問題の１つです。
直角三角形を２つ組み合わせて二等辺三角形を作り出す解法のマスターにちょうどいいですし、解説で紹介した２つの解法を確認すれば、いわゆる隣辺比、ベンツ切り、等高図形の面積比の確認ができますからね。
行き掛けの駄賃として、角の二等分線定理も確認できるので、この１問を通じて様々なことを学ぶことができます。
こういう学習は、志望校対策で過去問を取り扱う際にも大切なことです。
単に過去問を解いて、解けたとか解けなかったとか確認するだけでは不十分です。
すでに実力が完成してほぼ満点を取れるのであれば、時間を短縮して過去問に取り組み、解けなかった問題の解法等を確認する勉強でもいいでしょうが、そうでなければ、こんな学習をしても本当の実力はつきません。
過去問を学ぶのではなく、過去問で（様々なことを）学ぶことが肝要です。
詳しくは、下記ページで。
