１から１０までの数字が１つずつ書かれた１０枚のカードがあります。
次の空欄をうめなさい。
（１）１０枚のカードから同時に３枚のカードを選ぶとき、カードに書かれた数字の和が１２になる選び方は[ア]通りあり、積が２４になる選び方は[イ]通りあります。
（２）１０枚のカードから同時に何枚かのカードを選ぶとき、積が１２０になる選び方は[ ]通りあります。
（３）１０枚のカードから同時に何枚かのカードを選ぶとき、和が４５になる選び方は[ ]通りあります。
中学入試でも昔から出されるタイプの問題です（神戸女学院中学部１９９６年算数２日目第１問、六甲中学校１９９６年Ａ算数第６問、東大寺学園中学校２００２年第１問（１）など）。
カードの枚数の指定がない（２）と（３）は若干面倒ですが、枚数で場合分けすればいいだけのことで難しくはありません。
ただ、やみくもに書き出すのではなく、適切な場合分けの基準を設定した上で書き出さないと、面倒なことになるでしょう。
因みに、いずれの問題もキッズBEEにチャレンジするような子であれば普通に解けますよ。
詳しくは、下記ページで。
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人が同じ地点から同じ道を歩きます。Ａ君が出発してから５分後にＢ君が出発し、さらに５分後にＣ君が出発します。Ｂ君は出発してから１５分後にＡ君を追いぬきます。Ｃ君は出発してから１５分後にＢ君を追いぬきます。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の歩く速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）Ｃ君がＡ君を追いぬくのは、Ｃ君が出発してから何分後ですか。
旅人算の有名問題で、昔から様々な中学校で出されています（ラ・サール中学校２００２年算数第３問など）。
ラ・サール中の問題の解説ページでは、オーソドックスな解法で解いていますが、今回取り上げた滝中の問題では、（１）を経由せず直接メインの（２）にアプローチする解法で解いています。
因みに、ラ・サールの問題を滝の問題の解説と同様にすると、同一距離を進む時間の比を求めるところまでは全く同じで、（２）は２４÷（７５×１２/７÷６０）＝５６/５km/時となります。
また、滝のメインの問題を（１）を経由して旅人算（追いつき）で解くと、９×（５＋５）/（１６－９）＝９０/７分後となります。
詳しくは、下記ページで。
図のような直角三角形ＡＢＣがあり、三角形ＡＰＣの面積と三角形ＡＢＱの面積は等しくなっています。
（ア）三角形ＡＢＣの底辺をＢＣとしたときの高さを求めなさい。
（イ）ＡＰの長さが１cmのとき、ＣＱの長さを求めなさい。
（ウ）ＡＣとＰＱが平行であるとき、三角形ＢＰＱの面積を求めなさい。
面積比の基本問題です。
解説では、いずれの問題も比を活用して解いています。
次のような問題（（ウ）の問題を少し改造した問題（本質的には同じ問題））を解いてみればこういう解法を採用した理由がわかるはずです。
三角形ＡＢＣがあります。辺ＡＢ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑを取ると、ＡＣとＰＱが平行になり、三角形ＡＰＣの面積と三角形ＡＢＱの面積は等しくなります。このとき、三角形ＢＰＱの面積は三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。
詳しくは、洛星中学校２０２５年前期算数第３問（２）の解答・解説で。
日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１６年予選の問題
今回は日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１６年予選第８問を取り上げます。
同じような問題は中学入試でも出されています（９９９の倍数判定法の問題（灘中学校２００３年１日目第７問、大阪星光学院中学校２００５年第１問（１））、９９９９の倍数判定法の問題（洛南附属高等学校中学校２０２３年算数第３問）、１００１の倍数判定法の問題（灘中学校２００２年算数１日目第２問））。
３７×３＝１１１、１１１×９＝９９９であることを利用します。
各桁の数字が異なる整数は１０桁以下であり、最大のものを求めるのだから、とりあえず１０桁の場合を考えます。
１０桁の整数をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ（Ａ～Ｊは各桁の数で、異なる整数（ただし、Ａは０以外の整数）とします。
１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪは
Ａ×１０００００００００＋ＢＣＤ×１００００００＋ＥＦＧ×１０００＋ＨＩＪ
＝Ａ×９９９９９９９９９＋Ａ＋ＢＣＤ×９９９９９９＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ×９９９＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ
＝Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ＋９９９の倍数（当然３７の倍数ですね）
となるから、１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪが３７の倍数となるのは、Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪが３７の倍数となるときになります。
最大のものを求めるから、とりあえずＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６５４３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます（区切りのいいところで固定して考えます）。
９＋８７６＋５４３＋ＨＩＪ
＝１４２８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋９６＋ＨＩＪ
となり、９９９と３３３は３７の倍数だから、ＨＩＪ＋９６が３７の倍数となるものを考えることになります。
