場合の数（和＝積）の問題　東大寺学園中学校２０２５年算数第５問

　いくつかの整数の和と積が等しくなるような数の組を考えます。
　[例]和と積がともに８になるような数の組は２通りあり、それぞれの数の小さい順に並べると、
　　１、１、２、４と１、１、２、２、２
です。
　１、１、２、４について調べてみると、
　　１＋１＋２＋４＝８
　　１×１×２×４＝８
です。
　１、１、２、２、２について調べてみると、
　　１＋１＋２＋２＋２＝８
　　１×１×２×２×２＝８
です。次の問いに答えなさい。
（１）いくつかの整数の和と積がともに１２になるような数の組は３通りあります。それらの組をそれぞれ、例のように数の小さい順に並べなさい。答えのみを解答欄に書きなさい。
（２）いくつかの整数の和と積がともに２１０になるような数の組は全部で何通りありますか。
（３）いくつかの整数の和と

積がともに２３１０になるような数の組は全部で何通りありますか。

 

１を使わない積を考えた後、適当に１を加えて和が積と等しくなるようにするのがポイントです。

（１）はウオーミングアップの問題にすぎません。

（２）から本格的な問題になります。

２１０を素因数分解した後、素因数の割り振りを考えると計算で簡単に解くことができます。

（３）も同じ方針で解くこともできますが、（２）と同じ作業を繰り返しても時間の無駄なので、出題者が用意してくれた解法に乗っかるのがベストでしょう。

詳しくは、下記ページで。

　東大寺学園中学校２０２５年算数第５問（問題）

　東大寺学園中学校２０２５年算数第５問（解答・解説）

和と積が絡んだ場合の数の問題を紹介しておくので、ぜひ解いてみましょう。

 

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平面図形（曲線がらみの面積）の問題　洗足学園中学校２０２５年第１回算数第２問（４）

　直径１２cmの円の周上に円周を１２等分する点をとります。色のついた部分の面積の和は何cm2ですか。

　　

神戸女学院中学部でほぼ同じ問題が過去に出されています（神戸女学院中学部２０１８年算数第５問）。 

等積変形により２つの部分の面積をくっつけた後、相似比が１８cm：１２cm＝３：２より面積比は（３×３）：（２×２）＝９：４となるから、女学院の（２）の問題の答えの５２．５１５cm2を４/９倍すると、答え（２３．３４cm2）が得られます（ちゃんとした解き方は解説ページを参照）。

関西の某大手塾に通う生徒が復テでずっとこんな解き方をしていました。

記憶力のいい子でテキストの問題を解いたら答えを覚えてしまっていたので、数値を変更しただけの手抜き問題のオンパレードのテストでまともに解くのが馬鹿らしかったのでしょうね。

もちろんまともに解くこともできていましたが、程度の低いものに対してそれにふさわしいやり方をしていたわけです。

昔の大学入試センター試験の数学の問題などはまともに解くのがばかばかしいものが多かったので、できる子はまともに解けるけど適当に片付けるという感じでしたからね。

それと同じことです。

今の大学入試共通テストの数学は違う意味でまともに解いたらばかばかしいですが・・・

さて、話を元に戻します。

女学院の問題では、（１）を利用して和差算に持ち込んで解いていますが、ここでは別の解法を紹介します。

等積移動により２つの部分の面積をくっつけます（直径（ピンク色の太線）に関して折り返すイメージです）。

　

曲線上の点と円の中心を結びます。

三角定規（正三角形の半分のもの）の辺の比を利用すると、長さは図のようになります。

　　色のついた部分の面積

　＝（水色＋黄色）＋（黄緑色＋紫色）－（紫色＋黄色）

　＝６×６×３．１４×１/６＋３×６×１/２－３×３×１/２

　＝１８．８４＋４．５

　＝２３．３４cm2

となります。

 

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中学入試算数の計算問題　東大寺学園中学校２０２５年算数第１問（１）

　次の計算をしなさい。

　　１/３＋３６/７×４．２５－５/８÷０．５２５

 

大した計算問題ではありませんが、ちょっとしたことで差が生じます。

５/８÷０．５２５のところを瞬時に６２５/５２５として２５で約分すると簡単になります。

２５で約分するとき、２５×４＝１００を利用して、頭の中で、４×５＋１＝２１、４×６＋１（あるいは２１＋４）とすれば、ほんの数秒で処理できます。

また、普段の学習の際、次のような分数の引き算をするときにどういう処理をしているかでも差が生じます。

　２４/１７－１８/１９

２４/１７を頭の中で帯分数に直し、１－１８/１９＝１/１９と７/１７の和を求める処理をしていれば、今回の東大寺の問題も簡単に答えが求められるでしょう。

因みに、この計算の分母は、先日取り上げた「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解説を参照）と平方数の知識を利用すると、（１８＋１）×（１８－１）＝３２４－１＝３２３と暗算で求められます（もちろん、３４０－１７＝３２３とすることもできます）。

