前回は磁石で電子機器と充電ケーブルを接続するコネクタを買いました。
Lightningと接続するときは100Wケーブルは使えないので、100均で330円のC to Cケーブルを買いました。長さは2mで充分な長さです。逆に長すぎるので100均の巻き取り器を付けました。約80㎝短くなります。
電源側は出力重視のC端子のほかに、店先の充電ポートに多いAポートにも対応するためにAオス-Cメスの変換機も買いました。変換器にはケーブルと繋いでおくためのひもを通す穴付きのを選びました。
↓全体図
↓6002F P2201B 京橋にて
↓8009F 回送(B2103A) 天満橋にて
↓13025F D2200H 淀屋橋にて
↓6001F B2302S 淀屋橋にて
↓3005F 万博ラッピング・HM B2205A→M2304H 淀屋橋にて
プレミアムカーの営業はありません。種別灯の変更と鳩マークの消灯は到着後です。
↓同萱島にて
↓8007F 万博ラッピング・HM B1503A→B1604Z 淀屋橋にて
入線時に幕回している写真です。特急中書島幕です。種別灯は到着後に変更します。
↓同 特急淀屋橋幕 幕を回したのに淀屋橋に戻していました。
↓ 1504F G1651A→回送 淀屋橋にて 3番線着です。
↓１番線：R1606H ２番線：回送(G1651A→) 京橋にて
どちらも先発表示です(17:00発)。
↓回送(G1651A→)
↓3005F 万博ラッピング・HM B1603A 京橋にて
↓G1657B 6008F 京橋にて
↓3001F A1623A 京橋にて
↓3005F 万博ラッピング・HM B1704Z&3001F A1623A 京橋にて
本日は3005Fが8000系運用につきました。洛楽の到着が遅れていました。
↓3002F 回送Y1xxxA 京橋にて
いったん停車します。
今回は三角関数の積分についてまてめました。
sinとcos､cscとsec、tanとcotがそれぞれ90°-θの関係にあります。
これらを左右に並べることで共通点を見いだせると思います。
一番下にあるように、主な被積分関数のsinxの部分をcosxに変える方法は２つあり、
・xの部分をx+π/2に書き換える。sinxはcosxに、cosxは-sinxになります。よって、cscxはsecxに、secxは-cscxに、tanxは-cotxに、cotxは-tanxになります。
・xの部分をπ/2-xに書き換える。sinxとcosxが入れ替わります。よって、cscxとsecx、tanxとcotxも入れ替わります。ただし、こちらはπ/2-xの微分が-1なので、入れ替えた後にすべての符号を替えます。
前者は2倍3倍の角にも応用しやすい点が、後者は簡単さが利点です。
それぞれの積分について、
・sinx,cosx
微分と符号が逆なので注意しましょう。
・sin²x,cos²x
sin²x=(1-cos2x)/2、cos²x=(1+cos2x)/2を用います。
1行目は、sinxとcosxを入れ替えても同じです。xはπ/2-xになりますが、π/2は積分定数として無視できます。全体の符号を入れ替えて完成。
2行目は、2xなので、下の図の2つ動かしたものになります。
・sin³x,cos³x
1行目は、sin³x＝-(cosx)'(1-cos²x)、cos³x＝(sinx)'(1-sin²x)を用います。
2行目は、3倍角の公式を使います。
・cscx、secx
1行目は、secx=cosx(1-sinx)(1+sinx)のように変形して部分分数分解します。
2行目は、cscx₌1/(2tan(x/2)cos²(x/2))を使います。
・csc²x、sec²x
これは覚えていないと厳しいです。
・csc³x、sec³x
部分分数分解は面倒ですが、結果はすべて1/4で覚えやすいです。
・tanx、cotx
tanx=-(cosx)'/cosxを使います。
・tan²x、cot²x
tan²x=sec²x-1を使います。
