今回は、日本数学オリンピック２０１６年予選第１問を取り上げ、解説します。
小学生にとってはなじみのない記号（√、４乗）があるので、そのままでは解けませんが、次のような問題（内容はJMOの問題と変わっていません）にすれば、小学生でも解ける問題となります。
次の□にあてはまる整数を求めなさい。ただし、２つの□には同じ数が入るものとします。
（１１×１１×１１×１１＋１００×１００×１００×１００＋１１１×１１１×１１１×１１１）/２＝□×□
実際、このように表現に変えた問題を教え子に解いてもらったことが何度かありますが、普通に解けた子が結構います。
さて、ＪＭＯの問題を解いていきましょう。
１１×１１×１１×１１
＝１２１×１２１（この計算は、「並び数」のかけ算の計算手法（桁をずらして足すだけ）を応用します（以下同じ）。
＝ １２１
２４２
＋１２１
１４６４１
１１１×１１１
＝ １１１
１１１
＋１１１
１２３２１（この計算については、筑波大学附属駒場高等学校２００５年数学第４問の解答・解説ページを参照）
１１１×１１１×１１１×１１１
＝１２３２１×１２３２１
＝ １２３２１
２４６４２
３６９６３
２４６４２
＋１２３２１
１５１８０７０４１
１００×１００×１００×１００＝１００００００００
１５１８０７０４１
１００００００００
＋ １４６４１
２５１８２１６８２
↓÷２
１２５９１０８４１（＝□×□）
まず、桁数の見当をつけます。
１００００００００＝１００００×１００００だから、□は１００００より「少し」大きい数となります。
次に、最高位のほうから数の見当をつけます。
１１×１１＝１２１＜１２５＜１４４＝１２×１２だから、□は１１０００より「少し」大きい数となります。
１１１×１１１＝１２３２１＜１２５９１
１１２×１１２
＝ ２２４
１１２
＋１１２
１２５４４＜１２５９１
で、１１３×１１３が１２５９１より大きいことは、１１２×１１２の計算過程から容易に読み取れるので、□は１１２００より「少し」大きい数となります。
１１２１×１１２１
＝ １１２１
２２４２
１１２１
＋１１２１
１２５６６４１＜１２５９１０８
１１２２×１１２２
＝ ２２４４
２２４４
１１２２
＋１１２２
１２５８８８４＜１２５９１０８
１１２３×１１２３が１２５９１０８より大きいことは、１１２２×１１２２のの計算過程から容易に読み取れるので、□は１１２２０より「少し」大きい数となります。
□×□（＝１２５９１０７９１）の一の位が１であることから、□の一の位の数は１か９となります（一の位チェック！）。
１１２２１×１１２２１
＝ １１２２１
２２４４２
２２４４２
１１２２１
＋１１２２１
１２５９１０８４１
となるから、答えは１１２２１となります。
なお、最後のところは、倍数判定法（検算で使う九去法を応用）を利用してもよいでしょう。
１２５９１０７９１は９で割ると８余る数ですが、１１２２９は、各位の数の和が３で割り切るから３の倍数となり、１１２２９×１１２２９は９の倍数となり、答えとなりえません。
このことから、答えがありうるとしたら、１１２２１となることが計算するまでもなくわかります。
中学生で文字式を習っているのであれば、次のように、ルーティーンワークのような作業をするだけです。
１００＋１１＝１１１であることに着目します。
１００＝ｘ、１１＝ｙとします。
ルートの中身の分子は
（ｘ＋ｙ）4＋ｘ4＋ｙ4
＝（ｘ2＋ｙ2＋２ｘｙ）2＋（ｘ2＋ｙ2）2ー２ｘ2ｙ2 （前半の４乗で、４乗の展開公式に跳びつかないことが大切です。後半の変形は前半の変形で出てきた形をみて、（ｘ2＋ｙ2）のかたまりを作り出しました。）
＝２（ｘ2＋ｙ2）2＋４ｘｙ（ｘ2＋ｙ2）＋２ｘ2ｙ2 （（ｘ2＋ｙ2）のかたまりをばらさないように式変形します。前半の展開で出てきたものと（ ）の外にあるもので計算できるものをすぐに計算してしまうのがポイントです（証明問題ではないので、式変形を端折っても問題ありません）。だらだら式を書いたところで正確性はアップしません（むしろ、ミスが起こりやすくなります）。）
となるから、ルートの中身は
（ｘ2＋ｙ2）2＋２ｘｙ（ｘ2＋ｙ2）＋ｘ2ｙ2
＝（ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ）2
となり、ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ＞０だから、与えられた式はｘ2＋ｙ2＋ｘｙとなります。
あとは、文字を数字に戻すだけです。
１００×１００＋１１×１１＋１００×１１
＝１１２２１
が答えとなります。
