授業がんばりMATH -6ページ目

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23Apr
- 0のかけ算
  　前時に「九九表」を右と下に広げました。本時はそのことを強調する「促言」を出していき，「だったら，左や上にも広がるんじゃないか。」という発言を引き出し，めあてとして設定しました。ただし，「広がらない。」と考えている児童もかなりいます。その理由として，右や下は，この後も無限に広がりそうですが，上と左に関しては，どんどん広がらないようなイメージがあるからです。これは仕方ないでしょう。中学校で「正負の数」を学習するまで待たなければなりません。　まず，左に広げていきます。１つの場所を示して，そこが「５×０」の位置であることを確認します。この答えを聞いてみると「０」に交じって「５」という声も聞こえます。イメージとしては「５+０」の感じでしょうか。子どもらしい発想です。たし算とかけ算の「単位元」の違いですが，その混同を表しています。　そこでこの演算の意味を聞いてみると「５が０個」という意見が出てきました。さらにかけ算のきまりをつかって「５×１」の５から５を引く意見も出てきました。後者は学習したばかりで分かりやすいようです。前者に関しては，具体的な，「あめが５個入ったふくろが０袋だと，あめは何個かな。」という，問題に落として，その言葉をイメージさせます。　上に広がる場合も同様に進めます。今度は同数累加で説明できます。さらにあめと袋の場面にすると，何も入っていない袋が４袋あることになるので，計算結果のイメージが分かりやすくなっています。こうして，九九表が「一まわり」膨らむところまで進めることができました。　こうして，０を含むかけ算を一般化しました。計算だけ見ると簡単なことですが，それぞれ「意味の拡張」となっているので数学的には大切な場面です。　この後は，少し計算練習をします。０を含むかけ算の練習ですが，そのタイプばかりの出題では練習になりません。紛らわしいものもいくつか入れておき，しっかり考えながら計算しなければならないようにしています。　この後は，前時に学習したことも含めて「的あてゲーム」の場面を使って練習していきます。教科書では，このゲームを使って，計算場面を広げていますが，これでは大人が意図的に演算を拡張しています。九九ということに対する「知的好奇心」に培って展開したのが私の流れです。大きな違いがあります。　にほんブログ村
22Apr
- 10のかけ算
  　前時に使った「九九パズル」を示して，作らせます。前日にやっているので素早く作ることができました。前日に学習した，かける数が１±すると，かけられる数だけ±することを押さえます。このことを言葉で押さえた後，「これを，算数の言葉にします。」といって「３×７=３×６+３」という式を見せていきました。ひき算になる方も同様です。　この式表現は，啓林館の教科書にはありませんが，他社の教科書にはあるのできちんと指導しておきます。練習題もやって数問確認していきます。　かけられる数を増やしていくことを表の中で確認します。この時「×９」をこえて，表の外側にずらします。そこでも数字があると言います。　その位置が，式で「６×１０」になることを押さえ，前日のきまりで考えると「６０」になることを見つけます。この答えが本当に成り立っているのかは，「１袋にあめが６個ずつ入っていて，それが１０袋だと何個になるか。」という，具体的問題に戻して，同数累加で答えを確認します。確かに成り立っていることが分かりました。　こうして「×１０」のところが全部埋まりました。今までの九九表が「右」に広がりました。すると一人の児童が，「下にも広がるよ。」と言い出しました。その意味を確認し，先と同様の方法で「１０×」の部分も埋めていくことができました。　そうすると右隅に１ます気になる部分ができました。「１０×１０や。」という威勢のいい声も聞こえてきました。そこが１００になることも確認しました。　この後は教科書の練習題をして，本時に分かったことを簡単にまとめておきました。次の『ノートにしゃべろう』への布石で，「だったら，右や上にも広がる。」という言葉を引き出すためです。何人かがその軌道に乗ってくれました。　にほんブログ村
21Apr
- 「九九の表とかけ算」導入(九九パズル)
  　新年度の，教科書内容の授業のスタートです。最初の単元は「九九の表とかけ算」です。この時間の目的は，「かける数が±１になると，かけられる数だけ±になる。」という，かけ算のきまりをまとめることです。これを実現するために作ったのが「九九パズル」です。　これを提示したとたん，「かけ算や。」と気づく数感覚の児童もいます。もちろん全く分からない児童もいます。かけ算だと感じた理由を聞いてみると，「一番大きいのが８１だから。」など，子どもらしい発想がありました。　この中の，ほぼ中央に位置する１枚のピースを取り上げ，「このピースの右あたりに来るのはどれだろうね。」と投げかけます。　子どもから反応があったのは，２つのピースです。どちらも「２４」という数字が目につきます。これを選んだ理由を話し合います。「12,16,20と４ずつ増えてるから，24になる。」など，数の並びに自然に着目します。ただ，２４ならばもう１つのピースもあります。そのように並べてみると，４ずつ増えていたものが３増えることになってしまいます。このようにして，横の並びは，いつも同じ数ずつ変化しなければならないことの「説明」が自然に起こってきました。　これを，左側に来るピースで考えると，今度は「減っていく」変化に目をつけることになっていきました。こうして，本時のねらいである「言葉」を自然に引き出していきました。　こうして，見事に九九パズルが完成しました。ここまでにピースを見つけるためにやってきたことを，言葉にしてまとめていきます。かなり長い文になっていますが，このようなものは，きちんとノートに視写させます。　この後，教科書の簡単な問題を書き込み，「仲間学習」を押さえました。さらに残った時間で，印刷した九九表をわたし，「ハサミで切って，自分なりの九九パズルをつくろう。」と投げかけました。時間不足で休み時間まで使ってしまいましたが，子どもたちは喜んで作っていました。　にほんブログ村