前回はPRiVACEの外観、デッキからのイメージ図から外装(塗装)、内装(座席等の配置やデザイン)、座席(コンセントやリクライニングボタン等正面から見えるもののみ)について予想しました。
今回はイメージ図からはわからない部分について予測してみます。
・リクライニング
前回は肘置きのところの小さなレバーらしきものをリクライニング操作用のものと推測しました。確証は無いですが、無いと流石に微妙なのでリクライニングはすると思います。リクライニングの操作方法は一般的なレバーを引いた(ボタンを押した)状態で座席を押すと倒れ、押さないと元の立てた状態に戻るものと思います(ふくらはぎの部分の座面が無いので電動にする必要はなさそうな上にボタンもない)。重要なのはリクライニングする角度ですが、プレミアムカーが20度(公式サイトのインタビュー3より)なのでそのあたりになるでしょう。
・WiFi
これは付いてるかどうかより通信品質(速度と安定性)が重要なので何とも言えないですね。コロナ前よりも携帯回線がかなり安くなっている(外国人用のプリペイドSIMについては分かりませんが)のと携帯の充電容量も大きくなっているのでそこまで気にする必要はないのかもしれません。(通信制限でも1Mbpsの契約もあるので、それより遅いと使い物にならない…)
・空気清浄機
空気清浄機の機能として、埃や塵などの微粒子を濾過する機能とにおいの分子を分解する機能の2種類あるようです(詳しくないのでよろしければご教示願います)。前者は主に喫煙室でのもの(？)なので、後者の機能について目にすることが多いと思います。パナソニックのナノイーかシャープのプラズマクラスターが有名だと思います。どちらも大阪の企業らしいです。本社が前者は門真市にあるので京阪プレミアムカーが採用し、後者は堺市にあるので南海サザンに採用されています。
・座席ヒータ
デッキからのイメージから分かる通り、デッキと客室との仕切がないため全席かデッキ付近のみのどちらかは分かりませんが付けるかもしれません。
・車内販売、貸し出し
車内にトイレがついていないので、飲食物の販売はないと思います(場所も取りますし)。記念品などは売ると思います。プレミアムカーではコロナ禍で充電器とブランケットの貸し出しがなくなりましたし、今後も衛生面で貸せないのかもしれません。ただ、充電器は貸してくれなくても売ってくれれば助かります(駅に設置している時間貸の充電器がありますが、乗ってからでも需要はあると思います)。
前回は15°ごとの三角比の表を作りました。
今回は1°毎のよく見る三角比の表にその値の常用対数を付けてみました。
三角比は比と付いているので掛け算・割り算によく使われます。そこで掛け算・割り算を足し算・引き算に変換できる(常用)対数を付けてみました。sinの絶対値が常に1以下なので常用対数を取ると0以下になります(赤色の理由はマイナスを赤にしようとしたため)。
使い方は、下の常用対数表を使って基にする量を常用対数にして、三角比の常用対数を足し(引い)てから再び常用対数表を用いて真数(普通の数量)に戻すことで楽に計算出来ると思います。
対数の恩恵を特に受けるのは桁の大きい数の乗除です。例として、大きな数の喩えである、天文学的数字がある天文学があります(対数の使い道としては物理量を感覚的な指標にする為、例:音程と周波数、音量と音圧、情報量と組み合わせなど)。よって、下の3行は天文学に出てきそう値(常用対数)を独断で並べておきました。
・1°(度)=60′(分角)=3600″(秒角)で、1周(360°)が2π~6.28 rad(ラジアン)です。
・真空での光速(c)はメートル(m)の定義に使われていています(c=299,792,458 m/sとなるように定義)。
・万有引力定数(G)は万有引力の法則(万有引力が2体の質量の積に比例し、距離の2乗に反比例する)の比例定数で、6.67430(15)×10⁻¹¹ N・m²/kg²と定義されています。
・天文単位(ua)は地球と太陽の平均距離で、149,597,870,700 mと定義されています。
・1光年は光速で1年間に進む距離で、9,460,730,472,580,800 mと定義されています。
