渋谷教育学園渋谷中学校２０２５年算数第１問（２）
渋男さんと教子さんは、駅から学校までジョギングをしました。駅と学校のちょうど真ん中に公園があります。２人は駅を同時に出発し、学校に同時に着きました。渋男さんは駅から公園まで時速８km、公園から学校までは時速１２kmで走りました。教子さんは駅から学校まで一定の速さで走りました。教子さんの速さは時速何kmですか。
与えられた条件から、教子さんは渋男さんの２つの速さの平均の速さで進んだことになります。
駅と学校の距離の半分を２４kmとすると、かかった時間は２４/８＋２４/１２＝５時間で、２４×２＝４８km進むことになるから、求める速さは４８/５km/時となります。
なお、調和平均（の公式を整理したもの）を利用して、２×８×１２/（８＋１２）＝４８/５km/時とすることもできます。
調和平均については下のページの解説を参照しましょう。
次の計算をし、約分できない分数で答えなさい。
５/（２×３）＋１１/（３×４）＋１９/（４×５）＋２９/（５×６）
分母が積の形になっているので、部分分数分解を利用すればよいことがすぐにわかるでしょう（分母が積の形になっていなくても解けるようにしておくべきでしょう（計算の工夫（部分分数分解）の問題を参照））。
また、分子が分母の計算結果より１小さく、分数全体の値はほぼ１であることもすぐにわかりますね。
与えられた式
＝１－１/（２×３）＋１－１/（３×４）＋１－１/（４×５）＋１－１/（５×６）
＝４－｛１/（２×３）＋１/（３×４）＋１/（４×５）＋１/（５×６）｝
＝４－（１/２－１/３＋１/３－１/４＋１/４－１/５＋１/５－１/６）
＝４－（１/２－１/６）
＝４－２/６
＝４－１/３
＝３・２/３（表記の都合上、３と２/３をこのように書いています。）
丁寧に書くと、上のようになりますが、実際には暗算で解けるでしょう。
分子が異なるタイプの部分分数分解の問題で、今回取り上げた問題とは少し系統の異なる問題を紹介しておくので、ぜひ解いてみましょう。
海子さんは、ノート５冊とふで箱１個を買いにお店に行きました。定価の合計はちょうど２０００円だったのですが、ノートは３割引き、ふで箱は２割引きになっていたので、４５５円安くなっていました。ノート１冊の定価は[ ]円、ふで箱１個の定価は[ ]円です。
割合のつるかめ算の基本問題です。
計算しやすい数値設定なので、暗算で答えが求められるでしょう。
因みに、どちらも２割分の値引きをやめたら、値引きはノートの１割だけになり、値引き額は４５５－２０００×２/１０＝５５円となりますが、このことから解くこともできます。
なお、少し面倒になりますが、消去算で解くこともできます。
ノート５冊の定価を⑩円、ふで箱１個の定価を[１０]円とすると、与えられた条件より
⑩＋[１０]＝２０００
③＋[２]＝４５５（値引きに着目して式を作るのがポイントです。数が小さくなるからです。）
最初の式の１/５（②＋[２]＝４００）との差を考えると、①＝５５となるから、⑩＝５５０となります。
したがって、ノート１冊の定価は５５０/５＝１１０円となり、ふで箱１個の定価は２０００－５５０＝１４５０円となります。
詳しくは、神戸海星女子学院中学校２０２２年Ａ算数第１問（３）の解答・解説で。
次の計算をしなさい。
８５/７÷（２５/８－３１/１４）＋１７/５６÷（２５/１６－３１/２８）
２５/１６－３１/２８が２５/８－３１/１４のちょうど半分であることに気付くことがスタートラインです。
そのことに気付けば分配法則を利用すればよいことがすぐにわかるでしょう。
詳しくは、東大寺学園中学校２０２５年算数第１問（２）の解答・解説で。
ある整数ｎを４で割った余りを＜ｎ＞、７で割った余りを[ｎ]と表すことにします。
たとえば、６÷４＝１余り２なので＜６＞＝２、６÷７＝０余り６なので[６]＝６です。
①＜ｎ＞＝３である１以上の整数ｎについて考えます。
小さい順に並べたとき、２０２５番目に来る数は[エ]です。また、１番目から２０２５番目までの数のうち、[ｎ]＝５となる数は[オ]個あります。
②１から１００までの整数のうち、＜ｎ＞＝[ｎ]となる整数は[カ]個あります。
基本的な問題で、桜蔭の受験生なら解けて当たり前です。
いかに短時間で処理できるかがポイントです。
エ以外は具体的な数を求める必要はありません（というより、求めるような無駄なことはしてはいけません）。