18Apr
- 授業開き(相性占い)
  　新年度の算数授業がスタートしました。１時間目は，特設の「先生との相性占い」です。「０」～「９」までの１０枚の数字カードを裏返し，先生とみんなとが同時に１枚ずつを引きます。　例えば，先生が「５」，みんなが「３」を引いたとします。この２つの数字を並べてできる２桁の数字を作り，大きいほうから小さいほうを引く筆算をします。この計算は２年生で学習済みです。「５３-３５」で「１８」となります。　この計算結果「１８」を，「相性表」で見比べます。たくさんの数字の横には「??」「?」「▽」「?」のマークがついていて，それぞれ「最高」「まあまあ」「なんとか」「最悪」の愛称が当てはまります。相性表は３種類あり，どれを選ぶかでも運命が異なってきます。　全員が，先生とカードを引き合い，自分の結果を計算して照らし合わせます。するとなんと，全員が「相性ばっちり」という結果になったのです。これは素晴らしい結果といえます。　そこで，先生とだけではなく，友達同士でも同じように相性を占います。クラス替えで新しい友達とやっている人もたくさんいました。こちらもなんと全員が「相性ばっちり」となり，今年の３年１組は，とても素晴らしい組になるようだと感じられました。　この時，一人の児童が，「先生，３６はみんなハートになっている。」　というのです。確かに３種類の相性表では，全部３６がハートになっています。するとさらに，「先生，８１や１８もハートになっている。」「７２や９０もだ。」と，数字に目を向けはじめました。さらに別の児童が，「その数字は，全部９×何かになっている。」という気づきを発表しました。するとさらに，「だったら，２７もハートのはずだ。」と切り返してくれました。　初日の授業ですが，数字を眺めてその特徴などにも目が向き，とてもいい授業開きができました。　にほんブログ村
17Apr
- ２月下旬研修2(４年　変わり方)
  　今年度最終研修２本目は，４年生の「変わり方」です。左のような課題になつています。一見目新しい問題のように見えますが，構造的には教科書にある「テーブルの数と座る人数」と同じです。「私の授業はこちら」人の数が棒の数に代わり，正方形の並べ方が横一直線ではなく，くねくねにつなげていくようになっているだけです。　私は，この「変更」は，この学校の実態から来ているものだと思います。私のクラスでは「抵抗感」が強くなるのでできないでしょう。抵抗感の１つ目は，まず「棒の数」にすると，周りの長さに関係している棒と関係ない棒の区別が難しくなるということです。シンプルにテーブルと人が見えていることが抵抗感を弱めます。　表は簡単に出来上がりました。この表から「正方形が１増えると周りの長さは２増える」ということはすぐに見つかりました。ここから「式」を作っていきます。最初に出てきたのは，「４＋(〇－１)×２」です。〇は正方形の数です。この式は，表の変化から見つかる式です。「〇－１」の説明が難しいのですが，子どもたちは豊かな表現で話をしていました。それは，「そこが分からない。」としっかり言える児童の存在でした。その子に何とか伝えようと頑張っているのです。表現はやはり「聞き手」の存在が大きいということです。　「〇×２＋２」という式も出てきました。この時の「×２」の意味や「＋２」の意味も話し合われましたが，なかなかうまく説明できません。「２ずつ変わる」のが「〇が１増えるから」なのか「＋２があるから」なのかというずれがあったように感じました。そうなった理由に１つとして「正方形の並べ方」があるように感じました。横並びであれば，「×２」は「上と下の辺」，テーブルと人であれば「１つのテーブルに座れる人数」と説明できますが，この並べ方・場面だとその言葉が引き出せません。「＋２」はテーブルと人なら「お誕生席」という言葉で説明できますが，それが使えません。「抵抗感」の２つ目はこのあたりのことです。　教科書と同じ内容を工夫して実態に合ったものにされた授業者と，表現力豊かな子どもたちに感謝したいと思います。　にほんブログ村
16Apr
- ２月下旬研修1(６年　ピックの定理)
  　２月下旬に，今年度最終研修として，某国立大学附属小学校の研究会に参加してきました。この学校に行くのは今年度だけで３回目です。授業は２本見られました。１本目は６年生の「ピックの定理」です。「ピックの定理」は，６年生の特設授業として，私もいつも行っているものです。１㎝間隔で並んだドットの中に，ドットをつないで図形を作ったとき，その面積は，図形の辺上に来るドットの数と，図形の内部に来るドットの数で計算できるというものです。「私の実践はこちら」辺上のドットを「通点」(私のクラスの児童が名付けた)図形内部のドットを「中点」としたとき，「面積＝中点＋通点×1/2－１」となります。左の長方形であれば，中点が１２個，通点が１８個なので，「１２＋１８×1/2－１＝２０」となります。　この日の授業は，ドットの中に描かれた三角形の面積を，周りの三角形の面積を引くなどして求めたあと，「ピックの定理」が授業者から示され，これで計算してみると，確かに同じ面積になっていることがわかりました。そのあと，自分で自由に作った図形をその「公式」で求めた後，「なぜこの定理が成り立つのか。」を考えるために，「長方形」が出てきて，この理由を考えていく展開となりました。　後の研究会で指摘させてもらったのですが，定理の「美しさ」などは，教師から示されても感じることはないでしょう。自分で見つけて初めて感じることです。