授業がんばりMATH -5ページ目

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05Jun
- 「小数のわり算」導入
  　「小数のわり算」の単元に入ります。教科書では「等分除」(単位量を求める)から入っていますが，私は「包含除」から入ります。「量の文脈」は全く使わず自然に「包含除」に流れるようにします。　最初に「０」「１」「０．２」「０．４」「０．６」「１．４」「２」という７枚の数字が書かれたカードを見せます。そしていきなり「□÷０．２」という板書の中に「０」を入れます。これが一番簡単だと子どもたちから意見も出ました。　この答えは子どもたちにとって自明です。０を何で割っても０にしかなりません。この活動の意味は，「形式的な処理ではなく，みんなに通じる言葉で説明する」ことがこの時間に大切であることを体感させるためです。　次の「０．２÷０．２」も同じ目的です。この場合は，「同じ数同士のわり算は１になる」という分かりやすい説明に加え，「０．２の中に０．２は１つ」という，割り算の意味(包含除)を引き出すことが目的です。この日は，「０．２×□=０．２」というかけ算の逆としての取り上げ方も出てきました。　次は「０．４÷０．２」です。「０．６」も用意していたのですが，肌勘で「０．４」を選びました。ここでは２種類の説明が出てきますが，意図的に「わり算の意味」である包含除の方に導きます。　先の問題の説明を含め，整数のわり算(１２÷３)で，割り算の元々の意味である「包含除」を確認し，それを使って考えていることを押さえます。「量の文脈」をなくしてわり算を考えると，自然に「包含除」に向かうのです。　さらに次の「１÷０．２」になると，「線分図」をかいていきます。最初に「０．１」の部分をかきのばしていきます。１０個描けば「１」になります。「１．４」の場合は「１４個」です。このような０．１をもとにしてそのいくつ分で表すことが，「小数の意味」に基づいて考えていっていることになります。　ここまでの活動をふり返ります。子どもたちは自然に「小数の意味」と「わり算の意味」に立ち返って場面をとらえようとしています。そのことを明文化します。「小数のわり算」なんだから，小数とわり算の意味に基づいて考えている意識をもたせたいのです。これは６年生の「分数のわり算」でも同様です。　『ノートにしゃべろう』はお題です。「小数のわり算を考えるコツは…」のあとを書いていきます。子どもたちで多かったのは「割られる数の中に割る数がいくつあるか」「図にして考える」など，割り算の意味に基づいたり，思考法に言及したりする者が多く見られました。　にほんブログ村
04Jun
- 式変形
  　前時に，小数についても「計算法則」が成り立っていることを確認しました。それを受けて，計算の工夫を簡単に扱いましたが，子どもたちはかなり戸惑っていました。そこでもう１時間かけてそのイメージを作ります。　まず，この日扱うたくさんの「式」を先に全部見せたうえで，左の２つの式を見せます。どちらも３口のたし算です。この式を見て，「普通にするのではなく，何か工夫して楽にできる方法はありませんか。」とたずねます。これは比較的見やすいので，半数以上の児童が見えます。上の問題は，後ろの計算を先にすればよく，下の問題は両端の数を先にたし算すればよいことは見えてきます。その意味を確認した後，「これを算数の言葉でまとめていきます。」と述べ，「後ろを先にやりたいとき，算数では都合のよい記号がありませんでしたか。」と尋ね。(　)を使うことを想起させ，式を書き換えます。そうすると次の式はすごく簡単な式になります。　下の問題の場合は，都合のよい記号はありませんが，前日学習した「交換法則」を使うと，順序を入れ替えても構わないので，式変形ができます。自分の「やりたいこと」を算数の言葉である「式」をかえることで実現させるわけです。これを「式変形」ということを教え，この日はそれをめあてにします。　赤字でかいた問題を自分自身で式変形する練習をします。　次に「かけ算」に移ります。２つの問題には「２．５」と「０．４」が見えます。この２つの数字をかけると「１」になることを確認します。教科書では「２５×４」を１００として，あとで１００で割るようにしているのですが，ストレートに「２．５×０．４=１」というのを使わせていきます。そのほうが変形しやすいでしょう。　参考までに「１．２５×０．８=１」も使えることを教えました。先の式で，かけられる数は半分になり，かける数は２倍になっているので１のままであることも押さえます。　分配法則を使った式変形については，「同じ数をかけている」ということに着目させ，先に足したり引いたりすればよいことを押さえながら３行でまとめていきます。この日は基本的に全て３行で変形しています。　教科書の練習題，もっと練習などをして終了です。前日は「難しい」という感想が多かったのですが，この日は意外とすんなり収まりました。必要感を出すことと，きまりの工夫は別に扱った方がいいということなのでしょうか。また「式変形」を目的にした方が分かりやすいのかもしれません。　にほんブログ村
