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のこはんのブログ

主に京阪電車の写真を撮影しています。
ダイヤ解説もやってます。

今回は加法定理とそれを使って2倍角の公式や三角比の合成についてまとめました。

 

  加法定理の導出として有名なのは、単位円(原点中心、半径1の円)上の2点ABの距離を座標における距離(x座標の差の2乗とy座標の差の2乗の和の平方根、√{(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²})から求める方法と2点と原点で作る三角形において余弦定理を原点の角について求める方法(√{OA²+OB²-2×OA×OB×cosθ})の2通りで求めて比較することで導出します。(需要があれば別の機会にまとめます)

  この導出法ではcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの式が始めに導出されます。この式だけではあまり実用的ではないので他の式(cos(α+β)やsin(α±β))をcos(α-β)から変形して導きます。

cos(α+β)はcos(α-β)のβの符号を変えると導けます。cosββを-βにしたcos(-β)は対称性よりcosβです(前回参照)ので、cosβはそのままです。また、sinββを-βにしたsin(-β)は対称性より-sinβです(前回参照)ので、sinβの項の符号が変わります。

sin(α±β)はcos(α±β)のαα-90°に変えると導けます(前回参照)。cossinsinは-cosに変わります(右図参照)。

 

 

  tanの加法定理の求め方はsinの加法定理の式をcosの加法定理の式で割ったものを分母・分子共にcosαcosβで割ると導出できます。tanの加法定理は2本の1次関数のグラフがなす角を求める時に応用できます。

 

  使い方兼例として15°と75°の三角比を加法定理から求めてみました。30°・45°の三角比は既知というか正三角形と正方形(直角二等辺三角形)からすぐに導けるので公式にそれを代入するだけです(tan15°・tan75°は分母の有理化など微妙に面倒ですが…)。このとき45°の正弦・余弦は√2/2を使うと計算しやすいです。sincosについてはこれが速いですが、tanについては他のやり方のほうが速いと思います。

  2倍角の公式は加法定理に同じ角を代入したときのものです。cosの方はsin²x+cos²x=1の式を使ってsin²またはcos²にまとめることができます。これをsin²、cos²について解いたものはsin²xやcos²xの積分に使われます。

  半角についての式で初見では思いつかないものやtan(x/2)で表す方法を挙げました。特に√(1-cosx)=√2|sin(x/2)|は二等辺三角形の底辺を余弦定理で求めたのが左のような形で、直角三角形に二等分して三角比から求めたのが右のような形です。円周上での距離でも使えたりします。

tan(x/2)でsinx,cosx,tanxの式を表すと複雑な方法を使わずに積分できます。sinx,cosx,tanxをtan(x/2)を使った形に書き換える手順を理解することは良い練習だと思います。

  三角比の合成は加法定理の逆の手順だと考えると理屈がわかりやすいです。

目的の形を加法定理で分解したのを変形したい形と比べるとsinθの係数についての式とcosθの係数についての式の2本の式が立つのでそれを解くと合成できます。よく使うのはsinへの合成ですが、係数と角のsin,cosが逆転するのが混乱の元だと思うので、cosへの合成のほうがいいと思います。右側に例を2つ挙げました。多くの場合は角度が有理数で表せないので、とりあえず文字でおいてその正弦・余弦の値を表示するか、逆三角関数を使って表現します。

 

記載できていない加法定理関連の式として、前述の導出に使う余弦定理や三平方の定理、15°と75°の三角比を加法定理以外の求め方、3倍角の定理、積和・和積の定理などがあります。

前回は4つの円が外接する時について導出しました。

 

 

今回は1つの円の中に3つの円が含まれる時も合わせた形でやっていこうと思います。

前回と違う部分を中心に解説します。前回と同じ部分も要点は説明するようにしています。詳しい説明については前回の投稿も参照していただけるといいと思います。

 

デカルトの円定理

 (k₁+k₂+k₃±k₄)²=2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)

ただし、k₁, k₂, k₃, k₄は4つの円の曲率(半径の逆数)