詳しくは、東大寺学園中学校２０２５年算数第１問（１）の解答・解説で。

 

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第３３回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２４年トライアル問題５）

　第３３回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２４年トライアル問題５）

今回は、算数オリンピック２０２４年トライアル問題５を取り上げ、解説します。

偶奇性に着目する（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２）を参照）ことと上限チェック・下限チェックを行う（今回取り上げた問題は単に上限と下限をチェックするだけですが、平均を利用して上限と下限をチェックすることもあります（灘中学校１９９７年算数１日目第４問、東海中学校２００９年算数第６問を参照））ことで、ほぼ試行錯誤することなく解決します。

２以外の素数は奇数ですね。
４つの奇数の和は偶数となりますが、２５１と２７１は奇数だから、この２つの数が両方絡むマス（黄緑色で囲まれた４つのマスと水色で囲まれた４つのマスの共通部分のマス）のいずれかに２が入ることになります。
２１８と３００が偶数だから、この２つの数が絡むマス（紫色で囲まれた４つのマスとピンク色で囲まれた４つのマス）のいずれにも２が入らないから、２の入るマスが確定します。


与えられた４つの数が大きな数だから上限をチェックします。
２７１が絡む４つのマス（黄緑色で囲まれた４つのマス）のうち２が入るマス以外の３つの数の和は２７１－２＝２６９となりますが、使える素数の３つの数の和は９７＋８９＋８３＝２６９以下だから、９７、８９、８３を使うことが確定します。

２５１が絡む４つのマス（水色で囲まれた４つのマス）のうち左側の２つのマスに入る２つの数の和は２５１－（２＋９７）＝１５２以上２５１－（２＋８３）＝１６６以下となります。一方、使える素数のうち９７、８９、８３の３つの数を除いた２つの数の和は７９＋７３＝１５２以下だから、７９と７３を使うことが確定し、また、真ん中のマスに入る数が９７に確定します。

３００が絡む４つのマス（紫色で囲まれた４つのマス）のうち上側の２つのマスに入る２つの数の和は３００－（９７＋８９）＝１１４か３００－（９７＋８３）＝１２０となります。使える素数で残っているもののうち最大の数は７１だから、紫色で囲まれた４つのマスとピンク色で囲まれた４つのマスの共通部分のマスのうち上側のマスの数は１１４－７１＝４３以上となります。

また、２１８が絡む４つのマス（ピンク色で囲まれた４つのマス）のうち上側の２つのマスに入る２つの数の和は２１８－（９７＋７９）＝４２か２１８－（９７＋７３）＝４８となりますが、４３より小さい４２となることはありえず、４８となります。

４３以上４８未満の素数は、４３と４７となりますが、４８－４７＝１が素数ではなく、条件を満たしません。

したがって、紫色で囲まれた４つのマスとピンク色で囲まれた４つのマスの共通部分のマスのうち上側のマスの数は４３となり、答えが確定します。

　　

下の算数オリンピックファイナルの問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

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小学生でも解ける大学入試数学の問題（場合の数・確率、整数）　京都大学２００６年後期理系数学第３問

　さいころをｎ個同時に投げるとき、出た目の数の和がｎ＋３になる確率を求めよ。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう

 

今年の大阪星光学院高校の入試問題（大阪星光学院高等学校２０２５年数学第１問（４））を取り上げたときに言及した問題です。

１０秒以内に答えが出せる小学生も結構いるでしょうね。

重複組合せの考え方はある程度のレベルの中学校を受験する子供であれば当然マスターしているはずですからね。

 

 

 

 

因みに、重複組合せの考え方を利用せずに、地道に場合分けして解いても１分程度で答えが出せます（文字式の計算が小学生には少しきついかもしれません）。

ただ、一部の場合で、さいころが３個以上であることを前提としたものになることから、そのことに配慮しなければ点数がもらえなかったのでしょうね。

京大の理系であれば、それぐらいでしか差がつかないでしょうからね。

文系の問題では、ｎ＋３がｎ＋２となっていたので、差がつかない問題になっていました。

問題文の「同時に」とか「出た目の数の和」とかの表現を考慮すると、さいころが２個以上であることは前提としてもいいでしょうからね。

詳しくは、下記ページで。

　京都大学２００６年後期理系数学第３問（問題）

　京都大学２００６年後期理系数学第３問（解答・解説）

 

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