SystemTradingのブログ

システムトレードに関するブログです


テーマ:

■ 「微分」に関する知識を強化する!


 

普段の生活には全く縁がないと思われる数学知識ですが、市場分析という

世界に足を踏み入れたのであれば無関係とは言えない知識になるでしょう。

 

でも今更学生時代の教科書を引っ張り出すには・・ (ノ_・。)

あ~微分って難しくてわからなかったなぁ・・

 

と知識の取得を諦めてしまう方も多いことでしょう。当コンテンツは、そんな方々

へお贈りいたします。

  

 

 

■ 今回扱う知識以外に必要な知識

 

   微分-極小な世界を理解する

   微分-重要な導関数計算

   微分-様々な関数の微分

   微分-高階微分

 

  

  

■ 今回扱う知識は「テイラー展開とマクローリン展開」

 

 

【超越関数を四則演算で扱うために!】

今回扱うテイラー展開とマクローリン展開は微分に関わり内容かつ、数値解析

を行う上で重要な技術です。

例えばSinは加算減算では表せませんよね?

それを近似値ではありますが四則演算で表現する方法となります。

方法は簡単で基となる関数の高階微分と公式を使うだけです!

 

まずテイラー展開の公式を示します (^-^)/

 


HSF-SystemTradingのブログ-tera1

 

 

この式の展開の仕方は、まずある関数f(x)があるとします。その高階微分

をしておくのですが、何回微分すれば良いのでしょうか?

一般的には、

 

 

テイラー展開は基の関数の近似値

 

 

なので、近似値の精度を上げる場合は10次ぐらいまで微分すれば十分と

言われます。順番に公式の計算プロセスを解説しましょう♪

 

 

 

 

■ n次までの高階微分を基の関数に行う

まずは基の関数を求めたいn次まで微分しておきます!

例は計算が楽な指数関数であるeで行います (;^_^A

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-tera3

 

 

この数式は何度微分しても元のままなのですね (●´ω`●)ゞ

詳しくは、記事上部の今回扱う知識以外で必要となる知識にある

 

 

「知識の様々な関数の微分」

 

 

を参照してください。で微分していきますと・・

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-tera5

 

 

となりますね (^-^)/

テイラー展開は基本的に超越関数に対して使用するので、微分し続

けたら0になるっていう心配はしないで良いかと思います。
 

そして!
 

第1項目は基の関数そのままにaを代入しておきます。このaを代入すると

いう意味は、x=aの時のテイラー展開を行うという意味です。()内の数字は

微分した回数です。

 

 

 

 

■ 高階微分した式をテイラー展開の式に当てはめよう

高階微分した式をテイラー展開に当てはめていきます。ちなみに、公式内にある

 

 

!=階乗    参考 : 階乗を理解する

 

 

です。参考先を参照すれば理解できると思います。

ではハメ込んでいきましょう (^-^)/

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-tera6
 

 

これでテイラー展開は終了です。でも値が導けないですよね・・

そこで次に来るのがマクローリン展開となります (ノ゚ο゚)ノ

 

 

 

 

■ マクローリン展開とはaに0を代入するということ!

マクローリン展開はaに具体的数値を代入することです。その具体的な数値

とはになります。

ではテイラー展開した例題のaを代入しましょう (^-^)/

0乗は1なので、あれよあれよと・・
 
 
HSF-SystemTradingのブログ-tera7

 

 

簡単な式へと様変わりしました。これがテイラー展開とマクローリン展開となり

ます。後は近似値の精度がどの程度なのかをグラフで確認してみましょう。

10次まで計算してみます。
 


 
HSF-SystemTradingのブログ-tera8

 

 

 

Xが7近辺ぐらいまでは良い近似になっていますね ヘ(゚∀゚*)ノ

精度を高くするのであればN次のNを大きくとるしか方法はありませんが、

このテイラー展開・マクローリン展開は微分に関わりながら多くの場面

で使用される数学的武器となるのですね (^O^)/

 

 

 

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