次の式と２つの□に同じ整数をあてはめて、正しい式になるようにします。
□/３０＋３０/□＝２．９
①あてはめた数が１以上３０以下であることが分かっているとき、その整数を答えなさい。
②あてはめた数が３１以上であることが分かっているとき、その整数を答えなさい。
今から３０年弱前に神戸女学院中学部で同じような問題が出されています。
神戸女学院の問題は、□＋３７８/□（□は整数）が整数となるもので答えが異なるものが何通りあるか求める問題などでしたが、名古屋中学校の問題のように小数があっても同じことです。
何倍かして整数にすればいいだけのことですからね。
約数のペアに着目するのが本質的な解法だから、問題の誘導（らしきもの）は無視して解いています。
因みに、上の神戸女学院の問題は、３７８の約数のペアが何組あるか求める問題にすぎませんね。
詳しくは、名古屋中学校２０２５年算数第１問（３）の解答・解説で。
次の□の中に適当な数を入れなさい。
７/１３＋６/１３×７/１２＋６/１３×５/１２×７/１１＋６/１３×５/１２×４/１１×７/１０＝□
ジュニア数学オリンピック（JJMO）で同じような問題が過去に出されています。
上のJJMOの解説では、今回取り上げた甲陽学院の問題の２つ目の解法と同様の方法で解いていますが、１つ目の解法でもJJMOの問題を解くことができるのでやってみるとよいでしょう。
ただ、１つ目の解法のほうが気付きにくいかなとは思います。
詳しくは、甲陽学院中学校２０１２年算数１日目第１問（１）の解答・解説で。
1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,15,･･････
のように４と９を使うことなく１から順に整数を並べたとき、８５は小さい方から数えて何番目ですか。
低学年の子でも解ける問題です。
キッズBEEにチャレンジする子であれば次のように調べて簡単に答えを出せますね。
実際、小２の教え子が秒殺していましたからね。
１桁 ０、４、９以外の７個
１０台 ４、９以外の８個
２０台 ８個
３０台 ８個
４０台 ０個
５０台 ８個
６０台 ８個
７０台 ８個
８０台 ０、１、２、３、５の５個
したがって答えは６０番目となります。
変則８進法の処理については下の問題の解説を参照しましょう。
最難関中の受験生ならこの解法をマスターしておくべきですが、この程度の問題であれば上の解法よりはやく解けるか微妙ですね。
４ｍ3＋ｎ2＝２０２０を満たす正の整数ｍ、ｎの組は２組ある。その２組を求めよ。
（注）
４ｍ3→４×ｍ×ｍ×ｍ
ｎ2→ｎ×ｎ
正の→０より大きい
範囲をしぼって調べつくすだけの問題で、しかも、調べる範囲も少ないので、小学生でも簡単に解けるでしょう。
とはいえ、条件の緩いｎの範囲をしぼるという頓珍漢なことをすると面倒なことになってしまいますが・・・
なお、３の平方剰余・立方剰余に着目する（京都大学２０２５年理系数学第２問の解答・解説を参照）と、調べる範囲をさらにカットできますが、この問題でそこまでする必要はないでしょう。
詳しくは、下記ページで。
久留米大学附設高等学校２０２０年数学第１問（５）（解答・解説）
図において、△ＡＢＣはＡＣ＝１０、ＢＣ＝４、∠ＡＣＢ＝９０°の直角三角形で、△ＡＢＤはＡＤ＝ＢＤ、∠ＡＤＢ＝９０°の直角二等辺三角形である。線分ＢＤと線分ＡＣの交点をＥ、直線ＡＢと直線ＣＤの交点をＦとするとき、次の問に答えよ。
（１）省略
（２）省略
（３）省略
（４）△ＢＣＦの面積を求めよ。
（１）はルート（√）が絡むので省略、（２）は４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが同一円周上の点であることと相似を利用すれば簡単に解けますが、小学生には厳しいですし、メインの（４）を解くのに（２）を経由しなくても普通に解けるので省略、（３）は小学生でも簡単に解けます（以下の解説のプロセスで答えがすぐに出せます）が、メインの（４）を解くのにこれを経由しなくても解けるので省略しています。
三角形ＡＢＣの面積は４×１０×１/２＝２０となります。
ここで、三角形ＡＢＣを辺ＡＢに関して折り返した後、斜めの正方形・直角二等辺三角形の処理（水平な正方形を作出）を行います。
三平方の定理を知らないふりをして解くので一工夫必要ですが、最難関中学校の受験生や算数オリンピックにチャレンジする子などにとっては常識と言えるレベルの処理です（東海中学校２０１６年算数第８問、灘中学校２０２３年算数１日目第１０問、第２８回ジュニア算数オリンピックトライアル問題９(ジュニア算オリ２０２４年トライアル問題９））し、最難関中学校でなくても同様の処理を要求する問題が普通に出されています（六甲学院中学校２０１６年Ａ算数第５問）。
三角形ＡＢＤの面積は｛（４＋１０）×（４＋１０）－４×１０×２｝/４＝２９となります。
図のように垂直な線を引くと、三角形ＡＢDと三角形ＡＢＣは底辺（ＡＢ）が共通だから、高さの比（ＤＧ：ＣＨ）は面積の比と等しくなり、２９：２０となります。
ＤＧの長さを[２９]とすると、三角形ＡＢＤが二等辺三角形であることから、ＡＧ＝ＧＢ＝[２９]となります。
また、ＣＨ＝[２０]となり、２つの直角三角形ＡＢＣとＣＢＨは相似（角度に記号をつければわかりますね）で、辺の比（中：小）が１０：４＝５：２だから、ＢＨ＝[２０]×２/５＝[８]となります。
さらに、三角形ＦＤＧと三角形ＦＣＨのピラミッドう相似（相似比はＤＧ：ＣＨ＝２９：２０）に着目すると、ＨＦ＝（[２９]－[８]）×２０/（２９－２０）＝[１４０/３]となり、ＢＦ＝[１４０/３]－[８]＝[１１６/３]となります。
三角形ＡＢＣと三角形ＢＣＦは、高さが等しく、底辺の比がＡＢ：ＢＦ＝（[２９]×２）：[１１６/３]＝３：２となるから、面積比も３：２となります。
したがって、三角形ＢＣＦの面積は２０×２/３＝４０/３となります。
因みに、仮に三平方の定理を知っていて、ルートの計算ができるとしても、上のように解いたほうが計算が楽になる問題でした。