自分で見つけていないので「なぜ」を考える動機も弱くなっています。いろんなものが，上から示されているのが一番の問題点だと思いました。　しかし素晴らしいのはこの教材で「なぜ」に向かおうとしたことです。私はこの部分は完全にあきらめていて，帰納的に公式自体の発見に特化しています。ところがこの「長方形」だと，何となくピックの定理の理由が見えてきます。　右のように補助線を入れると，中点には「１平方センチメートル」がくっついているので，その数がそのまま面積となります。その周辺には辺上の通点に対して「1/2平方センチメートル」が対応しています。ところが頂点になっている通点に対しては「1/4平方センチメートル」しか対応していません。したがってこの４点を1/2平方センチメートルとして計算してしまうと「１平方センチメートル」大きくなってしまうので，最後に１を引かなければならないというわけです。　もちろんこれが本当の証明ではありませんが，小学生ではこのような「Action Proof」で十分だと思います。　代案として，この日はドットの中に，長方形か正方形を作ることに特化し，ドットの数によって面積が変わってくることは帰納的に見せ，その後教えたピックの定理をほかの長方形で確かめ，「なぜ」に向かえば，この学校の児童であればなんとかできたのではないかと提案させてもらいました。　ピックの定理の新しい方向性を見せていただきました。ありがとうございました。　にほんブログ村
14Apr
- ２月半ば研修2(６年　およその面積)
  　２月半ば研修２本目は，６年生の「およその面積」です。電子黒板に「大山古墳」の航空写真が示されました。この古墳の面積を求めるのですが，そのすぐ近くに「学校」もあるようです。その学校の大きさを使って考えることもできますが，それはなかなか難しいということで，これまでに習った公式を使って，およその面積を求めることが課題として設定されました。　実際の長さなどは，グーグルマップなどで求められるようです。実際には面積も求められるようですが，それは禁止しました。　自力解決では，１つの長方形とみる見方と，１つの台形とみる見方，さらに長方形と半円さ見る見方が出てきました。子どもたちは自分でしっかり求められています。ただ，最初は自信があるといっていた子どもたちの自信がだんだんなくなっています。それは，やり方によって結果に大きな差があるためです。だから自信がなくなっているのです。これは子どもたちの，「やっぱりできるだけ正確に求めたい。」という気持ちの表れだと思います。　話し合いでは，１つの長方形とみる見方の中で，一人の児童が，「長方形の外側と内側を調整して，できるだけ近い値にする方法」を紹介しました。このアイデアは，子どもたちがあまりやりたがりません。私の実践では，全部実在の面積の中に入るように小さく取る児童と，全部の部分が入るように大きくとる児童に分かれます。「その様子はこちら」　このアイデアを共有し，最終的には，概形をとらえ，できるだけ近くなるように「均す」ということをすればよい，という結論で終了しました。　私は後の研究会で，「均す」考えが，一人の児童の発想から出てきただけなので，面積を求めた後，正しい面積を示し，実際より大きくなったり小さくなったりした原因を考え，それならば同じ長方形でもう少し取り方を工夫すればできるんじゃないか，しいうストーリーで進めると，「選ぶ」という学習に近くなるのではないかという意見を言わせていただき，それに近い意見がフロアからいくつも出ていました。　ところがその後，この地元の重鎮といわれる先生方から，「学習指導要領には，概形でとらえられるようになることを求めていて，正確な値に近づけること(正値)は，逸脱していてやるべきではない。」という意見が出されました。そうなると授業者もその意見を無下にするわけにはいかなくなりました。　「助言者」の指導主事も，この話に対して「学習指導要領解説」を引用し，近い値にしようとする必要はないと述べられていました。私ももちろん，正確性を求めることが目的ではないことは理解しています。「その証拠はこの記事」　ただし，改めて「解説」を見てみると，左のように示されていて，確かに「正確性」については何も書かれていません。しかしこの概測を行うとき「目的に応じて」という言葉が入っています。この時の目的は，授業者が設定する場合もあれば，子どもが個々に持つこともあるでしょう。この日の授業で，授業者は大山古墳の面積を求めることの「目的」は何も示していません。したがって，知的好奇心として示された問題に対して，子どもたちが自主的に持った目的，それが「できるだけ近い値にしたい。」ということなのではないでしょうか。私はこの課題に対して，この目的を持たない児童にはしたくないと思うし，多くの児童はこの目的を自然に持つのではないかと思っています。　この当地の授業に関して「きれいな授業」という印象は，この日の2つの授業で完全に払拭されました。一方で，１３年前に行われた当地での全国大会の時の発言を思い出しました。「その様子はこちら」　６年生の「場合の数」は，全部をかきだすことが目的なので，「式を考える」ことはやってはいけない，という意見です。今回の意見との共通点を感じたのは，１００人近い参会者の中で私だけだったでしょう。授業者２人の柔軟な発想による授業に敬意を表したいと思いました。ありがとうございました。　にほんブログ村
11Apr
- ２月半ば研修1(１年　ものと人の数)