・1年は現在の暦の上では閏年が400年に97回(31,556,952 s)きますが、光年(ly)の定義には4年に1回のユリウス年(31,557,600 s)が用いられます。
・1パーセク(pc)と1天文単位(ua)を2辺に持つ直角三角形の角が1秒角になるように定義されています。扇形とする定義もありますが、1秒角と角度が極めて小さいので殆ど変わりません(少なくとも10桁は同じ)。
行間の緑の数字は２つの数字の差です。間の値を推測するのに役立てられたらと思います。また、この数字は元の関数の微分と関係があります。真数の方は(π/180)cosθで、常用対数の方は(1/ln10)×(π/180)×cotθ、常用対数表は(1/ln10)x⁻¹です。
1°より小さい角ではsinの値は角度に(充分な精度で)比例します。身近な角度の例として、
・1°の坂は約1.7%と表記されます。
・鉄道では急勾配の値35‰(3.5%)は約2°になります。
・月や太陽の視直径は約30′(0.5°)で、月の軌道が歪んでいる(円とは言い切れない程度の楕円)ので月の視直径は30′〜33′の間で変化するようです。このため太陽より大きく見える時と小さく見える時があります(日蝕の時、前者は皆既、後者は金冠になる)。
・視力1.0は1′の物を見分ける視力で、視力検査にて使われる視力1.0のランドルト環は直径7.5mm、幅・欠けた長さが1.5mmの大きさのものを5m先から見ます。視力は距離に比例し、環の大きさ(直径)に反比例します。
・1海里(NM)は子午線の1′ぶんの長さで1852 mと定義されます。また、マイル(1609.344 m)とは異なります。
・比較的近い恒星との距離は年周視差(地球が公転軌道のどこにあるかで見える方向が変わること)を用いて求められます。年周視差が1″になる距離が1パーセク(pc)です。太陽系から最も近い恒星であるαケンタウリでも年周視差は約0.75″で、距離にすると1.34パーセク(pc)離れています。
おまけ
↓対数尺の付いた腕時計
一番外の目盛りは回転させることができ、一つ内側の目盛りと合わせることで掛け算・割り算をすることができます。
もう一つ内側の目盛りは2kmの所要時間から時速を割り出せるものです。1000mと書いていますが多分間違いだと思います。
一番内側の目盛りは恐らく運針の回数を表していると思います。1秒間に5回打っているようです。
↓改訂版
前回は三角関数や双曲線関数とそれらの逆関数の微分についてまとめました。
双曲線関数については定義域についてしか触れていなかったので、
今回は三角関数と双曲線関数の類似点と相違点をまとめてみました。
三角関数はご存じのとおり、角度からx,y座標、傾き(それぞれcos,sin,tan)を求める関数です。
また、逆にsinθ,cosθ,tanθの値からθの値を求める関数、つまり、三角関数の逆関数を逆三角関数と呼びます。書き方は主にCos⁻¹xと書く流儀とArccosxと書く(Arcは弧の意味)流儀の2通りあります。前者は関数が短く書けるのが利点で、欠点は逆数(secθ=1/cosθなど)と紛らわしいことです。後者はその逆で、長くて読みにくいですが間違いにくいです。前者は逆数を表すときは分数にするかsecθなどを使うことで混乱を回避します。両者ともに1文字目を大文字で書くのは主値(複数の値から同じ値を返す関数では、逆関数の値が複数出てくるのを防ぐために予めどの範囲の値からとるか決めた値)を出すことを表しているようです。
双曲線関数は(直角)双曲線x²-y²=1上の点Pについて、OPと双曲線とx軸で囲まれた面積からx,y座標、傾き(それぞれcosh,sinh,tanh)を求める関数です。ハイパボリック・サインなどと名前が長いので適当に略されたりします。面積は何に使うかと言われても特に無いと思います。ただそういう性質があるということでしょう。逆関数は三角関数と同様に右上に-1と書く方法と前にArea(面積)を付ける方法があります。
まずは類似点から説明します。