複号は、+:4つの円が互いに外接

ー:k₄の円が外側で内接   

 

外側の円を円4とします。円4の半径はr₄です。

内側の円1〜3の中心の座標は前回と同じです(円1は原点、円2はx軸上)。

次に円4の中心の座標を求めていきます。

円4と円1、2は内接しているので中心間の距離は半径の差になります。

円3と同様にx座標を求めるとr₄の項の符号がマイナスになりました。

y座標も同じくr₄の符号が変わると思いきや、変わるのはr₁とr₂の方でした(間違えてr₄の方を変えてしまって1時間半ぐらい悩みました)。

 

最後に円3と円4が内接することを用いて式を立てます。

〇が付いていない複号は上が4円とも外接する場合で、下が今回の1つの円に3つの円が含まれている場合です(複号同順)。〇のついた複号は中心がx軸に対してどちら側にあるかについてのものです(こちらは2乗する時に消えます)。

中心間の距離は外接が半径の和で、内接が差になるので複号は±です。

x座標の差は引き算をしているので複号は反転して∓になります。

y座標の差の2乗における〇のついた複号はプラスのときが2つの中心がx軸の反対側で、マイナスのときが同じ側にある時です。

ここから式変形です。

(r₁+r₂)²をかけて分母を払い、根号のある項とない項で分けます。

全体を2乗する前に右辺を整理していきます。複号の反転に注意しながらやっていきましょう。

まずは2乗引く2乗の部分を整理すると全体が4で割れるのでわります。

もう少し整理したいので一旦ばらします。±かける±は複号同順の場合、いずれの場合もプラスになります。そして似たような項をまとめると右辺は2つにまとめられました。

前回と似た形ですね。前回と同じように(r₁+r₂)²がかかった形になっているはずなので(r₁+r₂)がある項とない項で分類してみます。

 

(r₁+r₂)がない項が2つある(しかない)ので、それらをまとめると(r₁+r₂)が出てくるはずなので計算すると、(r₁²+r₂²)²-4r₁r²₂²=(r₁²-r₂²)²=(r₁+r₂)²(r₁-r₂)²から(r₁+r₂)が2つでてきました。

(r₁+r₂)で割って、もう一度(r₁+r₂)の有無で分けると、また2つだけ無い項があるのでそれらをまとめます。一気に項を動かしてしまったので分かりにくいと思いますがこのようになります。

(r₁r₂r₃r₄)²で割って曲率に書き換えます。

(k₁-k₂)²を(k₁+k₂)²にしたいので右辺に4k₁k₂を足し、2つの2乗を繋げるために2(k₁+k₂)(k₃±k₄)を足します。右辺をまとめると、2つの積が6種類が4つずつ出てきます(k₄がある項は±、無い項は+)。

両辺に2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)を足すと右辺が左辺と同じ形に因数分解できます。共通項を引くと導出できました。

 

阪急京都線の座席指定車両、PRiVACEが今年の夏にデビューするようです。

夏といえば7月の祇園祭(15,16日の宵山あたりに臨時列車が出る)や8月初めの淀川花火大会が沿線でのイベントでしょう。それらの突発的な需要を取り込むのか、それとも混乱を避けるのかに注目です。今更ながら予想してみます。


経緯として、10月06日のリリースから

神戸・宝塚線系統の2000系とともに2024年夏に京都線の新型特急用車両の2300系がデビューすることが発表されました。この時8両編成の大阪方4両目(4号車)に指定席車両が設定されることが判りました。指定席の定員は40人ですが、これだけでは京阪プレミアムカーのような2+1の1扉車か京急ル・シエルのような2+2の3扉LCカーなのかはわかりませんでした。


11月21日のリリースから

名前とロゴ、外観とデッキからのイメージが出てきました。


まず、名前とロゴについて、

↑ロゴ 公式サイトより

名前はPRiVACE(プライベース)でPrivateとPlaceの造語のようです。

「i」だけが小文字です。「アイ」と読ませたいことや、英語の一人称単数の主格「I」としてプライベート感を醸し出すこと、某スマホに影響を受けたなどが考えられますが、理由は分かりません。