  　２月半ばに，某国立大学附属小学校の研究会に参加させていただきました。コロナ前はよく行っていたのですが，ここ数年は参加できていませんでした。久しぶりの参加です。以前の印象は「きれいな授業をする」というものでしたが，５年ぶりなのでどう変わっているかも楽しみにして参加しました。授業は２本見られました。１本目は１年生の「ものと人の数」です。　前時に，「人と椅子の数」という違う物の加減計算を考えています。本時は，人と車ということに加え「順序数」を組み合わせた問題です。この問題が，電子黒板で，文章とともにイラストが示されたもので順番に示されていきました。すべて紹介した後，どんな問題だったのかを思い出しながら，黒板に問題文が板書されていきました。　さらにもう一度，電子黒板でイラストともに示された瞬間，「あっ，分かった。」という声があちこちで上がりました。実際にノートに答えをかかせると，ほとんどの児童が「６番目」ということを理解していたようでした。それを確認した後，「答えはわかったけれど，それを説明してみましょう。」ということで，本時のめあてが設定されました。ここから，説明のために使う「ツール」として「タブレット上で動かせる絵」「タブレットで自分で描く図」「式」の３つが確認されました。　後の教科分科会の全体説明で，「選ぶ」「生み出す」が今年のテーマだということでした。そのためにこの３つが示され，個々に「選ん」で取り組むということのようです。私はこれを見ていて，「みんなが６番目だと分かっているので，説明する必要感が薄いなあ。」という思いを持ちながら見ていました。さらにタブレット上で動かせる絵は，場面そのものなので，これがあれば全部簡単に説明できてしまう，とも感じていました。　授業は，「式」の場面で最も盛り上がりました。この順序数を含む問題を式にするのは簡単ではありません。全員がすっきり落ちていくということはないと思いますが，順序数と集合数のイメージを語ることは悪いことではないので，いい話し合いができていたと感じました。　授業後考えたのは，「この授業を，タブレットなど存在しない１０年前ならどうやっていたんだろう。」ということです。おそらく，イラストなどを用いて問題の意味を理解させた後，自力解決を取り，５番目ではなく６場面であることをまず確認するでしょう。そして「説明」を要求した場合，子どもたちの武器は，「ノートに絵をかいて説明する」「ノートの絵と併用しながら，数図ブロックやおはじきで考える」「(低位な児童には)動かせる半具体物を渡して，順に車に乗せて答えを導く」「式」ということでしょうか。　一見違うようですが，本質的には，この日に使われたものと同じことのように感じます。それならば，最初に３つの武器を「提示」する必要はないのではないかと感じました。「選ぶ」ということが研究の舞台にのると，最初に「提示」してしまうのでしょうが，それが逆に選択肢を狭め，「車を三角形であらわしたい。」などの児童の思いを消してしまうことにもなっていました。　後の研究会で，「何人」「何台」「何台目」「何人目」などの置き換えをきちんとすべきなどの意見が出て，私も大いに勉強することができました。昔抱いていた「きれいな授業」も払しょくされていたように感じました。ありがとうございました。にほんブログ村　
09Apr
- 新年度スタート
  　昨日から新年度の学校がスタートしました。今年は３年生の担任となりました。今日が入学式なので，授業は明日からスタートします。今年もこのブログ「授業がんばりMATH」で，毎日の授業の様子をお伝えしていきたいと思います。　毎年，１００号を発行している学級通信の題名は，左のようにしました。いつも数学者の名前を付けているのですが，今回初めて「日本人」を採用してみました。１年間よろしくお願いします。　にほんブログ村
08Apr
- ２月初旬研修3(４年　四角形)
  　２月初旬研修３本目は，４年生の「四角形」で，平行四辺形の作図を考える時間でした。研究会のために，特別にこのクラスに入って授業をしてきたようで，６時間だけこの子どもたちと進めたようでした。　「平行四辺形の特徴」として，４つのことが押さえられています。４つ目の「隣り合う角の和が１８０度」というのは教科書にはないと思いますが，私も指導していることなので共感できます。「その様子はこちら」　いよいよ作図に入りますが，まずタブレットで四角形ABCDがあり，点ABCは固定されていて，移動する点Dがどの位置になりそうなのかを操作でイメージさせます。そのあとは，紙に描かれた点ABCに，残りのDを見つける自力解決に入りました。この3点までを固定して，残りを紙の上で見つけさせようとするのは，私の今年の実践と全く同じです。「その様子はこちら」　さて，この後が大変でした。自力解決での子どもたちの作業を見ていると，適当に定規で引いた直線を「平行」だととらえている児童ばかりです。三角定規が登場しないのです。授業者が苦労しながら，必要なものを考えさせています。　さらにコンパスを使う方法に話が行くのですが，開いた長さをどこに針を刺して考えるのかが全く分からない児童がほとんどなのです。長さを写し取った後，その場からコンパスを移動することができません。全く関係ない位置に針を刺すのです。　これを見ていて，感じたことは，「技能が大切」ということです。私たちは，作図させながら「平行四辺形の性質を活用している」という意識を子どもたちに持たせることを第一義にします。しかし，技能のイメージが全く出来ていない状態では，そのスタート地点にも足がかからないのです。技能がしっかり身についたうえでの「考え方」です。私はこのような技能の現状ならば，「自力解決をさせるべきではない」というのが代案です。全体で，「考え方」を引き出し，その考え方を実現させるための「技能」はその都度立ち戻りながら，全体で押さえていくべきでしょう。　先にも述べたように，飛込でのクラスだったことが大変大きいと思います。この授業者は，今まで何度か見せていただき，素晴らしい授業をされる方だったのでなおさらそれを感じました。「夏に見た授業はこちら」　１日に公開授業を３本もするのはすごいことです。鉄人の授業者に感謝です。　にほんブログ村
07Apr
- ２月初旬研修2(３年　三角形)
