次の計算をしなさい。
２０２・１/４－２８・４/５－１０９・１/２
（帯分数を・を使って表記しています。例えば、２０２・１/４は２０２と１/４のことです。）
引く数をまとめるのは当然のこととして、何も考えずに通分して計算することもできますが、１/４＝０．２５、４/５＝０．８、１/２＝０．５を利用して小数で計算してしまったほうがはやいでしょう。
臨機応変に対処することが大切です。
詳しくは、高槻中学校２０２５年Ｂ算数第１問（１）②の解答・解説で。
数学の中学準備講座の授業の内容を紹介します。
数学の中学準備講座の授業から（００１） | 中学受験算数プロ家庭教師
（3x-2y)(x+3y)を展開しなさい。
展開公式がありますが、公式を当てはめて解くのではありません。
最初は、面積図の利用と分配法則の利用を確認します。
面積図の利用
分配法則の利用
与式
=3x(x+3y)-2y(x+3y)
＝3x2+9xy-2xy--6y2
（前半のカッコは3xを分配しても係数の比率が変わらないこと、後半のカッコは-2yを分配しても係数の比率が変わらないことと符号の関係（同符号か異符号かということ）は変わらないことの確認）
=3x2+7xy-6y2
実際には、次のように行います。
① 3x2
② ＋9xyと-2xyで+7xy
③ -6y2
（実際には、計算できるところを頭の中でキープして結果だけ書くのがポイントです。）
さらに、応用的な展開の仕方も学習します。
前の（ ）内も後ろの（ ）内も１次の項のみだから、計算結果は２次の項のみとなり、x2とxyとy2が出てくることがわかります。
この係数を決定するだけですが、x2が出てくるのは、両方の（ ）で文字xを採用するときで、係数は（３×１＝）３、xyが出てくるのは、一方の（ ）で文字xを、もう一方の（ ）で文字yを採用するときだから、係数は（３×３と（－２）×１＝）７、y2が出てくるのは、両方の（ ）で文字yを採用するときで、係数は（（－２）×３＝）－６となります。
(x-2y)3を展開しなさい。
一応高校の範囲ですが、中学生でも普通に解けます。
私立の中高一貫校であれば、中２の途中から高校数学に進むところもありますからね。
高校受験をしなくて済むメリットの１つに、意味のない中高数学の垣根を取っ払って学習できることがあります。
私が数学と英語を教えた教え子で、中２で２学年上の駿台、河合塾の高１模試で全国１位を獲得した子が２人います（それぞれ東大理Ⅲと京大医学部に現役合格）。
仮にこの子たちが高校受験をするのであれば、高校数学に踏み込む範囲を制限せざるを得ないので、同じような結果は出せなかったと思います。
さて、この問題ですが、地道に展開することももちろんできますが、面倒なので、頭を使って計算します。
高校の範囲では３乗の展開公式がありますが、公式を当てはめて解くのではありません。
先ほど紹介した最後の展開方法を利用します。
(x-2y)(x-2y)(x-2y)
① ② ③
①、②、③の（ ）内はすべて１次の項のみだから、計算結果は３次の項のみとなり、x3とx2yとxy2とy3が出てくることがわかります。
この係数を決定するだけですが、x3が出てくるのは、①～③の（ ）で文字xを採用するときで、文字の採用の仕方は１通りあり、係数は１×１×１×１＝１（実際は、式を考えるまでもなく１ですね）、x2yが出てくるのは、２つの（ ）で文字xを、残り１つの（ ）で文字yを採用するときだから、文字の採用の仕方は３通りあり、係数は３×１×１×（－２）＝ー６（実際は、３×（－２）＝－６）、xy2が出てくるのは、１つの（ ）で文字xを、残り２つの（ ）で文字yを採用するときだから、文字の採用の仕方は３通りあり、係数は３×１×（－２）×（－２）＝１２（実際は、３×（－２）×（－２）＝１２）、y3が出てくるのは、①～③の（ ）で文字yを採用するときで、文字の採用の仕方は１通りあり、係数は１×（－２）×（－２）×（－２）＝－８となります。
