学期末の特設授業として「シェルピンスキーのガスケット」を行います。これは，今年の夏の研修で取り上げられていた内容です。「その様子はこちら」
私はこの教材は，もう１０年ほど前に「最後の授業」として取り上げたことがありました。「その様子はこちら」
数学的には「フラクタル」といわれる「自己相似性」を表した具体物の１つです。
三角形をピラミットのように積み上げた８段の図を見せます。そして，
「この図の中に先生が規則正しく色を塗っていきます。」
と投げかけながら，上の２段と一番下の８段目の図を見せます。この図を見ながら，残りの３段目から７段目までの塗り方を予想させます。
子どもたちの予想で圧倒的に多かったのは，上向きの三角形(逆三角形ではない)全てに色を塗っている図です。そこでまず，この場合だと「▲」が何個あるのかを考えます。
式は「１+２+３+４+５+６+７+８」ということが分かります。そのうえで，
「この式を左から計算していく人はいないよねえ。」
と，あおります。実は以前に「ガウスの計算」を扱っていて，その時「虹の計算」という言葉がクラスで共通理解されていたのです。それを想起すればこの問題は簡単に計算できます。
塗り方で次に多かったのは，「周りだけを塗る」という図です。これも規則正しくなっています。こちらも「式」を使って全部の数を求めます。１つの辺に８個の三角形が並んでいるので３倍にしますが，かぶっている頂点の３つを引くという方法が最初に出てきました。
次に，各辺の数を１引いて「７個」にすればそれと同じものが３辺あるので「７×３」という式も出てきました。同じ考え方で，１辺を６個と考えると，３倍して頂点の３を足してやればよいことも分かります。これらは４年生の「式と計算」でやった考え方と全く同じことになっています。
しかし，私が用意していた図は，このどちらでもないことを告げ，図の「右半分」だけを見せます。すると，
「分かった。」
という声が上がります。対称性でとらえる児童が多いようです。こうしてようやく「シェルピンスキーのガスケット」といわれる図が登場しました。
これも「式」を使うと求めることができます。一番最初に見せた２段目までの「３個」の部分と同じものが全部で９個あります。したがって「３×９」となります。さらにこの図を俯瞰すると，「３×３」になる部分がさらに「３個」あることも見えてきます。そのため全体では「３×３×３」になることも分かりました。
こうして，この塗り方の構造が見えてきました。そこでピラミットをどんどん下に広げていった図を見せます。子どもたちからは，
「すごい。」
「気持ち悪い。」
などの声が上がりましたが，３を何度もかけていくことで，▲の数が分かることに「不思議」を感じていました。この日は「３月１４日」で「数学の日」です。こんな「数学」のもつ面白さを「調理」して授業を構成してみました。