  　２月初旬研修２本目は，３年生の「三角形」です。前時に，指定された長さの「二等辺三角形」の作図をしているようです。この日は，等辺の長さは４㎝と指定し，もう１つの辺は整数値で自分で決めて作図することになりました。　子どもたちの作業を見ていると，みんな技能がしっかりしています。コンパスを開くのも上手にできるし，回し方もスムーズです。次々に底辺を変えてたくさんの二等辺三角形が作図できていました。　できた二等辺三角形を全体に出していきます。この時，「底辺が８㎝」のものに対して，「できない」という児童と「できる」という児童がいたのです。ここは少し話し合いたいところですが，授業者は「とりあえずそれは置いておこう」として，残りの三角形を見て気が付いたことをノートに書かせていきました。　いろいろ多様なことをかいてほしいのでしょうが，ほとんどの児童が「8㎝」のほうが気になって，そのことをかいています。　発表の段階でもそれが最初にどんどん出てきて，それはできないことが押さえられていきました。「できる」と言っている児童は，鉛筆の太さなどが影響しているようです。後の研究会で，このことをもっと話し合うべきだったという意見がいくつかありましたが，私はこのことは簡単に触れる程度で十分だと思っています。鉛筆の太さを話し合っても仕方ないことだと思います。(届かない，交わらないなど，十分な言葉は出ていた)　「高さが低くなる」という発言の時，一人の児童が，三角形を順序よく並べてくれました。これは必要な活動なので，自然にこう並べ替えるような「しかけ」が必要だと思いながら見ていたのですが，なぜかこの児童がやってくれたので問題ありませんでした。私は，わざと「１種類の三角形」を提示しない状態で「これで全部だよね。」などとやるしかけが必要だと思っていました。　授業は，この後「平べったくなる」「幅が広くなる」など，多様な見方も出てきました。後の研究会で指摘させてもらったのですが，「どうして背が低くなる」「どうして平べったくなる」などの話し合いをする中で，「てっぺんの角」の形が変わってていくことに進め，それらに対して「大小」を表す言葉を引き出せるとさらに次の活動(静角の大きさ・回転角ではない)につながると思いました。　落ち着いて活動のできる素敵な子どもたちと，意欲的な若い先生の授業でした。ありがとうございました。　にほんブログ村
04Apr
- ２月初旬研修１(５年　割合)
  　2月初旬に，某国立大学附属小学校の研究会に参加してきました。この学校には，夏休みにも参加させてもらったので，今年度２回目です。「その様子はこちら」授業は３本見られました。１本目は，５年生の「割合」です。　２つのキャラクターを作り，その反応をアンケートしたという設定です。全部で２１０人にアンケートを取り，それを低学年と高学年に分けて集計しています。ちなみに授業者は，「Aのキャラクター押し」という立場で楽しく授業を進めていました。　さて，この集計を見て気が付いたことをいろいろと発表していきました。どれもデータをよく見ている発言です。その中で，全体的にどちらのキャラクターのほうが人気があるかを考えると，この数字だけ見ていると「A」のように見えるでしょう。低学年はBのほうが人気がありますが，その差は10%，それに対し，高学年はAのほうが20%上回っているからでしょうか。　そんな話をしているとき，一人の児童が。「でも，人数が違っていたら変わるかもしれない。」と言い出しました。確かに，全体は２１０人ですが，低高それぞれの人数は示されていません。そこで，まず半々の「１０５人ずつ」だったらどうなるかを計算しました。予想通り，Aが上回りました。これは「手計算」でやりました。　ここから，人数を変えて考えていきます。その際，表計算ソフトを使って，低学年の人数を入力すれば，自然にそれぞれの好きなキャラクターの人数がわかるようにして判定していく活動に入りました。　そうすると，低学年が１４０人(高学年７０人)になった時，２つのキャラクターの人気が等しくなりました。それよりも多くなるとBのほうが人気があることがわかりました。高学年が少なくなると，20%上回っていることの有効性が薄くなるということなのでしょう。　ちなみに，今回設定の数字で，「損益分岐点」を求めると，「低学年の割合が２/３」になったときに等しくなります。だから全体の人数を２１０人としていたのでしょう。　授業はそのあと，このように「割合」であらわす方法は，実際の状況を「ごまかす」ことが可能になることを，店の「割引表示」として使われている(「二重価格表示」など)ことをおさえて終了しました。この辺りが「STEAM教育」なのでしょうか。　教材としては大変おもしろいのですが，このような「逆転現象」「損益分岐点」を考えることで楽しむのであれば，「40%引きと５００円引き」くらいでなければ，難しすぎるのではないかと感じました。しかし子どもたちは大変表現力があり，楽しく拝見することがてきました。ありがとうございました。　にほんブログ村
02Apr
- 地元の附属研修2(１年　広さくらべ)
  　地元の附属研修２本目は，１年生の「広さくらべ」です。広さの「直接比較」「任意単位」などを学習します。パターンブロックを使っての導入で，私が４年生の面積導入でやっているのとよく似ています。「その様子はこちら」　カードを引いて，ブロックを取り合い，広さを比べる展開です。１年生なので，実際のパターンブロックを手元に置いて考えていきます。結果が微妙だったものを提示して，どちらが勝っているのかを判断させます。ほとんどの児童が，ブロックを上に重ねる「直接比較」で判断しています。手元にブロックがあればそうするのが当然ですし，１年生として素晴らしい「直接比較」ができていると思います。問題は，ここからどう「任意単位に持っていくかです。　教師対子どもという設定で，カードを引いて勝負していきます。途中で，「今どっちが勝っている？」などと言いながら，任意単位の考えを引き出そうとするのですが，どうしても直接比較的なことになってしまいます。