・定義式が似ている。実はsin,cosなどを使わずに三角関数を表現できます。三角関数の式は虚数単位(i²=-1)のiが出てきますが、双曲線関数はそれを抜いたものになります。なお-iが出てくるのは1/i=-iだからです。これらの関数はcosθ=cosh(iθ)などの簡潔な関係式で表現できます。なぜ似ているかというと、単位円x²+y²=1と双曲線x²-y²=1の式が似ているからです。なお、tanθの式に-iを掛けるのを忘れないようにしましょう。
・マクローリン展開した形が似ている。これは複素数を使った関係式から説明ができます。2乗おきにしか項が出ないのでi²=-1倍ずつずれる(符号が交互)か全て揃うかになります。
・その他、相互変換公式・加法定理・微分が似ている。
これも式が似ているからです。ただし、符号は異なるところがあります。
・θが指す意味は、三角関数は弧の長さで双曲線関数は面積の半分と書きましたが、三角関数の方も扇形の面積をθ/2と書けます。また、楕円(acosθ,bsinθ)のθはx軸となす角ではなく、扇形の面積に関するものです(面積はabθ/2)。
逆に似ていない点は、
・グラフの形
数値が似てて符号が同じ式より数値が同じで符号が異なる式の方が出てくる値が大きく異なります。
cosxとcoshxは偶関数であること以外共通点はないです。また、sinhxとcoshxはsinxとcosxのような類似性は見られません。coshxは放物線のような形ですが違う曲線です。
意外なことにsinxとtanhx、tanxとsinhxの形が似ています(似たような係数なので)。
・逆関数の微分
これはグラフの形が似ていないので当然ですね。なお先程挙げたsinxとtanhx、tanxとsinhxの逆関数の微分は似た形になります。
双曲線関数は微分積分で稀によく見る関数です。
複素数を使わない関係式としてグーデルマン関数(1/coshxの0からxの定積分)やランベルト関数(1/cosxの0からxの定積分)があります(何故かこれらは互いに逆関数)。
三角関数や双曲線関数を出力できるほか、定積分を求めることもできます。
COIN: Always Be EarningというXYOという仮想通貨を集める位置情報ゲームを2022年の7月ぐらいから始めてみました。
約32メートル四方ごとに区切られた区域を移動したり滞在することで仮想通貨XYOと交換できるゲーム内通貨のCOIN(中央上の3589.04が所持COIN)が手に入ります。
このリンクからダウンロードすると最初からCOINを所持した状態から始めることができます。
遊び方
アプリを立ち上げると上のような画面が出てきます(状況によって左側のアイコンの数が変わります)。中央下の青いツルハシのボタンを押すと現在の区域(薄い青)を塗り始めます。ボタンを押してから約4秒間同じ区域に居続けるとその区域が濃い青に塗られてCOINを手に入れます(枚数はランダム)。塗り終わってから約6秒間待つと再びツルハシボタンを押すことができます。つまり、10秒ごとにツルハシボタンを押して区域(以降マスと呼ぶ)を塗ることができます。
なお、15回マスを塗るとツルハシの下のAuto Explore機能が使えるようになります。この機能は自動でツルハシボタンを押してくれるもので、左の丸が緑色になっているときが自動で塗ってくれます(Auto Exploreと書いているところを押すとオンオフを切り替えできます)。
同じマスを再度塗りたい時は約3分半待つか、マスを押すと出てくるパズルを解くとできます。パズルの内容は複数の種類がありますがどれも簡単なものです(パズルというよりは脳トレフラッシュ)。
また、3回連続で同じマスを塗ると3×3マスの囲いと左側に家のアイコンが出てきます。これはHome Baseという機能で、滞在時間に応じてマスを塗ったときの獲得COINが1〜10%増えます。囲いの外のマスを塗ると消えます。位置飛びで外のマスを塗ってしまって解除されないような機能は家アイコンを押して出てくるTurn on Home Base Shieldの項目にチェックを入れると使えます。この時ツルハシボタンの上に家に盾がついたアイコンが出ています。解除するにはチェックを外す他に盾アイコンを押してTurn offを選ぶことでもできます。
