灘中学校２０１１年算数１日目第５問
１円硬貨と５円硬貨と１０円硬貨と５０円硬貨がそれぞれたくさんあります。これらから必要な枚数だけ取り出して、合計金額を１０円にする方法は４通り、合計金額を５０円にする方法は[① ]通り、合計金額を１００円にする方法は[②]通りあります。
表を利用して書き出していけば規則性に気づくはずです。
表をかく際、１円硬貨を無視してもいいことに注意しましょう。
この問題に関して、「灘中なら１５０円や２００円の場合を出題してほしかったなあと思います。なお、５０円硬貨を除外して０円（支払わないということですね）、１０円、２０円、３０円、４０円、５０円、・・・を支払う方法が何通りあるか考えて（規則性があるので、ぜひやってみましょう）、それを利用して解くこともできます（問題文の例から判断すると、灘中の想定した解法はこちらのような気がします）」とずいぶん前にコメントしていますが、それは、灘中の問題を一般化した次の阪大の問題が頭の中に思い浮かんでいたからです。
詳しくは、灘中学校２０１１年算数１日目第５問の解答・解説で。
大阪大学１９８８年Ｂ文系（法・経済）数学第１問
ｎは正の整数とする。
（１）１０円玉と５０円玉を組み合わせて合計５０×ｎ円にするには（ｎ＋１）通りの方法があることを示せ。
（２）１０円玉、５０円玉、１００円玉を組み合わせて合計１００×ｎ円にするには何通りの方法があるか。
（３）１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉を組み合わせて合計１万円にするには何通りの方法があるか。
（解説）
「正の」というのは０より大きいということです。
金額が全部１/１０になったと考えると、問題は次のようになります。
（１）１円玉と５円玉を組み合わせて合計５×ｎ円にするには（ｎ＋１）通りの方法があることを示せ。
（２）１円玉、５円玉、１０円玉を組み合わせて合計１０×ｎ円にするには何通りの方法があるか。
（３）１円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉を組み合わせて合計１０００円にするには何通りの方法があるか。
因みに、今年のキッズBEEトライアル第７問は、１円玉、５円玉、１０円玉を組み合わせて合計３５円の支払い方と１円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉を組み合わせて合計１００円の支払い方がそれぞれ何通りあるか求める問題でしたが、阪大の問題の類題であることがわかるでしょう。
さて、阪大の問題を解いてみましょう。
（３）の問題は高校で習うシグマkの２乗の公式を知らないと（計算が）きついですが、（１）、（２）の問題は小学生でも解けます（低学年の子には少しきついでしょう）。
硬貨の組み合わせ方を支払い方と表現します。
１円玉の枚数を無視してもよい（残金は自動的にすべて１円玉で支払うと考えます）のは灘中の問題と同じです。
（１）
５円玉の枚数として考えられるのは、０枚、１枚、２枚、３枚、・・・、ｎ枚の（ｎ＋１）通りあるから、支払い方は全部で（ｎ＋１）通りあります。
（２）
（１）で作成した「公式」を利用して解きます。
なお、（１）で作成した「公式」は、ｎが０のときも成り立ちます（支払わないという１通りと考えます）。
１０円玉の枚数 残金
ｎ １０×０＝５×０ １通り
（ｎ－１） １０×１＝５×２ ３通り
（ｎ－２） １０×２＝５×４ ５通り
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１ １０×（ｎ－１）＝５×（ｎ×２－２） （ｎ×２－１）通り
０ １０×ｎ＝５×（ｎ×２） （ｎ×２＋１）通り
したがって、支払い方は全部で
１＋３＋５＋・・・＋（ｎ×２－１）＋（ｎ×２＋１）
＝（ｎ＋１）×（ｎ＋１）通り （１から連続する（ｎ＋１）個の奇数の和の公式を利用しました（西大和学園中学校１９９５年算数第５問の解答・解説を参照）。等差数列の和の公式を利用してもよいでしょう）。
あります。
（３）
（２）で作成した「公式」を利用して解きます。
なお、（２）で作成した「公式」は、ｎが０のときも成り立ちます（支払わないという１通りと考えます）。
５０円玉の枚数 残金
２０ １０×０ １×１（通り）
１９ １０×５ ６×６（通り）
１８ １０×１０ １１×１１（通り）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１ １０×９５ ９６×９６（通り）
０ １０×１００ １０１×１０１（通り）
したがって、支払い方は全部で
１×１＋６×６＋１１×１１＋・・・＋９６×９６＋１０１×１０１
＝７３８７１通り （高校で習うシグマkの２乗の公式を使うと、（５ｋー４）×（５ｋ－４）をｋ＝１から２１まで足し合わせることになるので、２５×２１×２２×（２１×２＋１）/６－４０×２１×２２/２＋１６×２１を計算することになります。）
あります。
キッズBEEの３５円の支払い方の問題は表をかいていけばいいでしょう。
１０円玉 ３ ２ １ ０
５円玉 １ ０ ３ ２ １ ０ ５～０ ７～０
表を書く際、１０円玉１枚を５円玉２枚と交換することをイメージすると理解しやすいでしょう。
また、表で書き出していくうちに規則性が見いだせるでしょう。
支払い方は全部で２＋４＋６＋８＝２０通りあります。
キッズBEEの１００円の支払い方の問題は、上で紹介した灘中のメインの問題とほぼ同じで、１００円玉１枚で支払う１通りが加わるだけです。
この問題はキッズBEEのトライアルとしては難しく、キッズBEEのファイナルで出されても何の不思議もない問題だったと思います。
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