第２５回広中杯トライアル問題２（４）（広中杯２０２４年トライアル問題２（４））

広中杯（算数オリンピックの中学生版）の問題ですが、九九の７の段を少し拡張しただけの問題なので、算数オリンピックのキッズＢＥＥにチャレンジする子にもぜひチャレンジしてもらいたい問題です（桁数は減らしてあげるとよいでしょう）。

難しい知識は何もいりませんからね。

さて、広中杯の問題を解いていきましょう。
２桁の７の倍数（７で割り切れる数）を書き出します。
　１４
　２１、２８
　３５
　４２、４９
　５６
　６３
　７０、７７
　８４
　９１、９８
　（条件を満たさない数は消しています。）
上で書き出したものを見て、次（右隣）にどのような数が来るか調べていきます。

　１の次は４の１通り
→４の次は２か９の２通り・・・（☆）
→２のとき、次は１か８の２通り、９のとき、次は１か８の２通り（いずれにしても１か８の２通りとなりますね。）
→１のとき、次は４の１通り、８のとき、次は４の１通り（いずれにしても４の１通りとなりますね。また、この後は、（☆）以降の繰り返しになりますね。）
１、２、４、８、９は同じグループになります。

　３の次は５の１通り・・・（★）

→５の次は６の１通り

→６の次は３の１通り（（★）以降の繰り返しになりますね。）

３、５、６は同じグループになります。

　７の次は７（ずっと７が繰り返されるだけですね。）

７だけで「グループ」になっていますね。

それぞれのグループで右隣にどのような数がくるかまとめると次の図のようになります。

これで解く準備が整ったので計算していきます。
先頭が１のものについて考えます。
先頭から順に各位の数は、１、４、（２か９）、（１か８）、４、・・・となり、先頭から２番目目以降は、４、（２か９）、（１か８）の繰り返しが６セットあり、最後に４が来ます。
この場合は、
　１×（１×２×２）×（１×２×２）×・・・×（１×２×２）×１　（（１×２×２）が６セットあります。）
＝２¹²通り
あります。
先頭が２のものについて考えます。

先頭から順に各位の数は、２、（１か８）、４、（２か９）、（１か８）、・・・となり、先頭から２番目以降は、（１か８）、４、（２か９）の繰り返しが６セットあり、最後に（１か８）が来ます。
この場合は、
　１×（２×１×２）×（２×１×２）×・・・×（２×１×２）×２　（（２×１×２）が６セットあります。）
＝２¹³通り
あります。

先頭が４のものについて考えます。

同様にすると、この場合は、

　１×（２×２×１）×（２×２×１）×・・・×（２×２×１）×２　（（２×２×１）が６セットあります。）
＝２¹³通り
あります。

先頭が８のものについて考えます。

同様にすると、この場合は、

　１×（１×２×２）×（１×２×２）×・・・×（１×２×２）×１　（（１×２×２）が６セットあります。）
＝２¹²通り
あります。

先頭が９のものについて考えます。

同様にすると、この場合は、

　１×（２×１×２）×（２×１×２）×・・・×（２×１×２）×２　（（２×１×２）が６セットあります。）
＝２¹³通り
あります。

因みに、「同様にすると」と書いてありますが、実際には先頭から２番目が１通りか２通りかだけ確認すれば、２¹²通りか２¹³通りかがわかるので、実際には同様の作業をしていません（一応式を書いていますが、コピペしているだけです）。

また、先頭が１と８のもの、先頭が２と９のものをそれぞれまとめてもよいでしょう（上の図をみれば、まとめられることがすぐにわかるはずです）。

先頭が３、５、６、７のものについて考えます。