手元にブロックがあることも要因かもしれません。　最後に，先生が引く場面になりました。ここで，「先生は，何を引いたら勝つかな。」とたず，「緑２個分」を引き出そうとしました。面白いしかけでしたが，子どもたちはなかなか乗ってきません。それでも「青」だと同点，などの言葉をもとに，緑が何個分かで考えるといいことを強引にまとめていきました。　このパターンを何度もやってきた私には，一つの傾向がつかめています。それは，この場合，一番小さな「緑」では比べようとしないことです。逆にできるだけ大きい「赤」や「青」で比べようとすることです。なので，カードでゲームをする場合，わざとどちらにも「青」が多く混ざっているようにし，青が何個分かで比べたくなる状況を作るべきだと後の研究会で指摘させてもらいました。　こちらも若い先生で，熱心に勉強されている素直な授業でよかったと感じました。ありがとうございました。　にほんブログ村
31Mar
- 地元の附属研修1(２年　箱の形)
  　２月上旬に，地元の附属小学校の研究会があり参加してきました。自宅から徒歩５分です。授業は３コマあるのですが，算数はそのうちの２本行われました。　１本目は２年生の「箱の形」です。自分なりの「お道具箱」を作るという設定で，前時に「底」になる面は作成できています。この日は，横の面を作ることが目標となります。　子どもたちが前時に作っていた「底」は，一人ひとり大きさが違います。自分が入れたいものから判断して大きさを決めて作るという子どもの気持ちを大切にした設定です。しかし「算数の授業」としてみたときはどうなのでしょうか。　子どもたちは，見取り図でいう「手前の面」から作っていくことになりました。自分の底に合わせて，工作用紙に鉛筆で線を引き，面を決めていきます。見ていると，底面の横の辺に合わせて線を引き，高さもそれぞれ自由に作っているようです。自由に作れるので「高さ」が話題に上がってきません。　一人ひとりの大きさが違うので，全体での話し合いは，授業者が黒板に示したもので話し合っていきます。的確な話がなされているのですが，どうしても「ここ」とか「そこ」などのあいまいな言葉が多くなっています。やはり「１２㎝」など，全員が同じ大きさのもので考えることが，表現を豊かにしていくのではないかと感じました。　次は，「奥の面」です。子どもたちから「簡単。」という声が上がります。それは「今作った面と同じものを作ればいい」からです。この段階で指導すべき言葉がすべて含まれています。　次は，「横」に来る面を考えます。先と同じように，底面の辺に長さをそろえ，自然に作っています。授業者のほうで，わざと高さを高くしたものを提示して，それではだめなことを指摘させていきました。ただしここでも，具体的な長さが出てくるほうが表現的には適切になるでしょう。　最後に，残った面を工作用紙にかいたところで終了となりました。後の研究会で指摘させていただきましたが，結局この日子どもたちは，工作用紙に直線を引いて面を作っただけで終わりました。切り取って実際につなげるなどの操作は全く行われませんでした。２年生の元気な子どもたちが，これで満足しているとは思えませんでした。もっと試行錯誤をさせて，失敗などの経験ができてもいいのではないかと感じました。　教室の天井から，いろいろな箱がぶら下げられ，いつでも眺められるようにするなど，教室環境にも工夫が見られました。まだ若い授業者ですが，しっかりした展開になっていて勉強になりました。ありがとうございました。　にほんブログ村
28Mar
- 今年度最後の授業
  　今年度「最後の授業」になりました。「3.21,4.1,31人での最後の計算練習」です。左のルールにしたがって，４つの数のたし算を練習します。　人によって計算はバラバラになるのですが，答えは必ず「31」になりました。どうやら31人の仲間意識がそうさせているようです。これが「小数のたし算」に変わりました。みんな一生懸命４年生で習った計算をしています。筆算をしている人もいます。すると今度は答えが「4.1」や「3.21」となっていきました。最後の授業になる記念日(3.21)に，４年１組(4.1)の１年間の思い出がそうさせているようです。　この後「引き算」「かけ算」の練習に移ります。９番まであります。４年生では「計算の順序」を学習したので，間違わないよう，どの計算からやるのかを考えながら計算していきました。すると今度も計算結果は「3.21」「31」「4.1」になっていきました。みんなの思いがさらに強くなりました。　残ったのは「わり算」です。２問ほど，難しいわり算の筆算を出題しました。子どもたちは苦労しながら「商」を見つけ計算していきますが，途中で，「無限ループや。」という声が上がります。どうやらどちらの計算も「4.14141…」と続いてしまうようです。これは，「４年１組が永遠に続いてくれるといいな。」という子どもたちの願いがそうさせているのでしょう。「あっ，一つ出題するのを忘れていた。10番もあるのでやってください。」といって，最後の問題にチャレンジしました。答えは「５」になりました。どうやらこれで全員５年生に進級できそうだと安心して，終了しました。　　今年６０歳になった私は，本来なら「定年退職」なのですが，「定年延長」という制度によって，あと２年は確実に授業ができる立場になります。もう少しだけがんばりたいと思っているので，来年度も引き続き，このブログ「授業がんばりMATH」をよろしくお願いいたします。　にほんブログ村
27Mar
- 学年末の習熟
