今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００７年第３問を取り上げ、解説します。
正のというのは、０より大きいということです。
また、有理数というのは、整数/整数と表される数のことです。小学生の場合、単に分数（整数となるものも含みます）と考えればいいでしょう。
中学入試でも同じような問題（神戸女学院中学部１９９８年算数２日目第３問）が出されているので、小学生でも解けるでしょう。
５/７＜ｍ/ｎ＜３/４
５/７と３/４は１に近いので、それぞれの分数を１から引いた数で考えます（同じような考え方は既約分数の難問？（早稲田中学校、慶應義塾高校、横浜市立大学の入試問題）でも用いています）。
１－３/４＜１－ｍ/ｎ＜１－５/７
１/４＜（ｎ－ｍ）/ｎ＜２/７
１/４×ｎ＜ｎ－ｍ＜２/７×ｎ
ｎ－ｍは整数（ただし、０より大）だから、１/４×ｎと２/７×ｎの間に整数が入る場合を考えます。
ｎ＝１からｎ＝２０までを調べつくします。
２/７×ｎが初めて１（７/７）を超えるのは、ｎが４のときですが、このとき、１/４×ｎが１となり、ｎ－ｍが存在しないので、ｎが１以上４以下となる場合はありえません。
２/７×ｎが初めて２（１４/７）を超えるのは、ｎが８のときですが、このとき、１/４×ｎが２となり、ｎ－ｍが存在しないので、ｎが５以上８以下となる場合はありえません。
２/７×ｎが初めて３（２１/７）を超えるのは、ｎが１１のときですが、このとき、１/４×ｎが１１/４＝２．・・・となり、ｎ－ｍが３となり、ｍが８となります。
ｎが１２のとき、１/４×ｎが３となりますが、２/７×ｎは４を超えないので、ｎ－ｍが存在せず、この場合はありえません。
２/７×ｎが初めて４（２８/７）を超えるのは、ｎが１５のときですが、このとき、１/４×ｎが１５/４＝３．・・・となり、ｎ－ｍが４となり、ｍが１１となります。
ｎが１６のとき、１/４×ｎが４となりますが、２/７×ｎは５を超えないので、ｎ－ｍが存在せず、この場合はありえません。
２/７×ｎが初めて５（３５/７）を超えるのは、ｎが１８のときですが、このとき、１/４×ｎが１８/４＝４．・・・となり、ｎ－ｍが５となり、ｍが１３となります。
ｎが１９のとき、１/４×ｎが１９/４＝４．・・・となり、ｎ－ｍが５となり、ｍが１４となります。
ｎが２０のとき、１/４×ｎが５となりますが、２/７×ｎは６を超えないので、ｎ－ｍが存在せず、この場合はありえません。
したがって、答えは８/１１、１１/１５、１３/１８、１４/１９となります。
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