03Jun
- 計算法則
  　この日は，計算法則が小数になっても使えることを学習する時間です。まず，「今日は男女ちがう問題にチャレンジしてもらいます。」と言って，小黒板にかいた５つの問題(男子は平仮名のあ～お，女子はカタカナのア～オ)をします。途中で，「同じや。」という声も上がっています。　答え合わせに入ると，確かにどちらも同じ答えになっています。偶然ではないかとたずねても，「反対にしただけだから同じだ。」という声が戻ってきます。このような性質は整数のときでもありました。しかし最後の「お」だけは，どうして同じになるのかはそんなに明確には見えてきません。　この２つの式が「同値」に見えるようにするための「面積図」を見せていきます。２つの長方形がくっついたのと，縦の長さがくっついて，横ができて長方形になったものを見せてイメージ化させます。　この「分配法則」は引き算のものも式の中でイメージさせ，記号を使ってまとめていきました。２つの数字に同じものをかけて足すから，先に足しておいてかける，というような意味合いをもたせます。これらの法則を一般化するころまでは子どもたちも何とかついてきます。しかしこれを計算の工夫に利用しようとすると戸惑いが大きくなります。　分配法則を使って，長い式をかっこでまとめる方法を「穴埋め」でなぞっていきます。穴埋めでも子どもたちは戸惑っています。「式変形」そのものが初めての児童もたくさんいます。　また，そんなことをするくらいなら「筆算」でやった方がはるかに早いし分かりやすい，と感じているのが子どもたちです。　「２５」と「４」を使った工夫も，子どもたちは有効性を感じません。自分から主体的に式変形できるイメージを持てる児童だけが利用できる方法です。１００に近い数を１００を使って分ける方法も，筆算の方が簡単だと感じる児童が多いでしょう。　いつもこのタイプの授業場面では，子どもたちとの意識の乖離が大きく感じます。教科書で取り上げるのは仕方ないかもしれませんが，このことに関する「習熟」は必要ないと思います。　にほんブログ村
02Jun
- 公式適用
  　まず，筆算の復習からスタートします。宿泊学習があり，授業を受けるのが５日ぶりになっているからです。久しぶりですが，まずまずできているようです。　ここから本題に入ります。直方体の見取り図を見せて，体積を求めるように促します。書かれている長さは「２５０㎝」「４ｍ」「１．５ｍ」です。単位が混ざっているのでこのような場合は「単位をそろえる」必要があります。　㎝にそろえて計算すると「15000000立方センチ」になりました。ｍにそろえて公式を適用させると「15立方メートル」になりました。この２つは本当に同じ体積になっているのでしょうか。既習の単位換算を思い出します。「１立方メートル=1000000立方センチ」でした。これに当てはめると同じ体積になっていることが分かります。　次に「面積」で考えます。「縦２．３㎝，横３．６㎝」の長方形の面積を計算すると，「８．２８平方センチ」になります。これは「アニメーション」を使って，本当にそうなっているのかを「等積変形」で確かめます。これらの活動によって，「公式は小数でも使える」結論を導きました。　ここからは，「小黒板問題」「教科書の練習題」「もっと練習」で適用していきます。ほとんど計算練習のようなものなので，特に問題はありません。　最後に「ｍｍ」を使った「体積」「面積」の単位を紹介して終了しました。　にほんブログ村
01Jun
- 筆算練習
  　「×小数」の筆算手順を一通り学習したので，この日は「徹底練習」という位置づけにします。まず小黒板問題を「２５問」出題しました。問題だけでなく，その下には，それぞれの「答え」も同時に提示しています。練習のルールは，「１番から始め，できたら答えを見て○をつける。○がついたら次の問題(２番)に進む。間違えたら赤でどこが間違っていたのかを考え訂正する。」です。一つずつ答えを確かめながら進んでいくようにします。　なお，この２５問も計画的に出題しています。１番は基本の「○.○×○.○」の問題です。２番はかけられる数が１より小さくなり，３番はかける数が１より小さくなります。４番は０の消去，５番は０のつけ足し，６番はかける数が３桁になります。この場面では，この６タイプ(型)の問題になります。　この後７番からは，また１番から６番までのタイプが繰り返され，２５問目までそれが続きます。全部できなかった児童でも，必ずすべてのタイプの練習が，その速さに応じてできるようにしているのです。　この２５問ができた児童は，教科書の「練習ページ」をしていきます。こちらは「計算用紙」を使って計算をして，教科書には答えだけを書いていくようにします。筆算の場合，教科書に書き込んだのではスペースが小さいからです。　さらにそれができたら「自分で計算問題を作って計算する」ようにします。適当な数字を入れて筆算をして，できたら答え合わせは「電卓」を使います。こちらも計算用紙にどんどんやっていきます。　４５分間，たくさんの計算をしましたが，飽きずに最後までがんばることができました。無味乾燥な筆算なので，どこかで飽きてくるはずなのですが，喜んで続けている子どもたちの様子は，複雑に感じました。　最後は，感謝しながら「計算用紙」をごみ箱に捨てました。　にほんブログ村