ただ、英字表記がprivateやprivacyと1字違いであることが検索性に問題がないか心配です。

ロゴはPをかたどったものですが、巷では「ア」にしか見えないといわれており、名称も「ア」で通じてしまうようで面白いですね(このせいか、iを大文字する誤記もほとんど見られない)。また、ロゴに座っているポスターはドラえもんのコエカタマリンを彷彿させますね。


次に外観について

側面は車両中央に両開きの扉があり、両側に7つの窓があります。後述のデッキからのイメージと合わせて1列毎に窓があることがわかります。新造なので窓割りは合っているはずですが、1列ごとだとそこまで見える景色には影響は無いと思います(車両テーマの個に合わせたのか、そこまで沿線の景色が面白くないのか…)。扉横の窓の片方に種別・行き先・列車番号を表示する電光掲示板があります。はめ込み合成かもしれませんが、3000系プレミアムカー385x号車のinfoverreや東武N100系の彩Visionのような映り込みの少ない液晶が採用されると思われます。


↑大晦日終夜運転での急行

1列窓で横幅が狭いのと、常時(?)ロゴ表示がある分(385xは扉を閉めてから数秒後にロゴのアニメーション表示)3列表示になって窓の半分を占めますが、内装の写真と窓下部の棒のようなものがあることから座席ではなく、荷物置き場だと思われます。ですので景色には関係ないと思います。窓下には金色の線と4つ目の窓に車番と阪急マークがあります。ホームドアが整備されると見えない部分(扉と車番、阪急ロゴのところは3扉位置でホームドアが透明なので見えるのかな)なのであれです。ホームドア関連で車両端上にも車番があります。両隣の車両との違いがあまりないのが特徴ですね


↑側面 プレスリリースより

↑ドア付近 プレスリリースより


デッキからのイメージ↓プレスリリースより

外観からも分かる通り車両中央にデッキがある構造です。一般的に車両中央が乗り心地が良いですが、乗車時間が短いので気にしなくてよかったのでしょう。デッキの壁は下が木目調、上が漆喰というかアイボリーのような白色です。上の方に波線のような模様が入っています。デッキと客室を仕切る扉は無いようです。外との扉の窓は片側で三角形、両方で斜めの正方形です。

  客室は壁が非対称なのを考えると2+1の配列です。これが7列ありますが、2と1の方で最前列までの奥行きが異なることから1の方のデッキ側は座席は存在しないこととなり、片側で(2+1)×7-1=20席になり、両側で40席とリリースの数と一致します。座席がない部分は外観では荷物置きと推測できますが、係員や車内販売のスペース、車椅子対応に広めの場所に使われるかもしれません。また、この部分に表示器を付けると思われるので、デッキを中心に点対称な座席配置(デッキから見て右が2列)だと思います。片方だけ荷物置き場だと他方の利用者はもう片方まで置いたり取りに行ったりしなくてはいけなく、荷物置き場側の乗客からは鬱陶しく感じられますが、両方付けると係員はデッキにいるのか?ということになりますね…。座席上の棚は透明のようです。客室床は黒無地のカーペットでしょうか?

椅子は緑で白の枕カバーが掛かっており、側面は茶色と阪急らしい色合いです。顔の高さの側面は前面に出っ張っており、プライベートな雰囲気を作り出しています。プレミアムカーのように座席の両面で色合いを変えることで出っ張りが強調された感じです。

↑プレミアムカーの座席

しかし、見た感じではバックシェル(近鉄ひのとりにある座席後ろの板のようなもの)が付いて無さそう(有るかもしれない)なので、リクライニングの際の気まずさは残ってしまうのではないでしょうか。リクライニングさせるときは声をかけてから倒しますが、イヤホンで音楽を聴いていると気付かれない場合があるのが嫌です(寝ているときはテーブルの物が落ちないようそっと勝手に倒しますが、寝てるのを起こすのもアレなので)。肘掛け部分は片側(1は通路側、2は真ん中か?)にコンセントとリクライニングボタンがまとめて取り付けているのでしょう。もう一つボタンらしきものがありますがおそらく暖房用のボタンかなと思います。


考察(適当)

既にある京阪プレミアムカーを参考に推察しました。

・何故扉が真ん中なのか?

