次の□の中に適当な数を入れなさい。
１＋１８÷（１/７－１/１６）＋１/１７÷（１/２５－１/８１）×１１９＝２２５×□
与えられた式を見た瞬間に、左辺から２２５を取り出してくださいねという出題者の意図が読み取れるはずです。
この意図をきっちり読み取れれば解くのに３０秒もかかりません。
なお、計算の途中で２５×８１が出てきますが、２０２５としてはいけません。
計算の途中で和と差の積が２乗の差となることを利用していますが、和と差の積が２乗の差となることについては、関西学院中学部１９９６年２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解説ページを参照しましょう。
詳しくは、甲陽学院中学校２０２５年算数１日目第１問（１）の解答・解説で。
第２７回算数オリンピックファイナル問題６(算数オリンピック２０１８年ファイナル問題６）
今回は、算数オリンピック２０１８年ファイナル問題６を取り上げ、解説します。
素数がらみの問題を考えるとき、２と３が特殊な素数であること（２と３以外の素数は６で割ると１か５余ること）を常に意識しておく必要があります（一橋大学２０１４年前期数学第１問の解答・解説ページにあるエラトステネスの篩を参照））。
このことは、中学入試問題であっても大学入試問題であっても変わりません（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２）、京都大学２００６年前期理系数学第４問など）。
上の京大の問題は簡単すぎるので、少し改造した次の問題を考えてみましょうか。
２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ2＋２がともに素数になるｎを求めよ。
最初に述べたことを意識していれば、この問題を見た瞬間に答えは２か３ではないかとあたりがつけられます。
ｎ＝２のとき、２×２＋２＝６は素数でないから、条件を満たしませんね。
ｎ＝３のとき、３×３＋２＝１１は素数だから、条件を満たしますね。
あとは、６で割った余りで分類して条件を満たさないことを確認すれば解けるでしょうが、もう少し簡単に解けるかもしれないので、少し実験してみます。
ｎ＝５のとき、５×５＋２＝２７
ｎ＝７のとき、７×７＋２＝５１
ｎ＝１１のとき、１１×１１＋２＝１２３
いずれの場合も３の倍数となって条件を満たさない（偶数ということは関係ない）から、３で割った余りを考えればいいということで、上の京大の問題の解説になるわけです。
因みに、大学入試問題では「すべて求めよ」となっていなくも、すべて求めるのが当たり前で、答えが１個の場合、その答え以外に答えがないということを示さないといけないので、答えが１個の場合にわざわざ「すべて求めよ」というのは頓珍漢なことです。
さて、算数オリンピックの問題を解いてみましょう。
〇が７個あり、２０以下の素数が２、３、５、７、１１、１３、１７、１９の８個あるので、使わない（あるいは、使えない）素数が１個ありますね。
最初に述べたことを意識して入れば、使えない素数があるとしたら、２か３ではないかとあたりがつけられますね。
２以外の素数は奇数だから、２を含む３つの素数の和（偶数＋奇数＋奇数）は２より大きい偶数となり、素数となりえません。
このことから２が使えないことがすぐにわかります。
次に、特殊な素数である３の配置を考えます。
２０以下の素数で２と３以外のものを６で割った余りで分類します。
（あ）６で割ると１余る数・・・７、１３、１９
（い）６で割ると５余る数・・・５、１１、１７
３を含む３つの素数の残り２つを異なるグループから選ぶと３つの素数の和が３より大きい３の倍数となってしまうから素数となりえず、同じグループから２個選ぶことになります。
３を含む３つの素数の和は最大でも２つ（同時に使えるものが２つということです）しか作ることができないので、３を正三角形の真ん中と正三角形の頂点に配置するこができず、正三角形の辺の真ん中のところに配置することになります。
ここからが（多少）試行錯誤するところになります。
答えをすべて求めることもできますが、面倒なので、答えを１つ求めることにします。
３を含む３つの素数の和を確定させます。
３＋７＋１３、３＋７＋１９（この２つの組は一方だけしか使えませんね。）
３＋５＋１１、３＋１１＋１７（この２つの組は一方だけしか使えませんね。）
とりあえず、数字の小さい組（３＋７＋１３と３＋５＋１１）を考えます。
３＋５＋１１を辺のところに配置してみます（どの辺に配置しても同じことですし、５と１１の配置が逆になっても同じことです）。
３＋７＋１３を正三角形の高さのところに配置することになりますが、７と１３が入れ替わったものは条件が異なりますね。
とりあえず、７を正三角形の真ん中に配置してみます。
５＋７＝１２に１７か１９をたして素数となるものを考えることになりますが、両方とも素数となるので、とりあえず１１＋７＝１８に１７か１９をたして素数となるものを考えます。
こちらは１９だけが条件を満たしますね。
あとは、５＋１９＋１３＝３７と１１＋１７＋１３＝４１がともに素数となることを確認して答え（の１つ）が確定します。
因みに、使える７つの素数を確定させた後、３つの素数の和が素数となるものを書き出して解くことも一応可能ですが、やめておいた方がいいでしょう。
（７×６×５）/（３×２×１）＝３５通りの和について素数かどうかを考えることになり、面倒ですからね。
