第１５回キッズBEEトライアル問題６(キッズBEE２０２３年トライアル問題６）

　第１５回キッズBEEトライアル問題６(キッズBEE２０２３年トライアル問題６）

今回は、キッズBEE２０２３年トライアル問題６を取り上げ、解説します。

　和が３になる組み合わせ・・・（１，２，３）
　和が４になる組み合わせ・・・（１，３，４）
　和が５になる組み合わせ・・・（１，４，５）、（２，３，５）
　和が６になる組み合わせ・・・（１，５，６）、（２，４，６）

６通りの組み合わせをすべて調べつくすのではありません。

二つの数が共通している組み合わせを一気につぶすのがポイントです。

二つの数が見えているのに自分の数が決まらないというのがどういう状況かよく考えればこの解法が思いつくはずです。

（１，２，３）と（２，３，５）について考えます。

２と３のカードを見た人は自分のカードが１か５かわからないので、この場合はありえません。

（１，３，４）と（１，４，５）について考えます。

１と４のカードを見た人は自分のカードが３か５かわからないので、この場合はありえません。

（１，５，６）と（１，４，５）について考えます。

１と５のカードを見た人は自分のカードが４か６かわからないので、この場合はありえません。

残った候補は（２，４，６）となり、このときに条件を満たすことがすぐに確認できますね。

 

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第２８回ジュニア算数オリンピックトライアル問題９(ジュニア算オリ２０２４年トライアル問題９）

　第２８回ジュニア算数オリンピックトライアル問題９(ジュニア算数オリンピック２０２４年トライアル問題９）

今回は、ジュニア算数オリンピック２０２４年トライアル問題９を取り上げ、解説します。

この問題はひらめきが必要というものではなく、平面図形の頻出論点の単純な組合せにすぎず、きっちり勉強していれば解ける問題です。

問題を見た瞬間に、与えられた図形が線対称図形であることと斜めの正方形があることに気付くでしょう。
まず、線対称の軸で２つの図形に分け、右半分だけで考えます。

　　
黄色の部分の面積の２倍が求める面積ですね。
次に、斜めの正方形の処理（水平な正方形に埋め込む処理）を行います。
水平な正方形の一辺の長さは１/２cmとなります。
図の赤線はこの正方形の点対称の中心を通るから面積を２等分していますね。
したがって、求める面積はこの正方形の面積にほかならず、１/２×１/２＝１/４cm2が答えとなります。

中学入試に出された線対称を利用する問題と斜めの正方形の処理の問題を紹介しておくので、ぜひ解いてみましょう。

線対称の利用

　東海中学校２０１７年算数第４問

　灘中学校２０１３年算数１日目第９問

斜めの正方形の処理

　東海中学校２００９年算数第９問

　東海中学校２０１６年算数第８問

　灘中学校２０２３年１日目第１０問

　西大和学園中学校２０２４年算数第１問（３）

 

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数の性質の問題（算数オリンピックレベル）　洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問

　０以外の数字を使ってできる整数を小さい方から順に１から９９９まで並べると、
　　１，２，３，４，５、６，７，８，９，１１，１２，……，９９９
となります。
　これらの整数について、次の問いに答えなさい。
（１）整数は全部でいくつ並んでいますか。
（２）並んでいる整数をすべてたすといくらになりますか。
（３）並んでいる整数をすべてかけ合わせた整数を考えます。
（ア）０は一の位から続けていくつ並びますか。
（イ）一の位、十の位、百の位、…と順に見ていくとき、０以外で初めて現れる数字は何ですか。

 

（３）の（ア）までは標準的な問題で、洛南の受験生（特に合格最低点が高い女の子）なら、絶対に落としてはいけない問題です。

（３）の（イ）は算数オリンピックレベルの難問で、受験生にはきつい問題だったかもしれません。

実際、ジュニア広中杯（算数オリンピックの中１、中２版）のファイナルで同じような問題が出されたことがあります（ジュニア広中杯２０１２年ファイナル第２問（３）で、２０１２以上４０２４以下の整数の積の末尾に並ぶ０をすべて取り除いた数の一の位を求める問題）。