プレミアムカーは3扉の端の扉の位置のみに扉があり、2+1の12列と端に2×2で40席です。


↑プレミアムカー座席と窓割り 公式サイトより

扉配置は2扉の8000系を改造したのでその1つをとって端に位置しています(3000系は新造ですが8000系に合わせたのでry)。プライベースは新造なので自由に設定できます。端に扉を設置すると狭い方は中途半端な広さの空間になりますが、4人分とグループや家族旅行に使いやすいセミコンパートメントと荷物置き場、乗務員・販売品スペースといった微妙に場所を使うものに割り当てられます。それでも中央にデッキを作ったのはやはり乗り降りに時間がかからないようにするためでしょう。特に朝ラッシュ(通勤特急も設定があるので朝も運行されるはず)では10両編成が廃止され(復活の見込みは無さそう)、さらに1両が定員84人減なので混雑は厳しいと思います。また、線路容量的に京阪線よりも本数が増やせないのが難点です(このせいかLC車説が濃厚だった)。比較的線形は良いのでデッキを中央に置いても問題無かったと思われます。

・同じところと異なるところ

 同じ点…定員、扉の数、2+1配置、座席設備(たぶん)

似たような大きさの車両で1人席を設けようとすると2+1は当然であり、係員を乗せて採算を取ろうと座席を増やそうとすれば定員は40が限界でしょうか(JR東のグリーン車のようにダブルデッカーにすれば増えるが乗降に時間がかかる、あの中央東線でやるらしいが)。ちなみにJRのAシートは車両が大きいので話が違う。名前からしてバックシェルは付いていてほしい(願望)。

  違う点…扉位置、扉の窓の形、窓割り、客室仕切り、色合い

扉位置は先述の通り、扉の窓の形がプレミアムカーは半円に対して四角なのは却って意識した感じもします。デッキと客室を仕切る扉はやはり必要ないと思われたのだと考えられます(乗降時間と個室感を天秤にかけたら)。しかし、窓が列ごとなのと仕切りが壁なのは個室のイメージでしょうか。プレミアムカーは窓割りは2列ごと(8000系は改造の為合っていない部分もある)、仕切りは暗いガラスに雲柄の模様入りで観光客もとらえようとしています。完全に隠れていない仕切りは衝立のような和の感じがしますね。逆にプライベースの壁は街並みを意識したように思います。

↑8000系 片開き


↑3000系 両開き 半透明の仕切りです

内装の色はプレミアムカーが白と黒のモノトーンを基調(8000系の方が若干白の割合が多い)、プライベースは茶と緑が基調で阪急らしい色合いです。外装の色はどちらもほぼ一色で金色の飾り帯がありますが、プレミアムカーの方が派手(特に扉付近)です。一般車の塗装が違うので比較しにくいですが、京阪は一般車が2色刷りの真ん中に帯で、プレミアムカーは上の色に金帯が太い線が窓下、上に細い線が引いてあり、扉付近は金色の市松模様です。対して、阪急は一般車が茶色(マルーン、栗色)に天井付近が白(アイボリー、象牙色)で(2300系では白の部分が減りましたが)、プライベースはこれの窓下に金色の線が入った程度の違いです(むしろ窓の方が違いがわかりやすい)。この外観の違いの無さも扉を中央にした理由の一つかもしれません(適当)



前回の15度ごとの三角比の表に続いて、三角比の対称性についてまとめました。

前回の全周ぶんの表を見ながら対称性を確認してみましょう。

 

 

