第２２回ジュニア算数オリンピックトライアル問題８（ジュニア算数オリンピック２０１８年トライアル問題８）
今回は、ジュニア算数オリンピック２０１８年トライアル問題８を取り上げ、解説します。
色を付けていない部分の面積が正十角形の面積の何倍か考えます。
与えられた図形は線対称（左右対称）だから、とりあえず右半分だけで考えればいいですね（対称性を利用して作業範囲を減らします）。
一般に、正十角形を上の右側の図のように３つの部分（向かい合う平行な辺を２辺とする長方形とそれ以外の合同な２つの図形（五角形））に分割すると、（１０－４）/２＝３より、面積比は、左から順に３：４：３となります（因みに、ジュニア算数オリンピック２０１６年トライアル問題５はこの作業で秒殺できます）。
このことは正十角形に限らず、正□角形で□が偶数（６以上）であれば成り立ちます。
例えば、正六角形であれば、（６－４）/２＝１より、１：４：１となり、正八角形であれば、（８－４）/２＝２より、２：４：２＝１：２：１となり、正百角形であれば、（１００－４）/２＝４８より、４８：４：４８＝１２：１：１２となります（詳細については省略しますが、正八角形について説明したものが、東海中学校２００８年算数第９問の解答・解説のところにあるので、参照しましょう）。
話が少しそれたので、元に問題の解説に戻ります。
色を付けていない部分の面積は、水色の五角形１個分と黄色の長方形１/２×１/２＝１/４個分を合わせたものの２倍になるから、正十角形の面積の｛３/（３＋４＋３）＋４/（３＋４＋３）×１/４｝×２＝８/１０個分となるから、灰色の部分の面積の和は、正十角形の面積の２/１０×２＝４/１０個分、つまり８０×４/１０＝３２cm2となります。