文字yの係数が－２だから、文字yを１個採用するごとに－２を１個かけていくことに注意するだけです。
言葉で書くと長々しくなります（書いている私自身が面倒くさいなと思いますからね）が、実際にはこの作業を口頭で繰り返すことでスピードが上がります。
しかも、将来習う二項定理も暗記することなく当たり前の式として自分で導き出せるようになります。
第２５回広中杯トライアル問題２（４）（広中杯２０２４年トライアル問題２（４））
広中杯（算数オリンピックの中学生版）の問題ですが、九九の７の段を少し拡張しただけの問題なので、算数オリンピックのキッズＢＥＥにチャレンジする子にもぜひチャレンジしてもらいたい問題です（桁数は減らしてあげるとよいでしょう）。
難しい知識は何もいりませんからね。
さて、広中杯の問題を解いていきましょう。
２桁の７の倍数（７で割り切れる数）を書き出します。
１４
２１、２８
３５
４２、４９
５６
６３
７０、７７
８４
９１、９８
（条件を満たさない数は消しています。）
上で書き出したものを見て、次（右隣）にどのような数が来るか調べていきます。
１の次は４の１通り
→４の次は２か９の２通り・・・（☆）
→２のとき、次は１か８の２通り、９のとき、次は１か８の２通り（いずれにしても１か８の２通りとなりますね。）
→１のとき、次は４の１通り、８のとき、次は４の１通り（いずれにしても４の１通りとなりますね。また、この後は、（☆）以降の繰り返しになりますね。）
１、２、４、８、９は同じグループになります。
３の次は５の１通り・・・（★）
→５の次は６の１通り
→６の次は３の１通り（（★）以降の繰り返しになりますね。）
３、５、６は同じグループになります。
７の次は７（ずっと７が繰り返されるだけですね。）
７だけで「グループ」になっていますね。
それぞれのグループで右隣にどのような数がくるかまとめると次の図のようになります。
これで解く準備が整ったので計算していきます。
先頭が１のものについて考えます。
先頭から順に各位の数は、１、４、（２か９）、（１か８）、４、・・・となり、先頭から２番目目以降は、４、（２か９）、（１か８）の繰り返しが６セットあり、最後に４が来ます。
この場合は、
１×（１×２×２）×（１×２×２）×・・・×（１×２×２）×１ （（１×２×２）が６セットあります。）
＝２12通り
あります。
先頭が２のものについて考えます。
先頭から順に各位の数は、２、（１か８）、４、（２か９）、（１か８）、・・・となり、先頭から２番目以降は、（１か８）、４、（２か９）の繰り返しが６セットあり、最後に（１か８）が来ます。
この場合は、
１×（２×１×２）×（２×１×２）×・・・×（２×１×２）×２ （（２×１×２）が６セットあります。）
＝２13通り
あります。
先頭が４のものについて考えます。
同様にすると、この場合は、
１×（２×２×１）×（２×２×１）×・・・×（２×２×１）×２ （（２×２×１）が６セットあります。）
＝２13通り
あります。
先頭が８のものについて考えます。
同様にすると、この場合は、
１×（１×２×２）×（１×２×２）×・・・×（１×２×２）×１ （（１×２×２）が６セットあります。）
＝２12通り
あります。
先頭が９のものについて考えます。
同様にすると、この場合は、
１×（２×１×２）×（２×１×２）×・・・×（２×１×２）×２ （（２×１×２）が６セットあります。）
＝２13通り
あります。
因みに、「同様にすると」と書いてありますが、実際には先頭から２番目が１通りか２通りかだけ確認すれば、２12通りか２13通りかがわかるので、実際には同様の作業をしていません（一応式を書いていますが、コピペしているだけです）。
また、先頭が１と８のもの、先頭が２と９のものをそれぞれまとめてもよいでしょう（上の図をみれば、まとめられることがすぐにわかるはずです）。
先頭が３、５、６、７のものについて考えます。
いずれの場合もただ１通りに確定するので、この場合は全部で４通りあります。
したがって、２０桁のセブンな数は全部で
