SystemTradingのブログ

システムトレードに関するブログです


テーマ:

■ 「Γ関数(ガンマ関数)」に関する知識を強化する!


 

普段の生活には全く縁がないと思われる数学知識ですが、市場分析という

世界に足を踏み入れたのであれば無関係とは言えない知識になるでしょう。

 

でも今更学生時代の教科書を引っ張り出すには・・ (ノ_・。)

 

と知識の取得を諦めてしまう方も多いことでしょう。当コンテンツは、そんな方々

へお贈りいたします。



  

 

■ 今回扱う知識以外に必要な知識

 

    ・ 直積(総乗)の知識

 

 

■ 今回扱う知識は「階乗とΓ関数(ガンマ関数)」

 

 

【階乗の知識】

階乗とは以下の具体例に従った法則性を持つ計算プロセスです

 

 

・ 階乗の計算例

   自然数nの階乗はn!と表され、例えばnが5であるとき、

   5!=5×4×3×2×1=120 となる

 

 

そして、階乗を数式で表しますと直積(総乗)記号Πを用いて、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-kaijou1

 

と表されます。上記の具体例を数式で表し計算を行いますと、

 

HSF-SystemTradingのブログ-ganma2

 

となります。階乗の注意点は以下の通りですが非常に重要な約束事

であるため覚える必要があります。

 

 

ⅰ) 0!(0の階乗)=1 とする

ⅱ) 階乗は自然数しか計算ができない

ⅲ) 自然数以外の階乗はΓ関数(ガンマ関数)を使用する

 

 

約束事は全て重要ですが、ここでΓ関数(以下ガンマ関数に統一)とう

ものがでてきました。ガンマ関数は階乗と密接な関係があるので次に、

ガンマ関数の解説をします。

 

 

 

【ガンマ関数の知識】

ガンマ関数とは階乗を拡張した計算プロセスです。まず、階乗とガンマ

関数との関係をみていきます。その関係とは、

 

 

HSF-SystemTradingのブログ-ganma3

  
HSF-SystemTradingのブログ-ganma1
 


となります。どちらも同じ意味であることを理解しましょう。そして、この関

係を活用しますと本来は自然数以外の階乗は計算できませんが、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-ganma2

 

 

とガンマ関数にて値を導くことが可能となるのです。これを応用することで

分数の階乗も計算ができることになります。そして上記の関係を公式化し

ますと、

 

 

HSF-SystemTradingのブログ-ganmma7

 

と表現されます。ただ、この公式はExcelなどでは計算し難いので展開かつ

変形しますとガンマ関数が階乗で表現されます。都合上変数と置き換えま

すと、

 

 
HSF-SystemTradingのブログ-ganma8
 
ただし、
HSF-SystemTradingのブログ-ganma9
 

 

という式になります。これで、ガンマ関数が()内にどのような形式がきてもnが

求められ計算ができるようになります。

この式をExcelやプログラミング内で数式として使用すると計算が楽になります。

ただし上記公式は下記のルールに則って使用しますので覚えておきましょう。

まず前提を設定します!

 
 

  

☆ Zが自然数となる時、Zの値による階乗の計算となる

 
      HSF-SystemTradingのブログ-ganma4

 

 

☆ Zが自然数以外になる時、ガンマ関数による計算となる
  

      HSF-SystemTradingのブログ-ganma8

        ただし

            HSF-SystemTradingのブログ-ganma9

 

 

要は階乗で計算できるときは階乗で計算とし、階乗で計算できないときはガンマ

関数を使用して計算を行うということです。

 

 

 

【ガンマ関数の計算における注意点】

ガンマ関数の計算は決して難しいものではありませんが、上記のnとzの扱いを間

違える場合が多いので注意点を述べておきます。基本的に、


 

zの値は指定された計算式に従って導かれる

 


のです。例えば確率分布の数式の一部が、

 
HSF-SystemTradingのブログ-ganmaa10

 

となる部分があります。確率分布の場合は、このnが自由度になります。

そして、この場合のzは、

 
HSF-SystemTradingのブログ-ganma11

 

となります。ここからdを求めないと公式が使えないので、さらに、

 

HSF-SystemTradingのブログ-ganma9

 

によって、

 
HSF-SystemTradingのブログ-ganma12

 

と計算することで公式を使用した計算ができるようになります。要は、zに

どのような数式が指定されるか、指定されたらdを上記プロセスで求めて

公式を使いましょうということです。

この注意点は実際にガンマ関数を使用した数式の計算を行うと自然と理解

できると思いますので色々と試してみるのも良いでしょう!
 
 

 

 

 

【ガンマ関数内にπが出現する理由】

この内容は飛ばしてもらってかまいません。内容としては難しいレベルになり

ますので興味のある方は読んでみてください。

実は、ガンマ関数の定義は、実部が正となる複素数z(Rz>0)について、


HSF-SystemTradingのブログ-ganma4

 

と積分で定義される関数をガンマ関数と呼ぶのです。意味不明と思われるか

もしれませんが、底をeとする積分は初等数学では表せないことは以前に扱

いました。 

 

 

※ eの積分については 正規分布をExcelで表現する  を参照♪

 

 

ただ、eの積分にはπが登場することは何となくわかると思います。そして、


HSF-SystemTradingのブログ-ganma3

 
を利用することによって、ガンマ関数にて負数ではない分数の階乗を定義

することができるのです!


HSF-SystemTradingのブログ-ganma7

 

そして、この解は√πになります。確認のため下記記事のサイトを開き、

※ 検算は こちら  の記事のサイトから!

 

 

gamma(1/2)

 

 

と貼り付け実行してみましょう♪

そして上記の関係から分数の階乗は√πを伴って、以下の数式で算出で

きるようになるのです。


HSF-SystemTradingのブログ-ganmma7

 

 

 

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