昔、ジュニア広中杯で入賞した教え子が、一応解けたけど、もっと簡単に解ける解法はないですかと質問してきた問題で、この問題を見た瞬間に面倒だなぁと思いましたから。

ジュニア広中杯の問題も洛南の問題も安易に一の位だけを考えると間違えてしまいます。
例えば、１５×２＝３０の０を取り除くと３になりますが、一の位の数だけを考えた場合、５×２＝１０の０を取り除くと１となり、一致しませんからね。

５の倍数と偶数の積によって新たに生み出される「一の位」を考える必要があるわけです。

ただ、答えとして考えられるものは２、４、６、８であることがすぐにわかるので、適当に答えを書いて偶然正解した受験生が結構いたかもしれませんね。

検証していませんが、安易に一の位だけ考えたときに偶然正しい答えと一致していたらよくない問題でしょうね。

詳しくは、下記ページで。

　洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問（問題）

　洛南高校附属中学校２０２５年算数第４問（解答・解説）

 

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数の性質の問題（回文数）　洗足学園中学校２０２５年第１回算数第２問（１）

　１２１、２３３２、３００３のように数字の並び方が右からも左からも同じである数を回文数といいます。４桁（けた）の整数で１５の倍数である回文数のうち、もっとも大きい数を答えなさい。

１０秒以内に解ける問題です。
条件を満たす４桁の整数は、□△△□と表される数となります。
１５＝３×５だから、５の倍数で３の倍数であるものを求めることになります。
□＝５となることはすぐにわかりますね。
（５＋△）を２倍したものが３の倍数となることから、５＋△は３の倍数となり、最も大きいという条件を満たす△は７ですね。
したがって、答えは５７７５となります。

下の回文数の問題もぜひ解いてみましょう。

 

 

 

 

 

 

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小学生でも解ける高校入試数学の問題（オイラー関数）　筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問

　ｎは２以上の整数とします。
　ｎ以下の正の整数のうち、ｎとの最大公約数が１であるものの個数を<ｎ>と表すことにします。
　例えば、ｎ＝４のとき、４以下の整数のうち４との最大公約数が１であるものは１と３の２個なので、<４>＝２です。
　また、ｎ＝５のとき、<５>＝４です。
　次の問いに答えなさい。
（１）<９９>を求めなさい。
（２）aは正の整数とします。ｎ＝３aのとき、<ｎ>をｎの式で表しなさい。
（３）a、bは正の整数とします。ｎ＝３a×５bのとき、<ｎ>をｎの式で表しなさい。
（４）a、bは正の整数とし、ｐ、ｑはたがいに異なる素数とします。ｎ＝ｐaｑbのとき、<ｎ>＝２４をみたす整数ｎのうち、１００以下のものをすべて求めなさい。
（注）
正の→０より大きい
３a→３をa個かけあわせた数（他も同様）
ｐaｑb→ｐaとｑbの積

 

オイラー関数にまつわる有名問題で、（１）～（３）は小学生でも秒殺できます。

ヴェン図をイメージしたり、１周期分調べたりして解く解法でもそれぞれの小問を解くのに１分もかからないでしょう。

実際、中学入試にも同じような問題（武蔵中学校２０２４年算数第１問（１）、洛南高等学校附属中学校２０２１年算数第２問（１）など）が出されていますからね。

ただ、（４）が面倒です（難しいのではありません）。

ｐ、ｑに使える素数が２、３、５、７、１３だけであることがすぐにわかるので、パワーで押し込むことも可能でしょうが、面倒そうで、しかも、ミスが起こりそうなので、していません。

解説では、２４に素因数２がたくさん含まれることに着眼し、唯一の素数２が含まれるかどうかで場合分けした上で、偶奇性を利用して解いています。

詳しくは、下記ページで。

　筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（問題）

　筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（解答・解説）

余裕のある人は次の問題も解いてみるとよいでしょう。

 

 

 

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