第２７回算数オリンピックファイナル問題６(算数オリンピック２０１８年ファイナル問題６）
今回は、算数オリンピック２０１８年ファイナル問題６を取り上げ、解説します。
素数がらみの問題を考えるとき、２と３が特殊な素数であること（２と３以外の素数は６で割ると１か５余ること）を常に意識しておく必要があります（一橋大学２０１４年前期数学第１問の解答・解説ページにあるエラトステネスの篩を参照））。
このことは、中学入試問題であっても大学入試問題であっても変わりません（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２）、京都大学２００６年前期理系数学第４問など）。
上の京大の問題は簡単すぎるので、少し改造した次の問題を考えてみましょうか。
２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ2＋２がともに素数になるｎを求めよ。
最初に述べたことを意識していれば、この問題を見た瞬間に答えは２か３ではないかとあたりがつけられます。
ｎ＝２のとき、２×２＋２＝６は素数でないから、条件を満たしませんね。
ｎ＝３のとき、３×３＋２＝１１は素数だから、条件を満たしますね。
あとは、６で割った余りで分類して条件を満たさないことを確認すれば解けるでしょうが、もう少し簡単に解けるかもしれないので、少し実験してみます。
ｎ＝５のとき、５×５＋２＝２７
ｎ＝７のとき、７×７＋２＝５１
ｎ＝１１のとき、１１×１１＋２＝１２３
いずれの場合も３の倍数となって条件を満たさない（偶数ということは関係ない）から、３で割った余りを考えればいいということで、上の京大の問題の解説になるわけです。
因みに、大学入試問題では「すべて求めよ」となっていなくも、すべて求めるのが当たり前で、答えが１個の場合、その答え以外に答えがないということを示さないといけないので、答えが１個の場合にわざわざ「すべて求めよ」というのは頓珍漢なことです。
さて、算数オリンピックの問題を解いてみましょう。
〇が７個あり、２０以下の素数が２、３、５、７、１１、１３、１７、１９の８個あるので、使わない（あるいは、使えない）素数が１個ありますね。
最初に述べたことを意識して入れば、使えない素数があるとしたら、２か３ではないかとあたりがつけられますね。
２以外の素数は奇数だから、２を含む３つの素数の和（偶数＋奇数＋奇数）は２より大きい偶数となり、素数となりえません。
このことから２が使えないことがすぐにわかります。
次に、特殊な素数である３の配置を考えます。
２０以下の素数で２と３以外のものを６で割った余りで分類します。
（あ）６で割ると１余る数・・・７、１３、１９
（い）６で割ると５余る数・・・５、１１、１７
３を含む３つの素数の残り２つを異なるグループから選ぶと３つの素数の和が３より大きい３の倍数となってしまうから素数となりえず、同じグループから２個選ぶことになります。
３を含む３つの素数の和は最大でも２つ（同時に使えるものが２つということです）しか作ることができないので、３を正三角形の真ん中と正三角形の頂点に配置するこができず、正三角形の辺の真ん中のところに配置することになります。
ここからが（多少）試行錯誤するところになります。
答えをすべて求めることもできますが、面倒なので、答えを１つ求めることにします。
３を含む３つの素数の和を確定させます。
３＋７＋１３、３＋７＋１９（この２つの組は一方だけしか使えませんね。）
３＋５＋１１、３＋１１＋１７（この２つの組は一方だけしか使えませんね。）
とりあえず、数字の小さい組（３＋７＋１３と３＋５＋１１）を考えます。
３＋５＋１１を辺のところに配置してみます（どの辺に配置しても同じことですし、５と１１の配置が逆になっても同じことです）。
３＋７＋１３を正三角形の高さのところに配置することになりますが、７と１３が入れ替わったものは条件が異なりますね。
とりあえず、７を正三角形の真ん中に配置してみます。
５＋７＝１２に１７か１９をたして素数となるものを考えることになりますが、両方とも素数となるので、とりあえず１１＋７＝１８に１７か１９をたして素数となるものを考えます。
こちらは１９だけが条件を満たしますね。
あとは、５＋１９＋１３＝３７と１１＋１７＋１３＝４１がともに素数となることを確認して答え（の１つ）が確定します。
因みに、使える７つの素数を確定させた後、３つの素数の和が素数となるものを書き出して解くことも一応可能ですが、やめておいた方がいいでしょう。
（７×６×５）/（３×２×１）＝３５通りの和について素数かどうかを考えることになり、面倒ですからね。
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