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ある分数の分母に５を加えると分数の値は１/３となり、分子に３を加えると分数の値は１より大きく２より小さい。この分数を求めよ。ただし、この分数は既約分数とする。
小学生でも簡単に解ける問題です。
中学入試で同じような問題でもっと難しいもの（神戸女学院中学部１９９８年算数２日目第３問）が出されています。
もとの分数の分母に５を加えたものが分子の３倍で、３の倍数となることから、分母は３で割ると１余る数となります。
このことを見抜ければ、次のようにして、答えをすぐに見つけることができます。
分母１ 分子２（範囲の条件を満たしませんね。）
分母４ 分子３（範囲の条件を満たしますね。）
よって、答えは３/４となります。
解説では、もっと難しい問題が出されたときにも対応できるよう、もう少し丁寧に解く解法を紹介しています。
詳しくは、下記ページで。
慶應義塾志木高等学校２０２５年数学第１問（２）（解答・解説）
下の問題もぜひ解いてみましょう。
次の計算をしなさい。
２０２・１/４－２８・４/５－１０９・１/２
（帯分数を・を使って表記しています。例えば、２０２・１/４は２０２と１/４のことです。）
引く数をまとめるのは当然のこととして、何も考えずに通分して計算することもできますが、１/４＝０．２５、４/５＝０．８、１/２＝０．５を利用して小数で計算してしまったほうがはやいでしょう。
臨機応変に対処することが大切です。
詳しくは、高槻中学校２０２５年Ｂ算数第１問（１）②の解答・解説で。
数学の中学準備講座の授業の内容を紹介します。
数学の中学準備講座の授業から（００１） | 中学受験算数プロ家庭教師
（3x-2y)(x+3y)を展開しなさい。
展開公式がありますが、公式を当てはめて解くのではありません。
最初は、面積図の利用と分配法則の利用を確認します。
面積図の利用
分配法則の利用
与式
=3x(x+3y)-2y(x+3y)
＝3x2+9xy-2xy--6y2
（前半のカッコは3xを分配しても係数の比率が変わらないこと、後半のカッコは-2yを分配しても係数の比率が変わらないことと符号の関係（同符号か異符号かということ）は変わらないことの確認）
=3x2+7xy-6y2
実際には、次のように行います。
① 3x2
② ＋9xyと-2xyで+7xy
③ -6y2
（実際には、計算できるところを頭の中でキープして結果だけ書くのがポイントです。）
さらに、応用的な展開の仕方も学習します。
前の（ ）内も後ろの（ ）内も１次の項のみだから、計算結果は２次の項のみとなり、x2とxyとy2が出てくることがわかります。
この係数を決定するだけですが、x2が出てくるのは、両方の（ ）で文字xを採用するときで、係数は（３×１＝）３、xyが出てくるのは、一方の（ ）で文字xを、もう一方の（ ）で文字yを採用するときだから、係数は（３×３と（－２）×１＝）７、y2が出てくるのは、両方の（ ）で文字yを採用するときで、係数は（（－２）×３＝）－６となります。
(x-2y)3を展開しなさい。
一応高校の範囲ですが、中学生でも普通に解けます。
私立の中高一貫校であれば、中２の途中から高校数学に進むところもありますからね。
高校受験をしなくて済むメリットの１つに、意味のない中高数学の垣根を取っ払って学習できることがあります。
私が数学と英語を教えた教え子で、中２で２学年上の駿台、河合塾の高１模試で全国１位を獲得した子が２人います（それぞれ東大理Ⅲと京大医学部に現役合格）。
仮にこの子たちが高校受験をするのであれば、高校数学に踏み込む範囲を制限せざるを得ないので、同じような結果は出せなかったと思います。
さて、この問題ですが、地道に展開することももちろんできますが、面倒なので、頭を使って計算します。
高校の範囲では３乗の展開公式がありますが、公式を当てはめて解くのではありません。
先ほど紹介した最後の展開方法を利用します。
(x-2y)(x-2y)(x-2y)
① ② ③
①、②、③の（ ）内はすべて１次の項のみだから、計算結果は３次の項のみとなり、x3とx2yとxy2とy3が出てくることがわかります。
この係数を決定するだけですが、x3が出てくるのは、①～③の（ ）で文字xを採用するときで、文字の採用の仕方は１通りあり、係数は１×１×１×１＝１（実際は、式を考えるまでもなく１ですね）、x2yが出てくるのは、２つの（ ）で文字xを、残り１つの（ ）で文字yを採用するときだから、文字の採用の仕方は３通りあり、係数は３×１×１×（－２）＝ー６（実際は、３×（－２）＝－６）、xy2が出てくるのは、１つの（ ）で文字xを、残り２つの（ ）で文字yを採用するときだから、文字の採用の仕方は３通りあり、係数は３×１×（－２）×（－２）＝１２（実際は、３×（－２）×（－２）＝１２）、y3が出てくるのは、①～③の（ ）で文字yを採用するときで、文字の採用の仕方は１通りあり、係数は１×（－２）×（－２）×（－２）＝－８となります。
文字yの係数が－２だから、文字yを１個採用するごとに－２を１個かけていくことに注意するだけです。
言葉で書くと長々しくなります（書いている私自身が面倒くさいなと思いますからね）が、実際にはこの作業を口頭で繰り返すことでスピードが上がります。
しかも、将来習う二項定理も暗記することなく当たり前の式として自分で導き出せるようになります。