29May
- さらに筆算
  　前時に小数のかけ算筆算を学習したので，その復習から入ります。３問出題して，代表児童に筆算を書いてもらいました。そのうちの一人が計算を間違っていたので訂正しました。間違った時は，一からやり直すのではなく，どこが間違っていたのかを見つけ，その部分だけを直します。これができるところが「筆算の教育的意義」です。(算数的意義，ではない。)「今日は，昨日より難しい問題をします。この４問です。」と言いながら見せました。しかし一見すると，昨日までと特に違う点は見られません。そこで，「じゃあ，とりあえずやってみようか。」と言って取り組ませました。　全体での話し合いは，小数点がないものとして計算して，小数点を考えていくところからスタートです。小数点をうつと，一番下の位に「０」がつきました。このような場合は，今まで「０を消す」ということをしてきました。逆に，小数点が数字の左側に来ることもありました。そうすると，そのままでは大きさが分からないので「０をつけ足す」必要が出てきました。このような所が必要になってくるところが，整数のかけ算との違いです。　小黒板問題で練習した後は，かける数が「３桁」になるものも出題です。計算が大変ですが，処理自体は今までの学習通りです。空位の０がある場合の計算処理は省略型を見せて，できるだけこちらでするよう促します。　さらに小黒板問題で練習です。答えは，短冊黒板にかいて，自分で丸をつけます。その中にわざと「答えが間違っている」ものを作りました。子どもたちからちゃんと指摘が出ました。どうしてまちがっているのに気づいたのかをたずねると，小数点の打ち方が違う，などと言う言葉が出てくるのですが，「見積りを使った説明」を指導します。答えが明らかに大きくなりすぎています。　その説明を見せてから，『ノートにしゃべろう』のお題として，小さくなる練習題を出しました。８割の児童は説明できますが，やはり十分でない児童もいました。　にほんブログ村
28May
- 筆算に
  　小数のかけ算の復習問題を３問復習します。最初の２問は簡単ですが，最後の計算だけは「筆算」が必要になってきます。筆算をした後，１００で割っていくことになります。それならば最初から「筆算」でやる方が得策ということで，この日は小数のかけ算筆算に進めます。　筆算指導のための３問を一気に見せます。子どもたちは鉛筆をもたずに私のやり方を見ていることにします。まず３問ほど，筆算のスタート地点を見せます。最初の問題は，位がそろっていますが，後の２つは位がずれています。加減であれば必ずそろえますが，かけ算の場合，４年生の「小数×整数」ですでにずれることを学習しています。このことから「右端をそろえてかく」ということを押さえます。　次に，３問とも一気に計算をしてしまいます。小数点などは全く無視をしてどんどん進めます。このことを「小数点はないものとして計算する」とまとめ，手順２とします。　最後は，小数点の処理です。１０倍や１００倍をすることを，小数点以下の「桁数」の話に落とし込みます。教師主導ですが，このことを難しくする必要はありません。シンプルに形式を伝えます。これで計算ができました。この後，私の書いた部分を小黒板でかくし，ノートに同じことをやらせます。　ここからは，徹底練習です。まず小黒板問題を１０問見せ，ノートに丁寧にやらせていきます。計算手順を忘れていたり，計算ミスをしたりする児童はかなりいます。指摘しながら進めていくうちに，全部できた児童が数人になりました。ここから「教科書」の練習題に進めます。　教科書を使うときは，「書き込み」か多いのですが，筆算になるとスペースがあまりありません。そこで，「計算用紙」を指導します。裏が白い紙を使ってしっかり計算し，教科書には結果だけを書いていくようにします。　この日一日でかなりの練習ができました。ここからは家庭学習なども使って習熟を図ります。使った計算用紙は，「勉強させてくれてありがとう。」と言いながら，ごみ箱に入れます。　にほんブログ村
27May
- 小数×小数