その他の機能
・青の３つ星アイコンを押すと不定期に現れるボタンを200番目以内に押すとCOINが貰えます。
・緑の再生ボタンは広告を観てCOINを獲得するものです。
右側は
・青の４つの四角は特に使わないです。
・紫の星が描かれた箱は月曜9:00からの1週間でマスを塗った回数などに応じてCOINが貰えます(獲得は翌週)。
・緑のロボットはバックグラウンドで起動させておくとCOINが貰える機能です。1分フォアで起動させると2分ぶん獲得でき、最大3時間ぶん貰えます。位置情報を常にオンにしておくと10倍貰えます。
・黄色のコインの山は毎朝9:00以降に押すと所持COINの1万分の1のCOINが貰えます。
今回は加法定理とそれを使って2倍角の公式や三角比の合成についてまとめました。
加法定理の導出として有名なのは、単位円(原点中心、半径1の円)上の2点ABの距離を座標における距離(x座標の差の2乗とy座標の差の2乗の和の平方根、√{(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²})から求める方法と2点と原点で作る三角形において余弦定理を原点の角について求める方法(√{OA²+OB²-2×OA×OB×cosθ})の2通りで求めて比較することで導出します。(需要があれば別の機会にまとめます)
この導出法ではcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの式が始めに導出されます。この式だけではあまり実用的ではないので他の式(cos(α+β)やsin(α±β))をcos(α-β)から変形して導きます。
cos(α+β)はcos(α-β)のβの符号を変えると導けます。cosβのβを-βにしたcos(-β)は対称性よりcosβです(前回参照)ので、cosβはそのままです。また、sinβのβを-βにしたsin(-β)は対称性より-sinβです(前回参照)ので、sinβの項の符号が変わります。
sin(α±β)はcos(α±β)のαをα-90°に変えると導けます(前回参照)。cosはsinにsinは-cosに変わります(右図参照)。
tanの加法定理の求め方はsinの加法定理の式をcosの加法定理の式で割ったものを分母・分子共にcosαcosβで割ると導出できます。tanの加法定理は2本の1次関数のグラフがなす角を求める時に応用できます。
使い方兼例として15°と75°の三角比を加法定理から求めてみました。30°・45°の三角比は既知というか正三角形と正方形(直角二等辺三角形)からすぐに導けるので公式にそれを代入するだけです(tan15°・tan75°は分母の有理化など微妙に面倒ですが…)。このとき45°の正弦・余弦は√2/2を使うと計算しやすいです。sin・cosについてはこれが速いですが、tanについては他のやり方のほうが速いと思います。
2倍角の公式は加法定理に同じ角を代入したときのものです。cosの方はsin²x+cos²x=1の式を使ってsin²またはcos²にまとめることができます。これをsin²、cos²について解いたものはsin²xやcos²xの積分に使われます。
半角についての式で初見では思いつかないものやtan(x/2)で表す方法を挙げました。特に√(1-cosx)=√2|sin(x/2)|は二等辺三角形の底辺を余弦定理で求めたのが左のような形で、直角三角形に二等分して三角比から求めたのが右のような形です。円周上での距離でも使えたりします。
tan(x/2)でsinx,cosx,tanxの式を表すと複雑な方法を使わずに積分できます。sinx,cosx,tanxをtan(x/2)を使った形に書き換える手順を理解することは良い練習だと思います。
三角比の合成は加法定理の逆の手順だと考えると理屈がわかりやすいです。
