1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,15,･･････
のように４と９を使うことなく１から順に整数を並べたとき、８５は小さい方から数えて何番目ですか。
低学年の子でも解ける問題です。
キッズBEEにチャレンジする子であれば次のように調べて簡単に答えを出せますね。
実際、小２の教え子が秒殺していましたからね。
１桁 ０、４、９以外の７個
１０台 ４、９以外の８個
２０台 ８個
３０台 ８個
４０台 ０個
５０台 ８個
６０台 ８個
７０台 ８個
８０台 ０、１、２、３、５の５個
したがって答えは６０番目となります。
変則８進法の処理については下の問題の解説を参照しましょう。
最難関中の受験生ならこの解法をマスターしておくべきですが、この程度の問題であれば上の解法よりはやく解けるか微妙ですね。
４ｍ3＋ｎ2＝２０２０を満たす正の整数ｍ、ｎの組は２組ある。その２組を求めよ。
（注）
４ｍ3→４×ｍ×ｍ×ｍ
ｎ2→ｎ×ｎ
正の→０より大きい
範囲をしぼって調べつくすだけの問題で、しかも、調べる範囲も少ないので、小学生でも簡単に解けるでしょう。
とはいえ、条件の緩いｎの範囲をしぼるという頓珍漢なことをすると面倒なことになってしまいますが・・・
なお、３の平方剰余・立方剰余に着目する（京都大学２０２５年理系数学第２問の解答・解説を参照）と、調べる範囲をさらにカットできますが、この問題でそこまでする必要はないでしょう。
詳しくは、下記ページで。
久留米大学附設高等学校２０２０年数学第１問（５）（解答・解説）
図において、△ＡＢＣはＡＣ＝１０、ＢＣ＝４、∠ＡＣＢ＝９０°の直角三角形で、△ＡＢＤはＡＤ＝ＢＤ、∠ＡＤＢ＝９０°の直角二等辺三角形である。線分ＢＤと線分ＡＣの交点をＥ、直線ＡＢと直線ＣＤの交点をＦとするとき、次の問に答えよ。
（１）省略
（２）省略
（３）省略
（４）△ＢＣＦの面積を求めよ。
（１）はルート（√）が絡むので省略、（２）は４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが同一円周上の点であることと相似を利用すれば簡単に解けますが、小学生には厳しいですし、メインの（４）を解くのに（２）を経由しなくても普通に解けるので省略、（３）は小学生でも簡単に解けます（以下の解説のプロセスで答えがすぐに出せます）が、メインの（４）を解くのにこれを経由しなくても解けるので省略しています。
三角形ＡＢＣの面積は４×１０×１/２＝２０となります。
ここで、三角形ＡＢＣを辺ＡＢに関して折り返した後、斜めの正方形・直角二等辺三角形の処理（水平な正方形を作出）を行います。
三平方の定理を知らないふりをして解くので一工夫必要ですが、最難関中学校の受験生や算数オリンピックにチャレンジする子などにとっては常識と言えるレベルの処理です（東海中学校２０１６年算数第８問、灘中学校２０２３年算数１日目第１０問、第２８回ジュニア算数オリンピックトライアル問題９(ジュニア算オリ２０２４年トライアル問題９））し、最難関中学校でなくても同様の処理を要求する問題が普通に出されています（六甲学院中学校２０１６年Ａ算数第５問）。
三角形ＡＢＤの面積は｛（４＋１０）×（４＋１０）－４×１０×２｝/４＝２９となります。
図のように垂直な線を引くと、三角形ＡＢDと三角形ＡＢＣは底辺（ＡＢ）が共通だから、高さの比（ＤＧ：ＣＨ）は面積の比と等しくなり、２９：２０となります。
ＤＧの長さを[２９]とすると、三角形ＡＢＤが二等辺三角形であることから、ＡＧ＝ＧＢ＝[２９]となります。
また、ＣＨ＝[２０]となり、２つの直角三角形ＡＢＣとＣＢＨは相似（角度に記号をつければわかりますね）で、辺の比（中：小）が１０：４＝５：２だから、ＢＨ＝[２０]×２/５＝[８]となります。
さらに、三角形ＦＤＧと三角形ＦＣＨのピラミッドう相似（相似比はＤＧ：ＣＨ＝２９：２０）に着目すると、ＨＦ＝（[２９]－[８]）×２０/（２９－２０）＝[１４０/３]となり、ＢＦ＝[１４０/３]－[８]＝[１１６/３]となります。