ＨＩＪ＋９６は３の倍数（Ｈ、Ｉ、Ｊの各位の数の和が３の倍数で９６が３の倍数だからです）だから、３７×３＝１１１の倍数となるものを考えることになります（問題文には３の倍数という条件はどこにも書いてありませんが、各桁に使う数字に着目して３の倍数判定法を使うのがポイントで、これを使えないと調べる量が激増します。第３１回算数オリンピックトライアル問題５（算数オリンピック２０２２年トライアル問題５）で、問題文には９の倍数（９で割った余り）という条件はどこにも書いていないにもかかわらず、各桁に使う数字に着目して９の倍数判定法（９で割った余りの判定法）を使うのがポイントだったのと同じですね）。
ＨＩＪ＋９６は１２＋９６＝１０８以上２１０＋９６＝３０６以下だから、ＨＩＪ＋９６＝１１１つまりＨＩＪ＝１５またはＨＩＪ＋９６＝２２２つまりＨＩＪ＝１２６となりますが、いずれの場合も条件を満たしませんね。
以下、同様の作業となるので、説明を多少端折ります。
ＦとＧの４と３を入れ替えると、ＨＩＪ＋８７＝１１１または２２２より、ＨＩＪ＝２４または１３５となりますが、いずれの場合も条件を満たしませんね。
ＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６４５３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます。
９＋８７６＋４５３＋ＨＩＪ
＝１３３８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋６＋ＨＩＪ
ＨＩＪ＋６＝１１１より、ＨＩＪ＝１０５となりますが、条件を満たしません。
ＦとＧの５と３を入れかえる（９９９＋２２２＋９９＋ＨＩＪを考えることになりますね）と、ＨＩＪ＋９９＝１１１または２２２より、ＨＩＪ＝１２（０１２）または１２３となり、ＨＩＪ＝０１２のときに条件を満たします。
したがって、答えは９８７６４３５０１２となります。
なお、１０桁の整数の各桁に使われる数字の和が４５で９の倍数であることから、最初の段階で１０桁の整数が９×３７＝３３３の倍数であることを使うと、次のようにすることができます（こちらの解法のほうが上の解法より調べる場合がさらに減ります）。
１０桁の整数をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ（Ａ～Ｊは各桁の数で、異なる整数（ただし、Ａは０以外の整数）とします。
１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪは
Ａ×１０００００００００＋ＢＣＤ×１００００００＋ＥＦＧ×１０００＋ＨＩＪ
＝Ａ×９９９９９９９９９＋Ａ＋ＢＣＤ×９９９９９９＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ×９９９＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ
＝Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪ＋９９９の倍数（当然３３３の倍数ですね）
となるから、１０桁の整数ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪが３３３の倍数となるのは、Ａ＋ＢＣＤ＋ＥＦＧ＋ＨＩＪが３３３の倍数となるときになります。
最大のものを求めるから、とりあえずＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６５４３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます（区切りのいいところで固定して考えます）。
９＋８７６＋５４３＋ＨＩＪ
＝１４２８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋９６＋ＨＩＪ
となり、９９９と３３３は３３３の倍数だから、ＨＩＪ＋９６が３３３の倍数となるものを考えることになります。
ＨＩＪ＋９６は１２＋９６＝１０８以上２１０＋９６＝３０６以下だから３３３の倍数となることはありえませんね。
以下、同様の作業となるので、説明を多少端折ります。
ＦとＧの４と３を入れ替えると、ＨＩＪ＋８７が３３３の倍数となるものを考えることになりますが、この場合もありえませんね。
ＡＢＣＤＥＦＧ＝９８７６４５３（Ｈ、Ｉ、Ｊは０、１、２のいずれか）の場合について考えます。
９＋８７６＋４５３＋ＨＩＪ
＝１３３８＋ＨＩＪ
＝９９９＋３３３＋６＋ＨＩＪ
ＨＩＪ＋６が３３３の倍数となるものを考えることになりますが、この場合もありえませんね。
ＦとＧの５と３を入れかえる（９９９＋３３３－１２＋ＨＩＪを考えることになりますね）と、ＨＩＪー１２が３３３の倍数（０も含みます）となるものを考えることになりますが、ＨＩＪ－１２＝０つまり、ＨＩＪ＝０１２のときに条件を満たします。
したがって、答えは９８７６４３５０１２となります。
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日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１２年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１２年予選第３問を取り上げ、解説します。
同じような問題は中学入試でも出されています。
ただ、今回取り上げるJJMOの問題は、答えにルートが絡んで小学生が解くことができないので、少しだけ設定を変えます（本質的には何も変わりません）。
ＢＣ＝４、ＡＢ＝ＡＣで、三角形ＡＢＣの面積を６とします。
ＡＤ＝６×２/４＝３となります。
図のように、斜めの正方形ＡＰＱＢを水平な正方形の中に埋め込みます。
この正方形の面積は（２＋３）×（２＋３）－２×３×２＝１３となります。
また、三角形ＣＳＴを点Ｃを中心に反時計回りに９０度回転すると、三角形ＣＥＡとなり、３点Ｂ、Ｃ、Ｅは一直線上に来ます。
三角形ＡＢＣと三角形ＣＥＡは底辺と高さが等しいから面積も等しくなります。
条件の対等性により、他の三角形も同様ですね。
したがって、六角形ＰＱＲＳＴＵの面積は
６×４＋４×４＋１３×２
＝６６
となります。
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