〇〇対称の角(例えばy軸対称がπ-θ)がどのようにして求められるかはあまり説明されずに覚えさせられたのではないでしょうか?原理としては、対称の中心(軸)がある点とその対称の点とのちょうど中間に位置する式を求めたい角について整理したものです。対称軸とx軸正の向きとのなす角は、x軸は0、y軸は90°(π/2)、y=xは45°(π/4)なので、ある角をθとすると、対称の角はそれぞれ-θ、π-θ(180°-θ)、π/2-θ(90°-θ)と書けます。原点対称については対称軸をθ+π/2(θ+90°)とできるので、求める角はθ+π(1周右回りしてθ-π)になります。

 

x軸対称はそれぞれの函数が偶函数か奇函数かについてです。公式の符号を変えるときに使います。ほかには星芒形(アステロイド)などのスピログラフで描くような図形の座標でよく出てきます(歯車の回転では逆回転も良く出てきます)。

y軸対称は三角形の2つの角の和が180度からもう一つの角を引いた形になるのでその時に使えます。

yx対称は積分などで結果を覚えるのが楽になります(sinの式の積分からcosの式のを導けます)。

原点対称はあまり使わないと思います。

その他は正弦波の微積分が90度の位相変化に対応するのを電気回路でよく使います。

右は図と象限についての説明と加法定理から導くことができることを書いています。

 
次回は加法定理などについて扱います。

2日に1回ぐらいはやってた感じでした。宝箱を開けた回数は出てこないみたいです。


投稿者はUSB-CのiPadmini6とLightningのiPhoneSE2を使っています。別にApple信者ではないですのでLightning端子を擁護する気はないです。

今までは100均の二股ケーブル(Lightningとその他の機器用に使うmicro-B)に100均のtype-Aの延長ケーブルを繋げたものとPadmini6用のC-Cケーブルを使っていました。100均のLightningは上下が決まっているので不便でした(100均のでないの買えよと思いますが、端子がむき出しなせいかすぐ錆びるんですよね...)。

そこで見つけたのが磁石式の充電端子です。

利点は

・簡単にくっつけられる(手元が暗い寝室などは特に)

・簡単に外せる

・ケーブルに引っかかった時など無理な力がかかった際は磁石部分が外れるので、ケーブルやコンセント等の接続部分、引っかけたものを守れる。

・機器側の端子が小さいので、変換コネクタと違い機器側につけていられる。

・異なる端子と繋げる時は変換器を付け外しをしなくて良い。

・機器側の端子は抜き差ししないので摩耗から守れる。

欠点は

・簡単に外れるため、鞄の中などでは勝手に外れることが多い。

・磁石式にも種類があり、基本的に互換性はない。

そのため生産終了になると全取り替えが必要になる(Type-Cもいつまで続くか分からないが)。

物によっては

・磁石で鉄片を吸い寄せて端子を短絡させる可能性があるが、電気的接種をする部分がむき出しになっていない物は寧ろ磁石の方に吸い寄せられるので端子には接触しにくい。

という感じのものです。


磁石式といっても種類が多いです。

・電力

・通信速度(出来ないのもある)

・ケーブル一体型か端子だけか

これらは普通のケーブルでも同じです。

・丸型か楕円型か

丸型だと向きも気にせずくっつけられ、回転するので外れにくいです(ケーブル側で回転する物でも良さそうです)。楕円型は端子小さくしやすく見栄えも良いことが多いです。

・電気端子と磁石との位置関係

電気端子が入り組んだところにあると安全ですが多少繋げにくくなります。


ということで投稿者が買ったのが


 です。

それぞれ機器側、ケーブル側1つずつです。120W、480Mbps対応ですが、Lightning自体の都合により100WケーブルではLightning機器を充電できない(Type-Cはできる)ので注意が必要です(65Wケーブルまで)。

ただ外れやすいのでデータ通信には注意が必要ですね…


機器側の端子です。左がLightning、右がType-C



ケーブル側は共通(当然)で、


このようにL字型で通電部分が内側にあります。(機器側端子に保護回路も付いているので安全ですね^_^)

iPadmini6につけてみた写真です


カバーを付けているので見た目があれですがカバーを外すと磁石のシルバーが合っていると思います。あと便利なのは磁石のところに側面がくっつくので、使わない時のケーブルの置き場にも迷わないと思います。