  　この日は「小数×小数」の計算に入ります。まず黒板に「１Ｌが１．６㎏の砂」を設定して，砂の量を少しずつ変えていきます。　最初は「２Ｌ」です。これなら４年生の「小数×整数」ですのですぐにできます。一応，４年生のときの教科書を確認して，かけられる数を整数にして計算することを押さえました。量を６Ｌにして同じことをします。この２つの場面を比べると，砂の量が３倍になると，重さも３倍になっていることが分かります。　ここで，砂の量を「０．３Ｌ」にします。四ます関係表で，式が「１．６×０．３」になりました。このように，どちらも小数になるのは初めてなのでこの点を確認して，計算方法を全体で考えていきました。これまで小数は，整数に直して計算していたので，今回は，両方の数を整数にします。どちらも１０倍しました。そのあと，何で割ればよいのかを考えます。「１０倍」「２０倍」「１００倍」という意見が出ました。これを「４×３」というシンプルな計算で当てはめると，４０×３０の１２００は，１００で割らなければ正しくなりません。このことから，÷１００にすることを一般化しました。　もう１問，０．６Ｌにして計算します。この場合の２つも，砂の量が２倍になると重さも２倍になることを確認します。　続いて，かける数が小数第２位までになる計算を見せます。今度は１０倍と１００倍をするので，何で戻さなければならないかを押さえます。１０００で割れば元に戻ることを押さえ，これで全体の計算が一般化できました。　小黒板問題で習熟を図っていきます。　ここからは，教科書の練習題ともっと練習に進めといういつもパターンです。計算場面なので，問題数はしっかりこなす必要があります。０がいっぱいついてややこしくなりますが，ゆっくり確実に計算を進めていきます。　にほんブログ村
26May
- 研究大会に向けて(算数を学ぶ会)
  　先週の土曜日に，「算数を学ぶ会」を行いました。今回は，今年地元で行われる「県レベルをこえた研究大会」で，授業をされる先生と，研究発表をされる先生が来られていました。さらに，郡の研究会で授業をされる方もいて，総勢１０人となりました。　最初に２年生の「１０００までの数」で，数の大きさ比べをする学習について話し合いました。上の位の数字からくらべていくことを学習します。このような場合は「ゲーム」にして，子どもたちから，「もう絶対勝ちだよ。」「だめだ，もう勝てない。」など，上の位で決定してしまうことを引き出す展開にする必要があります。　次に５年生の「小数のわり算」で，立式した後答えを出す時間について話し合いました。教科書にはいろんな方法が出ています。しかしこれらが「自力解決」で登場してくるとは思えません。改善策として，数値をかえて，「２．５ｍが１００円のリボンがあります。このリボン１ｍは何円でしょう。」という問題に変え，式を作る前にとにかくこの問題の答えを力業で導き出させる展開を考えました。この場合，１００÷５をして，０．５ｍ分のねだんを求める方法があります。また，２倍して「５ｍが２００円」という方法もあります。とにかくそのような感じで答えを明らかにした後，「１００÷２．５=４０，となるためには，どんな計算をすればいいんだろうか。」と，答えと式の順を逆にして考えるのはどうかと提案されました。　その他，６年生の分数÷分数などの話をして，具体的な授業について２時間，語り合いました。気温上昇に負けない，暑い半日となりました。　にほんブログ村
25May
- かけ算の意味拡張
  　「小数のかけ算」の単元に入ります。第１時は「×小数」の導入で，算数教育の世界でいう「かけ算の意味拡張」の場面です。私は，小学校３大難関教材と呼んでいます。　左のような文章題で導入です。板書・視写の後自力解決に入りましたが，この反応でこれまでの学習状況がある程度見えてきます。自力解決できない児童が圧倒的に多いのです。その中で「２４×６」という，出てきた数字をそのまま当てはめる，というのがその典型です。そのような学習場面しか経験がないのでしょう。イメージすることをストップさせています。　もちろん「２４×３」と倍関係のイメージがもてている児童も数人います。逆に「２４÷２」をして１ｍの重さを求めてから考える児童が，たった１名しかいませんでした。これも大きな問題と言えます。　この２つの考えを発表させますが，「３」の意味を全体に広げていくのにもかなりの時間が必要でした。一方，式が示されると１ｍの重さを求める方法(帰一法)の意味は比較的よく伝わったようです。どちらの方法でも答えは「７２ｇ」になりました。　次に数字を「４ｍで４８ｇの針金１０ｍの重さ」に変えます。帰一法を知った子どもたちは，１ｍが１２ｇ(さっきと同じ)になることを利用して「１２×１０」で求めています。一方，倍関係でみる児童も「２．５倍」になることを見つけ「４８×２．５」とすんなりと立式している児童もかなりいます。ここは揺さぶりをかけなければいけません。　「４８×２．５」の場合，線分図を使うと「４８+４８+２４」というたし算になり，同数累加とは言えなくなります。このことに「違和感」をもつ児童と「まあいいんじゃない。」という児童に分かれます。これが大切で，形式だけ見ると似ているので「まあいいか。」と考えるのも真。同数累加の意味にこだわって違和感をもつのも真。ここはその両方が出てくれば成功です。　さらに「３ｍで３６ｇの針金７．５ｍの重さ」になると，帰一法を使っても，最後は同数累加にならない「違和感」になります。そうすると，この立式を認めなければかなり難しい式になってしまいます。そこで，「じゃあ仕方ない。まあいいことにするか。」というのが，数学の「約束」の作られ方です。　ただしこのことを，単純に認めるだけでは安易です。この日，考えてきた針金の長さと重さを表にまとめていきます。