数列{an}はa1＝１、a2＝１、an+2＝an+1＋an（ｎ≧１）を満たしている。a2024を１３で割った余りを求めよ。
（注）
数列{an}→小学生は無視して考えればよいでしょう。
an→ｎ番目の数（他も同様）
この問題を見ると、２年前京大医学部に受かった教え子のことを思い出します。
東京出版のマスターオブ整数にフィボナッチ数列（１，１，２，３，５，８，１３，・・・）の一の位の周期性の問題があって、当時高１の教え子がその問題に取り組み、「一の位の数を書き出して周期を見つけて解いたけど、これって何十個も書き出して周期を見つけるしかないんですか」と質問してきました。
「東京出版ならちゃんとした解法を書いているでしょ」と言うと、「別解みたいなところに書いてあったけど、紙面の関係で説明が省略されてる」と言われたので、確認すると本当に詳細が省略されていました（笑）。
結局、以下のように、この一橋の問題と同じ作業を行い、説明すると納得していました。
１番目 □
２番目 〇
３番目 □×１＋〇×１
４番目 □×１＋〇×２
５番目 □×２＋〇×３
６番目 □×３＋〇×５
７番目 □×５＋〇×８
８番目 □×８＋〇×１３
９番目 □×１３＋〇×２１
１０番目 □×２１＋〇×３４
１１番目 □×３４＋〇×５５
１２番目 □×５５＋〇×８９
１３番目 □×８９＋〇×１４４
１４番目 □×１４４＋〇×２３３
１５番目 □×２３３＋〇×３７７
１６番目 □×３７７＋〇×６１０＝□×３７０＋□×７＋〇×６１０→□×７
１７番目 □×６１０＋〇×９８７＝□×６１０＋〇×９８０＋〇×７→〇×７
１、７、７×７＝４９→９、７×７×７→９×７＝６３→３、７×７×７×７→３×７＝２１→１、・・・となり、（△×１５＋１）番目（（△×１５＋２）番目）（△＝０、１、２、・・・）は１、７、９、３の４個の数の繰り返しとなり、周期が１５×４＝６０個であることがわかり、あてもなく延々と数を書き出すことが防げるわけです。
なお、フィボナッチ数列に大体どういう数字があるかということは把握しておくとよいと思います（一の位（１０で割った余り）を考えるときは、フィボナッチ数列に１０の倍数（６１０）があるということを把握していれば、そこまで書き出せばいいということが事前にわかりますし、一橋の問題のように、１３で割った余りを考えるときは、フィボナッチ数列に１３があるということを把握していれば、そこまで書き出せばいいということがわかりますね）。
上で書き出したことからわかるように、フィボナッチ数列の一の位の周期性の問題の場合、今回取り上げた一橋の問題より周期が長いので、きっちりとした解き方をしないとかなり面倒になるんですよね。
一橋の問題はいまいちな解き方でも２８個書き出せば何とかなります。
因みに、２０２３年の渋幕の中学入試で同じような問題が出されたことがあります（２００８年にも出されています（渋谷教育学園幕張中学校２００８年２次算数第３問）が、３で割った余りを考える問題なので、上のようなことを考えずに、３で割った余りを書き出してしまったほうがはやいでしょう）。
機会があれば取り上げて解説したいと思います。
最後に、フィボナッチ数列、トリボナッチ数列、テトラナッチ数列を少し書き並べておきます。
（参考）
フィボナッチ数列：最初の２項が０、１で、以後の項が直前の２項の和になっている数列
０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０，・・・
トリボナッチ数列：最初の３項が０、０、１で、以後の項が直前の３項の和になっている数列
０，０，１，１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，１４９，２７４，５０４，・・・
テトラナッチ数列：最初の４項が０、０、０、１で、以後の項が直前の４項の和になっている数列
０，０，０，１，１，２，４，８，１５，２９，５６，１０８，２０８，４０１，７７３，・・・
詳しくは、下記ページで。
一橋大学２０２４年後期数学第５問・選択問題[１]（問題）
一橋大学２０２４年後期数学第５問・選択問題[１]（解答・解説）
