Ａ、Ｂ、Ｃ３種類のポンプが２台ずつあり、これらを使ってある水そうの水をすべてくみ出します。Ａ２台とＢ１台とＣ２台を使うと３５分、Ａ１台とＢ２台とＣ１台を使うと５２分３０秒かかります。
（１）６台をすべて使うと何分何秒かかりますか。[式と計算]
（２）６台をすべて使って水そうの水をくみ出す予定でしたが、くみ出し始めてから２１分後にＢとＣが１台ずつこわれました。残りの水をこわれていない４台でくみ出したところ、予定より３分３０秒長くかかりました。Ａ１台で水そうの水をすべてくみ出すのに何分かかりますか。[式と計算]
やや条件が複雑な仕事算の問題ですが、難しくはありません。
学校のレベルを考えると、簡単と言えるでしょう。
（１）は、途中で消去算（というほどのものではないですが・・・）の処理が必要となります。
（２）は、解説では逆比を利用して解いています。
因みに、今年の愛光中の入試では大問２で和差算が出されていました。
昔からそうですが、特殊算がよく出されますね。
しっかり対策しておくとよいでしょう（下の算数プラスワン問題集をしっかりこなしていれば十分です）。
詳しくは、下記ページで。
今回は、日本数学オリンピック２０１６年予選第１問を取り上げ、解説します。
小学生にとってはなじみのない記号（√、４乗）があるので、そのままでは解けませんが、次のような問題（内容はJMOの問題と変わっていません）にすれば、小学生でも解ける問題となります。
次の□にあてはまる整数を求めなさい。ただし、２つの□には同じ数が入るものとします。
（１１×１１×１１×１１＋１００×１００×１００×１００＋１１１×１１１×１１１×１１１）/２＝□×□
実際、このように表現に変えた問題を教え子に解いてもらったことが何度かありますが、普通に解けた子が結構います。
さて、ＪＭＯの問題を解いていきましょう。
１１×１１×１１×１１
＝１２１×１２１（この計算は、「並び数」のかけ算の計算手法（桁をずらして足すだけ）を応用します（以下同じ）。
＝ １２１
２４２
＋１２１
１４６４１
１１１×１１１
＝ １１１
１１１
＋１１１
１２３２１（この計算については、筑波大学附属駒場高等学校２００５年数学第４問の解答・解説ページを参照）
１１１×１１１×１１１×１１１
＝１２３２１×１２３２１
＝ １２３２１
２４６４２
３６９６３
２４６４２
＋１２３２１
１５１８０７０４１
１００×１００×１００×１００＝１００００００００
１５１８０７０４１
１００００００００
＋ １４６４１
２５１８２１６８２
↓÷２
１２５９１０８４１（＝□×□）
まず、桁数の見当をつけます。
１００００００００＝１００００×１００００だから、□は１００００より「少し」大きい数となります。
次に、最高位のほうから数の見当をつけます。
１１×１１＝１２１＜１２５＜１４４＝１２×１２だから、□は１１０００より「少し」大きい数となります。
１１１×１１１＝１２３２１＜１２５９１
１１２×１１２
＝ ２２４
１１２
＋１１２
１２５４４＜１２５９１
で、１１３×１１３が１２５９１より大きいことは、１１２×１１２の計算過程から容易に読み取れるので、□は１１２００より「少し」大きい数となります。
１１２１×１１２１
＝ １１２１
２２４２
１１２１
＋１１２１
１２５６６４１＜１２５９１０８
１１２２×１１２２
＝ ２２４４
２２４４
１１２２
＋１１２２
１２５８８８４＜１２５９１０８
１１２３×１１２３が１２５９１０８より大きいことは、１１２２×１１２２のの計算過程から容易に読み取れるので、□は１１２２０より「少し」大きい数となります。
□×□（＝１２５９１０７９１）の一の位が１であることから、□の一の位の数は１か９となります（一の位チェック！）。
１１２２１×１１２２１
＝ １１２２１
２２４４２
２２４４２
１１２２１
＋１１２２１
１２５９１０８４１
となるから、答えは１１２２１となります。
なお、最後のところは、倍数判定法（検算で使う九去法を応用）を利用してもよいでしょう。
１２５９１０７９１は９で割ると８余る数ですが、１１２２９は、各位の数の和が３で割り切るから３の倍数となり、１１２２９×１１２２９は９の倍数となり、答えとなりえません。
このことから、答えがありうるとしたら、１１２２１となることが計算するまでもなくわかります。
中学生で文字式を習っているのであれば、次のように、ルーティーンワークのような作業をするだけです。
１００＋１１＝１１１であることに着目します。
１００＝ｘ、１１＝ｙとします。
ルートの中身の分子は
（ｘ＋ｙ）4＋ｘ4＋ｙ4
＝（ｘ2＋ｙ2＋２ｘｙ）2＋（ｘ2＋ｙ2）2ー２ｘ2ｙ2 （前半の４乗で、４乗の展開公式に跳びつかないことが大切です。後半の変形は前半の変形で出てきた形をみて、（ｘ2＋ｙ2）のかたまりを作り出しました。）
＝２（ｘ2＋ｙ2）2＋４ｘｙ（ｘ2＋ｙ2）＋２ｘ2ｙ2 （（ｘ2＋ｙ2）のかたまりをばらさないように式変形します。前半の展開で出てきたものと（ ）の外にあるもので計算できるものをすぐに計算してしまうのがポイントです（証明問題ではないので、式変形を端折っても問題ありません）。だらだら式を書いたところで正確性はアップしません（むしろ、ミスが起こりやすくなります）。）