  　教科書の巻末には，１年間の復習ページがあります。教科書会社によって，「４年生の復習」「もうすぐ５年生」「１年間のまとめ」など，表題は違いますが，目的はこの１年間に身につけたことをもう一度確認しておこう，ということです。　本校が採用している教科書では，そのようなページが５ページありますが，「数と計算」１ページ，「図形」２ページ，「変化と関係」２ページの順に作られています。　では，先生方は，このようなページをどのように扱っているのでしょうか。１ページ１時間ずつ丁寧に扱う方法があります。この方法は丁寧ですが，あっという間に終わってしまう児童がいるので，補助プリント等が必要になるはずです。「教えあい」なども考えられるかもしれません。　私は，このようなページは基本的に「やらない。」という方針で進めてきました。同じような問題は，家庭学習等できちんとやらせているからです。しかし今年は，このページにも触れることにしました。その時の板書がこれです。　１１０ページから１１４ページまであるので，解答を黒板に貼り，１ページできたら自分で答え合わせをしに来る，という基本スタイルで進めます。計算などは「計算用紙」を利用し，答えだけを教科書に直接書かせます。　ただ，基本的な計算などはもう十分にできている児童に対しては，「反対の１１４ページから逆にやっていきなさい。」と，しっかり指示します。名指しします。こんなところで配慮は必要ないと思っているからです。　このような学習に対して，最近「自由進度学習」などという呼び方のスタイルを耳にします。全く別物かもしれないのですが，私はそのようなスタイルは「本当に特別な時間」だけのことで，学期に１回もあればいいほうだと感じています。　さらに感じたのは，このスタイルの学習は，教科書が「デジタル」だけになったらどうするのだろうか，ということです。「計算用紙」などはこの世から存在しなくなるのでしょう。また，答えを「入力」すれば正答が判断されるようになれば，「答え合わせのできない子」が増えないでしょうか。　そんなことを感じた１時間で，全く面白くありませんでした。　にほんブログ村
26Mar
- パスカルの三角形
  　前時の「シェルピンスキーのガスケット」の後は，同じく学期末の特設授業「パスカルの三角形」を扱います。夏の研修で，「ガスケット」と「パスカル」がつながっていることを知ったので，以前の実践とは異なる展開を考えました。「夏の研修はこちら」「前回の実践はこちら」　「１，１１を使って」と書いて，「１」から始まり，それに「１１」をいくつかかけていきます。これは数学であれば「１１のn乗」で統一できる(１１の０乗は１)のですが，小学生なのでこのように扱わなければなりません。　１１の３乗が「１３３１」となったところで，計算をせずに次を予想させます。全ての児童が「１４４４１」と予想しました。これは数字の流れを考えると当然のよそうです。誰しもが自信を持っています。ところが実際に計算してみると「１４６４１」となりました。予想と異なっています。では，これはどう考えれば真ん中の「６」が出てくるのでしょうか。それは上の２つの数字の和となっているととらえると説明がつきます。　この段階でこの予想を取り入れておかなければ，次の１１の５乗は「繰り上がり」ができてしまうため「１６１０５１」となってしまいます。本当のパスカルの三角形では「１５10 10５１」となって成り立ちますが，１１の計算結果だけから進められるのはここまでなのです。　そこで，ここから先は「繰り上がり」があった時は，それを無視して一の位の数字だけをかく，という約束にし，この三角形を「パスカルの三角形」ということを教えました。　この作り方で，さらにピラミットが８段になるまで広げていきました。そうするとたくさんの「１」が見えてくるので，「この中にある「１」を赤で囲みましょう。」と指示します。同様に「３」「５」「７」でも同じことを行い，「囲まれた数字は何個かな。」とたずねました。子どもたちは一つずつ数える児童と「式」を使う児童がいて，「この前といっしょの式になる。」と呟く児童もいました。前時の「シェルピンスキーのガスケット」と同じ位置が赤く囲まれているのが見えてきました。　この後，授業は「９」に話題を転換していきます。「９×９」「９９×９９」「９９９×９９９」「９９９９×９９９９」の結果から，「９が９個ある数字同士のかけ算」の結果を予想させました。　９個までの結果を帰納的に眺めると，９や０の数の並びが見えてきます。このような発見をしたところで終了しました。不思議のいっぱい詰まった「数学」の教材ですが，私の展開力不足で，今一つ感動に至ることができませんでした。今後の取り組みを改善していきたいと思います。これはどの学年でも使えそうです。　にほんブログ村
25Mar
- シェルピンスキーのガスケット
  　学期末の特設授業として「シェルピンスキーのガスケット」を行います。これは，今年の夏の研修で取り上げられていた内容です。「その様子はこちら」　私はこの教材は，もう１０年ほど前に「最後の授業」として取り上げたことがありました。「その様子はこちら」　数学的には「フラクタル」といわれる「自己相似性」を表した具体物の１つです。　三角形をピラミットのように積み上げた８段の図を見せます。そして，「この図の中に先生が規則正しく色を塗っていきます。」と投げかけながら，上の２段と一番下の８段目の図を見せます。この図を見ながら，残りの３段目から７段目までの塗り方を予想させます。　子どもたちの予想で圧倒的に多かったのは，上向きの三角形(逆三角形ではない)全てに色を塗っている図です。そこでまず，この場合だと「▲」が何個あるのかを考えます。　式は「１+２+３+４+５+６+７+８」ということが分かります。そのうえで，「この式を左から計算していく人はいないよねえ。」と，あおります。実は以前に「ガウスの計算」を扱っていて，その時「虹の計算」という言葉がクラスで共通理解されていたのです。それを想起すればこの問題は簡単に計算できます。　塗り方で次に多かったのは，「周りだけを塗る」という図です。これも規則正しくなっています。こちらも「式」を使って全部の数を求めます。１つの辺に８個の三角形が並んでいるので３倍にしますが，かぶっている頂点の３つを引くという方法が最初に出てきました。　