三角形ＡＢＣと三角形ＢＣＦは、高さが等しく、底辺の比がＡＢ：ＢＦ＝（[２９]×２）：[１１６/３]＝３：２となるから、面積比も３：２となります。
したがって、三角形ＢＣＦの面積は２０×２/３＝４０/３となります。
因みに、仮に三平方の定理を知っていて、ルートの計算ができるとしても、上のように解いたほうが計算が楽になる問題でした。
１００から９９９までの３桁の整数について、次の条件になるような３桁の整数は何個あるか答えなさい。
（１）各位の和が「３の倍数」
（２）各位の積が「３桁の奇数」
（３）各位の和が「３の倍数」、または各位の積が「３桁の奇数」
（１）は３の倍数判定法を利用すればよいことがすぐにわかるはずです。
うまく解けば２、３秒で答えが出せます。
実質的なメインの問題となる（２）ですが、これはしっかり手を動かして作業をする子であれば、低学年の子でも解けるでしょう。
ただ、場合の数の問題ですぐに公式を振りかざすような子にとっては難しいでしょうね。
（３）は出題者の誘導に乗るだけです。
（１）
３桁の整数は９９９－９９＝９００個あります。
各位の数の和が３の倍数の整数は３の倍数ですね（３の倍数判定法の利用）。
結局のところ、連続する９００個の整数の中に３の倍数が何個あるか求めるだけですね。
３の倍数は３個に１個現れるから、求める個数は９００/３＝３００個となります。
（２）
各位の数はすべて奇数となります。
９×９＝８１＜１００だから、１を使うことはできませんし、３以下の奇数を２個使うこともできませんね。
このタイミングで、各位の数がすべて同じ場合、各位の数のうち１つだけが異なる場合、各位の数がすべて異なる場合に分けて考えることもできますが、そこまでしなくても短時間で処理できるので、機械的に書き出すことにします。
まず、各位の数の積が３桁の奇数となる組み合わせを選び出し、次に並べ替えが何通りあるか考えます。
大きい数から順に書き出します。
３つ目の候補は（ ）の中に書いています。
◎は各位の数の和が３の倍数となるもので、（３）で利用します。
９ ９（９◎、７、５、３◎）
７（７、５◎、３）
５（５、３）
７ ７（７◎、５、３）
５（５、３◎）
５ ５（５◎）
各位の数がすべて同じ場合はそれぞれ１通りあり、各位の数のうち１つだけが異なる場合はその異なる１つの数がどのくらいに来るかで３通りあり、各位の数がすべて異なる場合は３×２×１＝６通りあります。
したがって、求める個数は
１×３＋３×８＋６×４
＝５１個
となります。
（３）
（１）と（２）の合計から、ダブり（◎のもの）を引けばいいですね（あえてダブらせて、あとで調整するよう出題者が誘導していますね）。
求める個数は
３００＋５１－（１×３＋３×１＋６×２）
＝３３３個
となります。
ｎを自然数とする。１からｎまでの自然数の中で６または８または９で割り切れるものの個数をanで表す。このとき、a30＝[ ]となる。また、an＝１０００を満たす最大のｎは[ ]である。
（注）
自然数→１以上の整数
中学入試でも昔から出されている問題（桐朋中学校２００７年算数第７問など）で、小学生でも解けます。
６と８と９の最小公倍数が７２だから、１周期分の１から７２までを調べつくせばいいですが、少し面倒です。
メインの問題を解くためには、個数だけが求められる解法（包除原理を利用する解法）を採用するのは本来よくありませんが、１から３０までの中で条件を満たすものの個数を出題者がわざわざ問うていることに意味があると考え、１周期分については、包除原理を利用する解法をあえて採用し、調べる範囲を最小限にしています。
慶應大学の出題者が意味のない問題を出さないだろうと信じてこの解法を選択したわけですが、結果的に少し楽ができました。有能な出題者に感謝しないといけませんね。
詳しくは、下記ページで。
慶應義塾大学２０２５年理工学部数学第１問（２）（解答・解説）