整数値で示された結果を眺めると「比例関係」になっていることが分かります。その表の中に「７．５ｍで９０ｇ」という結果を組み入れます。一瞬違和感もありますが，これまでの比例の約束である「２倍，３倍…になるともう一方も２倍，３倍…になる」という約束が，小数倍でも成り立っています。だから表の中に入れ込んでも性質が変わらないことを押さえ，かけ算の立式を認める約束をします。　これまでの「×整数」の性質と，今回の「×小数」の考え方が，今までの約束のルールを守りながら新しく組み入れています。このように考えを進めていくことを「拡張」と言い，拡張の結果今までのものを包摂しながら１つにすることを「統合」と言います。　日本の算数教育が挑戦してきた本質の流れを大切にいながら。わたしなりに進めている授業構想です。　にほんブログ村
22May
- ×純小数
  　まずは前時までの復習です。「１ｍが８０円のリボン」の問題で，２から４ｍの長さを求めます。式を確認し，その式になる理由を比例関係を使って説明する練習も行います。さらに長さを「２．５ｍ」と小数にしても，同様の説明で式が作れることを確認します。計算方法は，かける数を整数に直して計算し，もとに戻すことで求めていきます。ここまでの結果は短冊にまとめ，表のような形にしておきます。（写真２）　ここで本時の問題に入ります。この日は，リボンの長さが「０．５ｍ」になりました。出題したとたん，「４０円や。」と，答えが一番に飛び交いました。半分になっているのですぐにイメージできるのでしょう。そこで，「じゃあ，式はどうなりますか。」と発問します。数人がいろいろと呟いています。「わり算」というような声も聞こえてきました。それでも最初に発表した児童は，「８０×０．５」と言ったので，これまで同様の説明が成り立つのかどうか。さらに計算方法も今まで通りにやると，イメージできた「４０円」になることも分かりました。　このような，かける数が１より小さくなったのは初めてです。まずこれをめあてとして確認し，いくつかの場面で立式をします。比例関係を使った「四ます関係表」を利用します。　計算も，これまで同様にやっていきますが，頭の中で処理できる人は，ここから離れてすぐに答えをかいてもよい，ということにします。　「今日計算している問題は，今までに絶対にありえなかったことがあるんですが，なんだかわかりますか。」と発問します。子どもたちは気づいていません。いくつかのヒントを言いながら，かけ算の答えが，もとの数よりも小さくなっていることに気づかせていきました。これは子どもたちにとっては意外だったようです。一人の児童が，「そりゃそうだろ。１のときが…」と，語り始めたので，続けさせると，洗練されててはいませんが，この場面で扱いたい内容に近いことをしゃべっています。その児童の言葉を拾いながら，かける数と積との関係をまとめていきました。　そのあとは，教科書の練習問題をして終了しました。指導書の２時間分を進めたことになっています。　にほんブログ村
21May
- 整数×小数の計算
  　前時に，かけ算の意味を拡張しました。本時はそれを使って立式し，計算方法を考えていきます。　まず，リボンの長さと代金の関係を使って，立式を確認します。簡単な比例の最後の時間にやった「かけ算になる理由」を確認しながら，×整数をやっておきます。そのあと，「×２．５」になるようにします。この場合も，整数のときと同じように「２．５倍」を使えば，立式してよいことを前時に約束しているので，式を作ることができます。さらに，その答えは，線分図と意味に立ち返って「８０×２．５=２００」を押さえます。しかし毎回このような線分図をかいて答えを求めるのは大変なので，その計算方法を考えていくことにしました。　計算方法については。教師主導で全体指導していきます。まず，×２．５はできないので，×２５をします。この計算で求められた数字は「リボン２５ｍの代金」であることを確認します。次にこの代金をどうすればよいのかを考え，１０倍しているので「÷１０」をする必要があることを引き出します。そのことを，計算の性質だけではなく，比例の表を使って，逆向きの見方を押さえながら一般化していきます。　この考え方を「図」でまとめていきます。式と矢印を使って，１０倍して計算したものを１/１０に戻すイメージを作ります。いずれにしても，結果的に計算しているのは「整数の計算」であることを押さえ，まとめてしまいます。　最後に少し練習題をした後，その時の数字を使って，その以外の方法に触れます。教科書には，「0.1ｍの代金」を使う方法や，「２ｍと0.3ｍに分ける考え方などもあったので，それを見せた後，教科書の練習題をして終了しました。　にほんブログ村
20May
- かけ算の裏の比例
