次の□にあてはまる数を求めなさい。
８７５/２０２５＋５７８/５２０２＝□
一見すると面倒そうですが、実際には暗算で答えが求められます。
通分して計算するのが分数の足し算・引き算の基本ですが、この問題で通分するのは面倒ですね。
２つの分数が約分できることが明らかだから、まず約分します。
２０２５と８７５はともに下２桁が２５の倍数だから、２５で割り切れますね（２５の倍数判定法については、立命館中学校２０２３年前期算数第２問（２）の解答・解説を参照）。
２０２５年の受験生であれば、２０２５＝４５×４５＝２５×８１であることは覚えているでしょうね。
また、大雑把に考えると５２０２は５７８の１０倍弱（９倍ぐらい）で、５７８×９の一の位の数が２となるので、５７８で約分できるのではないかとすぐに思えるはずです。
実際、５２０２＋５７８＝５７８０となるので、５７８/５２０２＝１/９となることがすぐにわかりますね。
したがって、
□
＝３５/８１＋１/９
＝（３５＋９）/８１
＝４４/８１
となります。
□に当てはまる数を求めなさい。
２０２５×８/８１－２２５×８/８１÷２/９＝□
２０２５年の受験生であれば、２０２５と２２５を見た瞬間にどうすればよいかわかったはずです。
暗算で簡単に解ける問題です。
詳しくは、清風南海中学校２０２５年Ａ算数第１問（１）の解答・解説で。
次のように数を並べた。
[１段目] １，２，３，４，５
[２段目] １１，１０，９，８
[３段目] １４，１５，１６，１７，１８
[４段目] ２４，２３，２２，２１
[５段目] ２７，・・・・・・
・
・
・
例えば、１５は３段目の左から２番目にある。このとき、２０２４は[ ]段目の左から[ ]番目にある。
中学入試でも普通に出される群数列の問題です。
高校受験生より中学受験生のほうがさっと解けるかもしれませんね。
数式などをこねくり回そうとしたところで何も前進しない問題ですからね。
規則性自体は小１ぐらいでも見抜けます。
割り算をマスターしていれば、低学年の子でも十分解ける可能性のある問題です。
詳しくは、下記ページで。
西大和学園高等学校２０２４年仙台・東京・東海・高松会場数学第１問（６）（問題）
西大和学園高等学校２０２４年仙台・東京・東海・高松会場数学第１問（６）（解答・解説）
Ａ、Ｂ、Ｃ３種類のポンプが２台ずつあり、これらを使ってある水そうの水をすべてくみ出します。Ａ２台とＢ１台とＣ２台を使うと３５分、Ａ１台とＢ２台とＣ１台を使うと５２分３０秒かかります。
（１）６台をすべて使うと何分何秒かかりますか。[式と計算]
（２）６台をすべて使って水そうの水をくみ出す予定でしたが、くみ出し始めてから２１分後にＢとＣが１台ずつこわれました。残りの水をこわれていない４台でくみ出したところ、予定より３分３０秒長くかかりました。Ａ１台で水そうの水をすべてくみ出すのに何分かかりますか。[式と計算]
やや条件が複雑な仕事算の問題ですが、難しくはありません。
学校のレベルを考えると、簡単と言えるでしょう。
（１）は、途中で消去算（というほどのものではないですが・・・）の処理が必要となります。
（２）は、解説では逆比を利用して解いています。
因みに、今年の愛光中の入試では大問２で和差算が出されていました。
昔からそうですが、特殊算がよく出されますね。
しっかり対策しておくとよいでしょう（下の算数プラスワン問題集をしっかりこなしていれば十分です）。
詳しくは、下記ページで。
今回は、日本数学オリンピック２０１６年予選第１問を取り上げ、解説します。
小学生にとってはなじみのない記号（√、４乗）があるので、そのままでは解けませんが、次のような問題（内容はJMOの問題と変わっていません）にすれば、小学生でも解ける問題となります。
次の□にあてはまる整数を求めなさい。ただし、２つの□には同じ数が入るものとします。
（１１×１１×１１×１１＋１００×１００×１００×１００＋１１１×１１１×１１１×１１１）/２＝□×□
実際、このように表現に変えた問題を教え子に解いてもらったことが何度かありますが、普通に解けた子が結構います。