三角比(sincostansec)の15°ごとに全周ぶんの表を中心に、

三角比についたまとめたプリントを作りました。

 

まず、メインの三角比(sincostansec)の15°ごとに全周ぶんの表については、

・よく見かける表での15°と75°の値がなく間隔が揃っていないのを解決しました。

・座標における単位円との対応をとるために、右に0°、左に180°と左右逆にしました。

・下半分は負角(逆回転)の値を付けました。こちらも単位円との対応をとりました。

・ラジアン表記(約分した形と12分の○の形)の角度も表記しました。12は約数が多いので、足し算引き算での通分の手間と計算間違いが多いのでつけておきました。

・180°から360°と-180°から0°を併記しました。定義域の違いによる変換をしやすくしました。

・そこそこ使える正割(sec)の値も付けました。

・15°いくつ分の差かを考えながらやると計算しやすいかと思います。

それ以外の部分では、

・右側には五角形関連で出てくる18°ごと(18°,36°,54°,72°)のsincosの値を付けました。

・その下にはラジアンについての説明とラジアンの概数表記を付けました。

・表の下に三角比の値がどのくらいかを小数第4位まで書きました。

・その右には、三角比についての説明と2乗するときの書き方をつけました。

・一番下は相互変換公式と単位円を使った幾何的な説明の図を付けました。

 

おまけ

概数の計算は関数電卓を使いました。

こんな感じにsin15°の値を手書きと同じような形で表示してくれます。概数表示はS⇔Dのボタンでできます。

ほかにも素因数分解や定積分、連立方程式、2~4次方程式などを説いてくれたりと便利です。

 

 

次回は三角比の対称性について扱います。

 

三角関数や双曲線関数の逆関数の微分をまとめました。

sinxは主値の範囲(-π/2~π/2)では単調増加(-1→1)。

よってその微分はプラス

cosxは主値の範囲(0~π)では単調減少(1→-1)。

よってその微分はマイナス

tanxは値が出るところx≠n×(π/2)では単調増加。

 

sinh(x)は単調増加

cosh(x)={e^x+e^(-x)}/2は相加平均と相乗平均の関係より、

cosh(x)≧√{e^x・e^(-x)}=1である。よってCosh⁻¹xの定義域はx>1である。

cosh(x)の主値の範囲(x≧0)では単調増加。

tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)で|sinh(x)|<cosh(x)だから、-1<tanh(x)<1。

よって、Tanh⁻¹xの定義域は-1~1

 

・e^{ln(x)}=xである。なぜなら、ln(x)とはeを何乗したときにxになるかというものだからである。また、e^x>0より、ln(x)の定義域はx>0。

 

次回は三角関数と双曲線関数についてまとめようと思います。

 三角関数や双曲線関数の不定積分を計算できます。


デカルトの円定理(4つの円が互いに接する時の曲率(半径)の関係式)を

4円が互いに外接している時のみだが、座標と地道な等式変形だけで示してみる。

↓Twitter版

 

デカルトの円定理(外接のとき)

 (k₁+k₂+k₃+k₄)²=2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)

ただし、k₁, k₂, k₃, k₄は4つの円の曲率(半径の逆数)

 

証明

  4つの円の半径をr₁~r₄とする。 なるべく式が簡単になるように座標系を考えた結果、円1の中心を原点、円2の中心をx軸正の位置になるように固定する。よって円2の中心は(r₁+r₂, 0)になる。 次に円3を円1と円2に外接するように置く。円3の中心は円2のようにすぐに求まらないので、円3の中心をとりあえず(x₃, y₃)としてそれらの連立方程式を立てる。具体的には円1と3、円2と3が外接する式、半径の和と中心間の距離が等しいという式である。

  円1と円2の中心のy座標がともに0なので、2つの式を引くとx₃, y₃の2乗の項の他にもy₃の項も消え、x₃についての一次方程式になり簡単に解ける。これをどちらかの式(簡単な方、画像では円1と円3の式)に代入しy₃を得る。y₃は2乗しているので、y₃の値には±が付く。これは円3がx軸のどちら側かという意味である。