となるから、ルートの中身は
（ｘ2＋ｙ2）2＋２ｘｙ（ｘ2＋ｙ2）＋ｘ2ｙ2
＝（ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ）2
となり、ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ＞０だから、与えられた式はｘ2＋ｙ2＋ｘｙとなります。
あとは、文字を数字に戻すだけです。
１００×１００＋１１×１１＋１００×１１
＝１１２２１
が答えとなります。
いくつかの整数の和と積が等しくなるような数の組を考えます。
[例]和と積がともに８になるような数の組は２通りあり、それぞれの数の小さい順に並べると、
１、１、２、４と１、１、２、２、２
です。
１、１、２、４について調べてみると、
１＋１＋２＋４＝８
１×１×２×４＝８
です。
１、１、２、２、２について調べてみると、
１＋１＋２＋２＋２＝８
１×１×２×２×２＝８
です。次の問いに答えなさい。
（１）いくつかの整数の和と積がともに１２になるような数の組は３通りあります。それらの組をそれぞれ、例のように数の小さい順に並べなさい。答えのみを解答欄に書きなさい。
（２）いくつかの整数の和と積がともに２１０になるような数の組は全部で何通りありますか。
（３）いくつかの整数の和と
積がともに２３１０になるような数の組は全部で何通りありますか。
１を使わない積を考えた後、適当に１を加えて和が積と等しくなるようにするのがポイントです。
（１）はウオーミングアップの問題にすぎません。
（２）から本格的な問題になります。
２１０を素因数分解した後、素因数の割り振りを考えると計算で簡単に解くことができます。
（３）も同じ方針で解くこともできますが、（２）と同じ作業を繰り返しても時間の無駄なので、出題者が用意してくれた解法に乗っかるのがベストでしょう。
詳しくは、下記ページで。
和と積が絡んだ場合の数の問題を紹介しておくので、ぜひ解いてみましょう。
直径１２cmの円の周上に円周を１２等分する点をとります。色のついた部分の面積の和は何cm2ですか。
神戸女学院中学部でほぼ同じ問題が過去に出されています（神戸女学院中学部２０１８年算数第５問）。
等積変形により２つの部分の面積をくっつけた後、相似比が１８cm：１２cm＝３：２より面積比は（３×３）：（２×２）＝９：４となるから、女学院の（２）の問題の答えの５２．５１５cm2を４/９倍すると、答え（２３．３４cm2）が得られます（ちゃんとした解き方は解説ページを参照）。
関西の某大手塾に通う生徒が復テでずっとこんな解き方をしていました。
記憶力のいい子でテキストの問題を解いたら答えを覚えてしまっていたので、数値を変更しただけの手抜き問題のオンパレードのテストでまともに解くのが馬鹿らしかったのでしょうね。
もちろんまともに解くこともできていましたが、程度の低いものに対してそれにふさわしいやり方をしていたわけです。
昔の大学入試センター試験の数学の問題などはまともに解くのがばかばかしいものが多かったので、できる子はまともに解けるけど適当に片付けるという感じでしたからね。
それと同じことです。
今の大学入試共通テストの数学は違う意味でまともに解いたらばかばかしいですが・・・
さて、話を元に戻します。
女学院の問題では、（１）を利用して和差算に持ち込んで解いていますが、ここでは別の解法を紹介します。
等積移動により２つの部分の面積をくっつけます（直径（ピンク色の太線）に関して折り返すイメージです）。
曲線上の点と円の中心を結びます。
三角定規（正三角形の半分のもの）の辺の比を利用すると、長さは図のようになります。
色のついた部分の面積
＝（水色＋黄色）＋（黄緑色＋紫色）－（紫色＋黄色）
＝６×６×３．１４×１/６＋３×６×１/２－３×３×１/２
＝１８．８４＋４．５
＝２３．３４cm2
となります。
次の計算をしなさい。
１/３＋３６/７×４．２５－５/８÷０．５２５
大した計算問題ではありませんが、ちょっとしたことで差が生じます。
５/８÷０．５２５のところを瞬時に６２５/５２５として２５で約分すると簡単になります。
２５で約分するとき、２５×４＝１００を利用して、頭の中で、４×５＋１＝２１、４×６＋１（あるいは２１＋４）とすれば、ほんの数秒で処理できます。
また、普段の学習の際、次のような分数の引き算をするときにどういう処理をしているかでも差が生じます。
２４/１７－１８/１９
２４/１７を頭の中で帯分数に直し、１－１８/１９＝１/１９と７/１７の和を求める処理をしていれば、今回の東大寺の問題も簡単に答えが求められるでしょう。
因みに、この計算の分母は、先日取り上げた「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解説を参照）と平方数の知識を利用すると、（１８＋１）×（１８－１）＝３２４－１＝３２３と暗算で求められます（もちろん、３４０－１７＝３２３とすることもできます）。
詳しくは、東大寺学園中学校２０２５年算数第１問（１）の解答・解説で。