  　前時に「簡単な比例」の定義までやらなければならなかったのですが、時間不足でできなかったので、その部分を最初にやってしまいます。ゴールデンウイークの６連休明けになったので、前時の板書を見せて思い出させ、約束をまとめました。　レンガと植木鉢を積み上げる問題で、比例とそうでないものの確認をします。　「ここからは、３年生くらいの簡単な問題をやりましょう。」と言って、小黒板で４問ほど出題します。確かに問題そのものは簡単なので、短時間で解決することができます。これらの問題を解くための「式」と「答え」を確認した後、さらに続けます。「これらの問題には、全て４が入っています。この４を□に変えます。」と言いながら、用意していた「表」の４のところの数字を埋めた後、あとの部分を考えていきます。　最初の３つは、全体で表を埋め、最後の問題だけ個別に表を作らせていきました。本当はもっと一人でやらせるべきですが、時間がないのでそうしました。　表が出来上がった後、「この４つのうちで、比例になっているのはどれかな。」と尋ね、２つが比例していて、あとの２つは比例していないことを確かめました。そして、「比例するものとしないものはどう違うんだろうね。」と発問しました。返ってきたのは、「比例するほうは、数字が２つで、市内方は３つ使っている。」というのです。これを全体に広げ、比例しているものは、シンプルに２つの数字で１つの計算になっていることを確認しました。しかもその時の演算は「かけ算」です。　このように、今まで何気なく使ってきた「かけ算」ですが、それが使える場面では、その２つの数の間に「比例関係」があったわけです。比例関係が成り立っていることが前提なのです。そのことを少しでも意識させるためら授業で、私はこの授業を「かけ算の裏に潜んでいる比例」と呼んでいます。　にほんブログ村
19May
- かけ算になる理由
  　「簡単な比例」の最後の時間です。前時と同じような「文章題」を３問見せ、「この中で、かけ算ですっとできる問題はありますか。」と投げかけます。３つのうちの２つがそれであることは明白です。その問題を確認した後、「と、いうことは針金の、長さと重さにはどんな関係がありますか。」と、私から見れば前時の確認のつもりの発問を出しました。しかし子どもたちからは反応が返ってきません。前時のことを思い出すよう想起しても出てきません。どうやら、「比例」という言葉は知ったものの、「関係を表す言葉」という認識が内容なのです。考えてみればそれは仕方ありません。私の発問がまずかったのです。　そこで、前時と同じように、長さと重さを表にまとめ、「これはどんな関係になっていますか。」と発問すると、ようやく反応が返ってきました。ここまでで大反省です。　ただし、「どうしてかけ算になるんですか。」とたずねるのですが、「１ｍが１５グラムの針金を６ｍかったから。」と、問題文をなぞる説明しか出てきません。これでは不十分です。そこで本時のめあてとして、「かけ算である理由を説明する」ということを設定しました。　まず基本の問題で、数直線を確認します。１ｍが２倍、３倍…になっていくと、重さも２倍、３倍、…になっていく様子を見せます。さらにこの問題文にある数字を「整理」させます。３つの数字があるので、これを「表」のようにそろえてかくと「四ます関係表」が見えてきます。これを見ると、倍関係が分かりやすくなっています。　この図を使って、かけ算になる理由を言葉にまとめます。一方が〇倍になると、もう一方も〇倍になる、という比例関係を使って説明することができます。　この説明が、別の問題でもできるかどうかを確認していきます。「１」が示されていない問題になると難しくなりますが、基本の形から倍関係のイメージを言葉で作っていきます。　さらに、かけ算にならない問題についてもその理由を考えておきます。鉛筆以外に、消しゴムも買うと、値段にずれが生じて比例関係が崩れることを線分図で確かめました。ここまでの学習は、次の「小数のかけ算」への助走です。　にほんブログ村
18May
- 「簡単な比例」導入
  　「簡単な比例」の単元に入りますが，子どもたちには，「もう体積はしっかり求められるようになったかな。」と言いながら，体積を求める問題を出題します。しかし見取り図で示された直方体には，高さが示されていません。子どもたちには，「この紙の裏に，高さが書いてあるんですが，見せません。きっとこの数字だろう，というのを３つくらい予想してノートに求めてください。」と投げかけます。子どもたちは適当な数字を決めて計算しました。　予想した長さと，計算した結果の体積を求めていきますが，なかなかかくれていた数字が出てきません。かなりやってようやく「１４」が出てきました。ここまでの結果は全て「短冊」に書き込みましたが，貼るのはバラバラに貼っています。その時，「たくさんの結果が見えてきましたが，これを見て何か気づいたことはありませんか。」とたずねました。　最初の児童は，「４０ずつ増えている。」と言いました。しかし短冊はバラバラなので，どこのことを言っているのかがよく分かりません。そのとき一人の児童が，「並べ替えたらいい。」と言ったので，並べ替えてもらいました。　並べ替えて説明してもらったのですが，その児童は「下の数を上の数で割ると４０になる。」という，「変化」とは違うことをしゃべり始めました。まだ学期初め，話すことが十分にできていません。