SystemTradingのブログ

システムトレードに関するブログです


テーマ:

■ 「複素数」に関する知識を強化する!


 

普段の生活には全く縁がないと思われる数学知識ですが、市場分析という

世界に足を踏み入れたのであれば無関係とは言えない知識になるでしょう。

 

でも今更学生時代の教科書を引っ張り出すには・・ (ノ_・。)

あ~微分って難しくてわからなかったなぁ・・

 

と知識の取得を諦めてしまう方も多いことでしょう。当コンテンツは、そんな方々

へお贈りいたします。

  

 

 

■ 今回扱う知識以外に必要な知識

 

   三角関数の加法定理

 

  

  

■ 今回扱う知識は「ド・モアブルの定理」

 

 

【極形式の基本公式】

実は解説を忘れていた基本公式がありまして・・ ( p_q)

ド・モアブルの定理は本来、極座標の解説で扱う基本公式なのであります。

ド・モアブルの定理もオイラーの公式同様にシンプルなものであり、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa1
 

 

と表現されます。この定理も使用される頻度が多いので複素数の知識として

知っておくべきでしょう。

ちなみに導出は三角関数の加法定理を活用します。難しくはないので導出し

てみましょうか (^-^)/

 

 

 

 

 

【ド・モアブルの定理の導出】

この定理は三角関数の加法定理を使用します。極形式で表される下記の2つ

の複素数を元に導出を行います。

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa1

 

 

まず2つの複素数の乗算を計算しましょう (^-^)/
展開を順にしていきますと・・

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa2
 

 

となります。ここで{ }の中が加法定理によって変形することが可能になること

がわかりますね!

展開する途中に気付くと思いますが、注意点は虚数の2乗があるので-になる

点ですね (^O^)/

ということで、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa3

 

 

となるわけです。では、これを使いまわします。Z1とZ2の乗算ではなくてZ1とZ1

の乗算としたらどうなるでしょう?

正解は、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa4

 

 

となります。これで、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa1

 

 

となることがわかりますね ('-^*)/

ちなみに、上記の乗算のケースですと常に r倍 されてθ2加算されます。これは

複素数の乗算でも解説しましたが、 θ2 分時計と逆方向に回転されることになり

ます。

 

 

参考 : 重要な複素数の計算

 

 

また除算の場合なのですが、上記例の2つの複素数の除算を行い加法定理をもっ

てまとめますと、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-moa5
 
 

となります。これは、1/r2 倍されてθ2減算されているので、時計方向に θ2 分

回転していることになります。

要は極形式をもって計算すると複素数の計算の性質が見えてくるというわけです。こ

うしたイメージ的な理解は非常に大切なので自分で図解してみるのも良いかもしれま

せんね (^-^)/

 

 

 

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