さて、ＪＭＯの問題を解いていきましょう。
１１×１１×１１×１１
＝１２１×１２１（この計算は、「並び数」のかけ算の計算手法（桁をずらして足すだけ）を応用します（以下同じ）。
＝ １２１
２４２
＋１２１
１４６４１
１１１×１１１
＝ １１１
１１１
＋１１１
１２３２１（この計算については、筑波大学附属駒場高等学校２００５年数学第４問の解答・解説ページを参照）
１１１×１１１×１１１×１１１
＝１２３２１×１２３２１
＝ １２３２１
２４６４２
３６９６３
２４６４２
＋１２３２１
１５１８０７０４１
１００×１００×１００×１００＝１００００００００
１５１８０７０４１
１００００００００
＋ １４６４１
２５１８２１６８２
↓÷２
１２５９１０８４１（＝□×□）
まず、桁数の見当をつけます。
１００００００００＝１００００×１００００だから、□は１００００より「少し」大きい数となります。
次に、最高位のほうから数の見当をつけます。
１１×１１＝１２１＜１２５＜１４４＝１２×１２だから、□は１１０００より「少し」大きい数となります。
１１１×１１１＝１２３２１＜１２５９１
１１２×１１２
＝ ２２４
１１２
＋１１２
１２５４４＜１２５９１
で、１１３×１１３が１２５９１より大きいことは、１１２×１１２の計算過程から容易に読み取れるので、□は１１２００より「少し」大きい数となります。
１１２１×１１２１
＝ １１２１
２２４２
１１２１
＋１１２１
１２５６６４１＜１２５９１０８
１１２２×１１２２
＝ ２２４４
２２４４
１１２２
＋１１２２
１２５８８８４＜１２５９１０８
１１２３×１１２３が１２５９１０８より大きいことは、１１２２×１１２２のの計算過程から容易に読み取れるので、□は１１２２０より「少し」大きい数となります。
□×□（＝１２５９１０７９１）の一の位が１であることから、□の一の位の数は１か９となります（一の位チェック！）。
１１２２１×１１２２１
＝ １１２２１
２２４４２
２２４４２
１１２２１
＋１１２２１
１２５９１０８４１
となるから、答えは１１２２１となります。
なお、最後のところは、倍数判定法（検算で使う九去法を応用）を利用してもよいでしょう。
１２５９１０７９１は９で割ると８余る数ですが、１１２２９は、各位の数の和が３で割り切るから３の倍数となり、１１２２９×１１２２９は９の倍数となり、答えとなりえません。
このことから、答えがありうるとしたら、１１２２１となることが計算するまでもなくわかります。
中学生で文字式を習っているのであれば、次のように、ルーティーンワークのような作業をするだけです。
１００＋１１＝１１１であることに着目します。
１００＝ｘ、１１＝ｙとします。
ルートの中身の分子は
（ｘ＋ｙ）4＋ｘ4＋ｙ4
＝（ｘ2＋ｙ2＋２ｘｙ）2＋（ｘ2＋ｙ2）2ー２ｘ2ｙ2 （前半の４乗で、４乗の展開公式に跳びつかないことが大切です。後半の変形は前半の変形で出てきた形をみて、（ｘ2＋ｙ2）のかたまりを作り出しました。）
＝２（ｘ2＋ｙ2）2＋４ｘｙ（ｘ2＋ｙ2）＋２ｘ2ｙ2 （（ｘ2＋ｙ2）のかたまりをばらさないように式変形します。前半の展開で出てきたものと（ ）の外にあるもので計算できるものをすぐに計算してしまうのがポイントです（証明問題ではないので、式変形を端折っても問題ありません）。だらだら式を書いたところで正確性はアップしません（むしろ、ミスが起こりやすくなります）。）
となるから、ルートの中身は
（ｘ2＋ｙ2）2＋２ｘｙ（ｘ2＋ｙ2）＋ｘ2ｙ2
＝（ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ）2
となり、ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ＞０だから、与えられた式はｘ2＋ｙ2＋ｘｙとなります。
あとは、文字を数字に戻すだけです。
１００×１００＋１１×１１＋１００×１１
＝１１２２１
が答えとなります。