こちらで修正をかけながら，「変化」と「商一定」に関してはまとめていくことができました。　しかし，比例の見方である「横に見る」意見は出てきません。これは今までも経験してきたことで，横に見る見方は「４０ずつ増える」から脱却しにくいのです。そこで「５㎝」とと「１０㎝」の２つの短冊を並べて，「この２つを見て気がつくことはありませんか。」という直接的な発問を出さざるを得ませんでした。　ここでも最初は「２００増える」という変化しか出なかったのですが，別の児童が，「上が２倍になると，下も２倍になっている。」という意味のことを発言したので，それを少しずつ広げていく活動に入ります。しかしこの活動もまだ十分には浸透しておらず，かなりの時間がかかりました。　結局，他の場所での２倍関係や，３倍，１００倍関係などの押さえはできました。　そのあと，教科書の「レンガ」と「植木鉢」を積んでいった時の「高さ」の関係を表にまとめ，レンガの方は先と同じような気づきができるのに対し，植木鉢の方は「同じ数ずつ増える」は成り立っていますが，他の２つについては成り立っていないことを見せて授業は終了しました。　教材のさることながら，子どもたちがまだまだ十分に育ち切っていないことがこの授業の停滞の原因になっています。少しずつ鍛えていく必要があります。　にほんブログ村
15May
- 単位の関係
  　「体積」単元の最後の時間は，「単位の関係」です。以前は６年生でまとめてやっていたことを，各学年でその都度やることになっています。　まず，これまでに学習した「体積の単位」である「?」「c?」「mL」「dL」「L」を示し，大小関係を確認します。２年生などで学習したそれぞれの単位換算を復習しましたが，なかなか理解できていない児童もかなりいます。　ここで新しい単位「cL」(センチリットル)を指導します。これを加えることで，Lがついた単位を全て「１０倍」の関係で繋げることができます。　次に，1?と1mLが等しかったことを思い出し，さらに１０㎝の立方体の体積である「1000?」と「１L」が等しいことを押さえて縦に並べます。　さらに，１Lを１０００倍にした「1kL」(１キロリットル)という新しい単位を教え，１０００倍になっていることを指導します。すると，これが「1?」と同じことになっているので縦に並べて，全体のまとめが完成です。　この後は，応用問題です。内のりを示した水を見せ，これをもう一方の入れ物にうつした時，ちゃんと入るのか，漏れてしまうのかを判断させます。これは２つの直方体の体積を求めればわかりますが，「理由の説明」の練習として，計算結果をきちんと文章に直して説明する練習をしました。　さらに，ちゃんと入ることが分かったので，もし全部入れると，高さが何㎝になるのかを考えます。このタイプの問題は，子どもたちの大変苦手とするものです。２段階の思考が必要になるからでしょう。子どもたちは苦戦しながら，問題に取り組んでいました。イメージがちゃんと持てるかどうかが大きなポイントです。　にほんブログ村
14May
- 大きな体積
  　体積を求める復習から入ります。第１問は，計算すると「8000?」になりました。その時に，「これは何Ｌですか。」とたずねます。前時に「１Ｌ=1000?」を学習しているので，「８Ｌ」と正しく答えられなければなりません。　第２問は，１つの辺だけ「ｍ」で表示されているので，「単位をそろえ」なければならない問題です。これも既習ですので，確認します。そして第３問です。今度も一つの辺だけ「３ｍ」ですが，あとの辺は「２００㎝」「１００㎝」です。これも「㎝」にそろえますが，結果がとても大きな数になります。そこでこんな場合は「ｍにそろえる」ことも可能であることを指導します。　この時考えたことは，一辺が１ｍの立方体がいくつ分になっているのかということです。この立方体の様子を画像で見せます。子どもであれば５人以上は入れそうな感じです。この新しい単位の書き方・読み方を指導します。　また，?との換算も「100×100×100」で「1000000?」になることをアニメーションで見せておきます。　この新しい単位も，体積公式がそのまま使えます。その練習として見取り図で出題しました。簡単な計算なのでどうということのない問題ですが，これはこのまま今自分たちがいる「教室」の体積を表していることを教えます。大体どこの教室もこれに近い体積だと思います。　そのあとは，小黒板問題と教科書の練習題，もっと練習をします。ｍになっただけなので特に問題はありません。　最後に，教科書にある「量感問題」をします。適切や単位・数字を選ぶ問題ですが，多くの児童が引っ掛かっていました。見た目の数字に左右されてしまうのです。頭の中だけに入った「単位」ではこんなことになってしまうのでしょう。　にほんブログ村
13May
- 複合図形