２12×２＋２13×３＋４
＝１０２４×（４×２＋８×３）＋４ （２10通り＝１０２４であることを利用して分配法則を利用しました。）
＝１０２４×３２＋４
＝３２０００＋７６８＋４
＝３２７７２通り
あります。
次の問題もぜひ解いてみましょう。
今回取り上げた広中杯の問題と同じような問題です。
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図のようなＡ町からＢ町へ行く道があります。Ａ町からＢ町へ行く最短経路は何通りありますか。ただし、図の線の部分が道です。
場合の数（最短経路）の有名問題です。
灘中入試やジュニア数学オリンピックで同じような問題が出されたことがあります（灘中学校２０１７年算数１日目第８問、日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２００９年予選第２問）。
因みに、慶應普通部の今年の入試にも同じような問題が出されています。
最短距離で進むためには、できるだけ斜めの線を通る必要があります（三角形の成立条件を考えればすぐにわかりますね）が、斜めの線を２か所以上通ることはできませんね。
詳しくは、下記ページで。
なお、斜めの線が絡む経路の場合の数の問題で、最短経路でなくてもよいものが１９７０年の東大入試で出されています。
（参考問題）東京大学１９７０年１次文科第５問
次の□にあてはまる数は何か。
右図の（イ）、（ロ）について、点Ａから出発して点Ｂに到達する行き方は全部で幾通りあるかを考えす。ただし、道は必ず左から右へ、または下から上へ進み、斜めの道は左下から右上へ進むものとする。このとき
（１）点Ｃを通ってゆく行き方は、（イ）については□通り、（ロ）については□通りある。
（２）点Ｃを通っても通らなくてもよいとすれば、（イ）については□通り、（ロ）については□通りの行き方がある。
（解答・解説）
いわゆるいちいち解法を利用して（２）から解きます。
ある地点への行き方は、左、下、左斜め下までの行き方を合計したものになります。
（１）の答えは、（イ）も（ロ）も４×４＝１６となりますね。
因みに、いわゆるいちいち解法を使わなくても簡単に解けます。
Ｃを通る場合ですが、ＡからＣまでの行き方が４通りであることは経路をなぞっていっても求められますし、ＣからＢまでの行き方はＡからＣまでの行き方と同じ（ＢからＣまで行くと考えれば明らかですね）こともすぐにわかりますからね。
また、Ｃを通らない場合は、Ｃとつながる道をすべて消した上で経路をなぞっていけばすぐに求められますからね。
キッズＢＥＥにチャレンジする子が解くのにちょうどいい問題ですよ。
第２６回ジュニア算数オリンピックトライアル問題６(ジュニア算数オリンピック２０２２年トライアル問題６）
今回は、ジュニア算数オリンピック２０２２年トライアル問題６を取り上げ、解説します。
ある長さが与えられたときに方向の異なる線の長さを求めたり、比率を求めたりするのは難しくなることが結構ある（灘中学校２０１３年算数１日目第１１問など）ので、一工夫が必要です。
図の赤色の線、緑色の線、青色の線の長さは等しくなりますね（正十二角形の点対称の中心の周りに、赤色の線を反時計回りに１２０度回転すると緑色の線となり、緑色の線を反時計回りに１２０度回転すると青色の線となり、青色の線を反時計回りに１２０度回転すると赤色の線となりますね）。
このバランスを崩さないように図のような補助線を引く（直線ＡＤを引くと、正十二角形の点対称の中心の周りに、ＡＤを反時計回りに１２０度回転した直線を引き、さらにこの直線を反時計回りに１２０度回転した直線を引きという感じです）と、黄色の三角形、黄緑色の三角形、黄色と水色を１つずつ組み合わせた三角形はすべて正三角形となります。
六角形ＡＢＣＤＥＦの周りの長さは、赤色の線の長さの３倍となりますが、これはＡＤの長さの３倍となります。
ＡＤの長さは１５cmだから、求める長さは１５×３＝４５cmとなります。