目的の形を加法定理で分解したのを変形したい形と比べるとsinθの係数についての式とcosθの係数についての式の2本の式が立つのでそれを解くと合成できます。よく使うのはsinへの合成ですが、係数と角のsin,cosが逆転するのが混乱の元だと思うので、cosへの合成のほうがいいと思います。右側に例を2つ挙げました。多くの場合は角度が有理数で表せないので、とりあえず文字でおいてその正弦・余弦の値を表示するか、逆三角関数を使って表現します。
記載できていない加法定理関連の式として、前述の導出に使う余弦定理や三平方の定理、15°と75°の三角比を加法定理以外の求め方、3倍角の定理、積和・和積の定理などがあります。
前回は4つの円が外接する時について導出しました。
今回は1つの円の中に3つの円が含まれる時も合わせた形でやっていこうと思います。
前回と違う部分を中心に解説します。前回と同じ部分も要点は説明するようにしています。詳しい説明については前回の投稿も参照していただけるといいと思います。
デカルトの円定理
(k₁+k₂+k₃±k₄)²=2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)
ただし、k₁, k₂, k₃, k₄は４つの円の曲率(半径の逆数)
複号は、+：４つの円が互いに外接
ー：k₄の円が外側で内接
外側の円を円4とします。円4の半径はr₄です。
内側の円1〜3の中心の座標は前回と同じです(円1は原点、円2はx軸上)。
次に円4の中心の座標を求めていきます。
円4と円1、2は内接しているので中心間の距離は半径の差になります。
円3と同様にx座標を求めるとr₄の項の符号がマイナスになりました。
y座標も同じくr₄の符号が変わると思いきや、変わるのはr₁とr₂の方でした(間違えてr₄の方を変えてしまって1時間半ぐらい悩みました)。
最後に円3と円4が内接することを用いて式を立てます。
〇が付いていない複号は上が4円とも外接する場合で、下が今回の1つの円に3つの円が含まれている場合です(複号同順)。〇のついた複号は中心がx軸に対してどちら側にあるかについてのものです(こちらは2乗する時に消えます)。
中心間の距離は外接が半径の和で、内接が差になるので複号は±です。
x座標の差は引き算をしているので複号は反転して∓になります。
y座標の差の2乗における〇のついた複号はプラスのときが2つの中心がx軸の反対側で、マイナスのときが同じ側にある時です。
ここから式変形です。
(r₁+r₂)²をかけて分母を払い、根号のある項とない項で分けます。
全体を2乗する前に右辺を整理していきます。複号の反転に注意しながらやっていきましょう。
まずは2乗引く2乗の部分を整理すると全体が4で割れるのでわります。
もう少し整理したいので一旦ばらします。±かける±は複号同順の場合、いずれの場合もプラスになります。そして似たような項をまとめると右辺は2つにまとめられました。
前回と似た形ですね。前回と同じように(r₁+r₂)²がかかった形になっているはずなので(r₁+r₂)がある項とない項で分類してみます。
(r₁+r₂)がない項が2つある(しかない)ので、それらをまとめると(r₁+r₂)が出てくるはずなので計算すると、(r₁²+r₂²)²-4r₁r²₂²=(r₁²-r₂²)²=(r₁+r₂)²(r₁-r₂)²から(r₁+r₂)が2つでてきました。
(r₁+r₂)で割って、もう一度(r₁+r₂)の有無で分けると、また2つだけ無い項があるのでそれらをまとめます。一気に項を動かしてしまったので分かりにくいと思いますがこのようになります。
(r₁r₂r₃r₄)²で割って曲率に書き換えます。
(k₁-k₂)²を(k₁+k₂)²にしたいので右辺に4k₁k₂を足し、2つの2乗を繋げるために2(k₁+k₂)(k₃±k₄)を足します。右辺をまとめると、2つの積が6種類が4つずつ出てきます(k₄がある項は±、無い項は+)。
両辺に2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)を足すと右辺が左辺と同じ形に因数分解できます。共通項を引くと導出できました。