次に，各辺の数を１引いて「７個」にすればそれと同じものが３辺あるので「７×３」という式も出てきました。同じ考え方で，１辺を６個と考えると，３倍して頂点の３を足してやればよいことも分かります。これらは４年生の「式と計算」でやった考え方と全く同じことになっています。　しかし，私が用意していた図は，このどちらでもないことを告げ，図の「右半分」だけを見せます。すると，「分かった。」という声が上がります。対称性でとらえる児童が多いようです。こうしてようやく「シェルピンスキーのガスケット」といわれる図が登場しました。　これも「式」を使うと求めることができます。一番最初に見せた２段目までの「３個」の部分と同じものが全部で９個あります。したがって「３×９」となります。さらにこの図を俯瞰すると，「３×３」になる部分がさらに「３個」あることも見えてきます。そのため全体では「３×３×３」になることも分かりました。　こうして，この塗り方の構造が見えてきました。そこでピラミットをどんどん下に広げていった図を見せます。子どもたちからは，「すごい。」「気持ち悪い。」などの声が上がりましたが，３を何度もかけていくことで，▲の数が分かることに「不思議」を感じていました。この日は「３月１４日」で「数学の日」です。こんな「数学」のもつ面白さを「調理」して授業を構成してみました。　にほんブログ村
24Mar
- 防災について(教材の進化)
  ３月１１日は「東日本大震災」の日です。多くの犠牲者が出て，今なお行方不明者の方がたくさんいることに心が痛みます。謹んで哀悼の意を表したいと思います。　そんな日に行う算数の授業なので，このことを題材にして考え，あらためて防災意識を高めていきたいと思いました。　防災についての意識の変化や，日ごろの備えについて調べたデータをいくつか示してから問題を考えてきます。最初の問題は，『防災対策として何をしているか。』を調べたデータを見て，「何らかの対策をしている人は半分を超えているか，こえていないか。」を判断させます。　自力解決では２つの反応がありました。「半数を超えている」という判断をした人は，対策をした数の合計を出しています。そうすると「６２０人」になるので，何もやっていない，の「６１４人」よりも多くなっているという考え方です。　実はこの実践は２回目です。「前回の実践はこちら」　前回は，この考え方で計算しても，「何もやっていない」をこえなかったので，これで判断してしまう児童がたくさんいたのです。そこで，グラフの数字を変えて，延べ人数がこえるようにしたのです。そうすると半数近くがこの判断になりました。　一方，「何もしていない６１４人」に着目した児童は，この回答は絶対に「複数回答」にはなりません。だから全体１０００人から引いた数が「対策をしている人」になるから，半分より少ない，という判断をしています。　資料の中にある「複数回答」という項目を注意深く見る必要があるわけです。　次に，被災すぐに「自助」として必要になる水について考えます。「一人１日に３Lの水が必要」というデータを使って，家族４人分の備蓄量を２L入りペットボトル何本になるかで考えます。　出てきた数字をそのまま使う「４×３×２」で２４本という解答も結構ありました。一人が１日にこのペットボトル１．５本という考えができれば，×1.5で修正できますが，これは難しいでしょう。(４年生の内容でもない)３L/日×３日=９L/人　９L/人×４人=３６L　３６L÷２L=１８本というイメージで計算できますが，単位がいろいろややこしいので，結構難しかったようです。　最後は，地図を見て，避難所までの距離を考えます。２つの避難所までの距離は，長方形や平行四辺形の長さの性質を使うと，同じ距離になることが分かります。それらを確認した後，「これ以外に，いちばん上の直角に曲がるルートもあるんだけど，これはどうなんだろうか。」(赤で示したルート)とたずね，これを『ノートにしゃべろう』のお題としました。正しい答えである，「この情報では判断できない。」と答えられた児童はいませんでしたが，「相殺」されて同じ距離になる，という判断ができている児童はしました。うまく「相殺」できるとは限らないのですが，そのイメージをもって答えられていれば及第点といえるでしょう。このブログの「第１回目の記事」(１６年前)と同じことです。　にほんブログ村
21Mar
- プログラミング
  　教科書にある「プログラミング」のページを授業します。教科書では，忍者が「分身の術」を使って人数を増やしていく問題になっていますが，それだけではイメージがわかないので，タブレットを出す前に，一般的な問題でイメージを作ります。　祖父母の家に遊びに行った時に，お菓子をもらうという設定です。この時，おじいちゃんとおばあちゃんで，お菓子のくれ方が異なります。おじいちゃんは，初日に１０個くれて，翌日からは２個ずつくれます。一方のおばあちゃんは，初日は３個ですが，翌日からは前日の２倍になるようにくれます。この条件でどちらからもらいたいか尋ねると，「何日いるかで変わってくる。」というのです。確かにその通りなので，それを調べて表を作るところまで全体で進めました。　ここから，この時の個数を「プログラミング」をして見つけていくことにします。教科書のコードを読み取って「スクラッチ」を立ち上げます。基本的なプログラムについては，動画などで確認します。おじいちゃん(青忍者)の個数を求めるプログラミングは全体で確かめておきます。「繰り返し」がプログラムの特徴です。　このプログラムの一部を変更して，おばあちゃん(赤忍者)の求め方のプログラミングを考えます。「２個増える」を「２倍にする」に変えるだけでできることが分かりました。　そのあとは，個々に違う忍者を設定していろんな数字でプログラミングをして楽しみました。正直，数学的にはあまり価値がないかなあ，と感じて今いました。もう一工夫して，数学的に楽しめる内容が必要でしょう　にほんブログ村