  　直方体や立方体の体積・容積の求め方を学習しました。この日は，「それとは違う立体の体積を求めるよ。」と言いながら，実物を見せました。子どもたちは「階段」などと言っているのでそのネーミングを使いながらめあての設定をしました。　見取り図を与えて「自力解決」をさせます。初めての経験でしたが，約半数は何らかの方法で解決できていました。もちろんこれだけではできない児童もいますが，全員をここで高めるのではなく，ある程度の時間で切って，考え方の発表に移り，それを聞いてできるようになることを目指します。　最初の発表は，分けて求める方法です。式だけを発表させ，どの部分を求めたのかを全体で追求していきます。その話の中で，「上の部分を出した。」という話が出てきたので，上と下に分けるというイメージができました。　次に出てきたのは，ない部分を補って考える方法です。自力解決ではこれが一番多かったようです。最初の式がどんな意味になるのかを考える中で，「かけている部分」という言葉が使われました。この言葉をもとに，アイデアのイメージを作ります。その部分を補って大きな直方体を作り，補った部分を引いて求めることが分かりました。　「まだある。」という言葉で出てきたのが，左右に分割する方法です。さっきが「上下」だったので，今度は「左右」という言葉で説明していきます。　これで全てのアイデアが出ましたので，それぞれの考え方は，全てどこかに「直方体を見つける」という作業になっていることを押さえます。直方体の組み合わせでできているのです。　教科書の練習題をした後は，複合図形の問題が８問も入ったブリントをわたし，どんどん考えさせていきます。いろんな複雑問題もありますが，それぞれの力に合わせて進めていくためには，多めの問題があった方が個に応じられます。　この場面は，研究授業などでよく使われる場面ですが，私は比較的あっさりと進めています。　にほんブログ村
12May
- 容積
  　「昔の人は，水やお酒を飲むときに何を使っていたと思いますか。」と発問することからスタートです。子どもたちの答えは，「竹」「ひょうたん」などが出てきましたが，その中に「升」というのがありました。その写真も見せてやり，「今日は，この升の体積について考えましょう。」と，導入しました。　そして，体積が同じになる２つのますを見せます。どちらも縦・横・高さが等しいので同じ体積です。ただ，板の厚さが1㎝と2㎝です。「でも違うところはありませんか。」とたずねると，板の厚さが違う，中に入る量が違う，などが出てきました。そこで，「今日は升の中に入る体積について考えよう。」と，めあてを設定しました。　まず，入れ物の中に入る体積のことを「容積」という言い方をすることを指導します。すると，「容器の中に入る体積や。」と返ってきたので大したものです。　ここから，２つのますの中に入る体積を考えます。縦と横の部分は，板の厚さが２つ関係します。高さの部分は，下の部分だけが減ります。そのようなことを考えて，必要な長さを求め，計算で体積を求めました。　こうして，中に入る体積を求めるために，必然的に利用してきた長さのことを「内のり」ということを教えます。同じようにして，もう1つの升の体積も求めていきました。外側の体積は同じでも，厚さが１㎝変わるだけ５００立方㎝もの差が出ることに驚きました。　小黒板問題は，外側は直方体なのですが，中に入る部分の内のりを考えると，内側は立方体になる問題です。計算すると「1000立方ｃｍ」になりました。ここでこの容積と，他の単位の関係を教えます。１Ｌを媒介にして，１立方ｃｍが1ｍＬと同じことであることも触れていきました。　最後は教科書の問題を練習題として終了しました。　にほんブログ村
11May
- 公式練習
  　前時に，体積の公式を学習したので，この日はシンプルにそれを使う練習をします。欠席者のために公式を確認した後，小黒板で一問ずつ出題していきます。最初の問題は「見取り図」で３つの辺の長さを示した最も簡単なものです。これで公式の使い方を確認します。(数字の順番にこだわらないことも)　第２問は，図を示さず，ことばで出題するタイプです。教科書やテストなどではよくあるので，抵抗感をなくすためにこのタイプでも出題します。次は，見取り図で示した問題を２つ同時に出題します。１つ目は，立方体で，長さが２か所しか示されていません。それでも立方体なのでこれで全く問題はありません。　ところが，もう１つの問題になると，子どもたちから「おかしい」という声が上がります。「高さがない。」というのです。確かにそうなっています。「しまった。何㎝だったかな。」と言いながら，探し始めたのですが，見つかりません。そのうち「あっ。」と言いながら，１枚の短冊黒板を見つけ，みんなに見せました。そこには，「答え９０立方センチ」と書かれているのです。「やらせや。」などの声もありましたが，これで高さが分かるということで，作業は進んでいきました。　ここからは，教科書の練習題に入ります。教科書に直接書いていきます。特に問題が出たのは，左の問題です。何も考えずに「１×５０×４０」としている人が何人かいたのです。これでは単位がそろっていないので，結果がおかしくなることを確認し，「単位をそろえる」ということをまとめました。　以下「もっと練習」や「ブリント」をして終了しました。　にほんブログ村