  今回は4つの円がともに外接している場合のみ考える(もう一つは3つの円が1つの円の中にある時、この時は結果の符号が変わる)。この時、円4も円3と同じく円1と円2に外接しているから、(x₃, y₃)と同様にして(x₄, y₄)が求まる。 

  最後に円3と円4が外接するので、それについての式を立てる。この式を変形していくと求めたい式が出てくる。円3と円4でx軸を挟むか否かで式の一部の符号が変わるが、両辺を2乗する(2回行う)ときに平方根と一緒に消えるのであまり気にしなくてよい。

  円3と円4が外接する式は、y座標の差の部分に根号が2つあり、その間の符号が複号(±)になっている。プラスの方が円3と円4がx軸の反対側にある時、マイナスの方が同じ側の時である。

  根号があるのでとりあえず両辺を2乗すると、(a±b)²=a²+b²±2abより、2つの根号は2乗されるのでそれぞれの中身が出てくるが、それらの積が出てくるので、根号および複号は残る。次に、分数だと煩わしいので両辺に分母(r₁+r₂)²を掛けて取り払う。 

  根号と複号が付く項が1つだけになり、分数でもなくなったのでもう一度両辺を2乗すると根号と複号が消えてくれるが、なるべく項を少なくしてから両辺を2乗する方が楽であるので、両辺に共通する項を消していく。共通する項を探す際にすべて展開してもよいが、両辺に2乗の形(中身も似ている)があるので、移項してa²-b²=(a+b)(a-b)の因数分解をするとエレガント。

  そうして残ったのが根号を含む項と含まない6つの項だが、6つの項を2乗すると36(同じのをまとめると21)項まで増殖するので、似たような項をまとめることで(因数分解)項を2つにする。

  左辺が綺麗になったところで漸く両辺を2乗すると、根号と複号が消えて項が4つになる。8次式になったが、目標が逆数の2乗なので両辺を10次式で割ることになる。r₁~r₄の4文字だから、4や8、12次式で割りたいところだがそうはいかない。そこで、よく観察すると、r₁とr₂については4次式だが、r₃とr₄については2次式である。さらに1と2、3と4は対称だが、それ以外の組み合わせは違う。

  ところで、4つの円に適当に番号を振っただけなので、r₁~r₄を互いに入れ替えても同じ式にならなければおかしい。 よって、r₁とr₂の2次式で割ることができると予想できる(そうするとr₁~r₄どの文字に対しても2次式になる)。

  どのような(2次)式で割れるか調べる方法として、因数定理を用いたものがある。これは、ある文字xにaを代入した時に式が0になった場合、その式は(x-a)で割り切れる(因数に持つ)というものである。

  実際にr₂=-r₁を代入すると項が全て消えるので、(r₁+r₂)を因数にもつことがわかる。ということで、(r₁+r₂)を外に出していく。

  (r₁+r₂)に注意して展開すると、(r₁+r₂)を含まない項はr₁²r₂²r₃²r₄²の項だけである。係数は左辺が2、右辺が4であるから、両辺から2つ引きたくなるが、(r₁+r₂)を作りたいので4つとも引いて(r₁⁴-2r₁²r₂²+r₂⁴) =(r₁²-r₂²)²=(r₁+r₂)²(r₁-r₂)²と変形すると(r₁+r₂)が出現する。

  (r₁+r₂)を括り出して割った式にもう一度r₂=-r₁を代入するとまた0になるのでさらに(r₁+r₂)で割ることができる。このとき、(r₁+r₂)を含まないのは最後の2項だが、共通因数でまとめると(r₁+r₂)²が現れる。これを(r₁+r₂)で割ると全ての文字について2次式の6次式になる。

  あとはどれに違和感があるかと言われると右辺の第1項なので、それを引くと左辺も上手く揃う。これをr₁²r₂²r₃²r₄²で割ると目標の形に近付く。実用面ではこの式の方が使いやすいのではないだろうか?(特に同じ半径の2円がある場合) ここからは、見やすくするために半径の逆数(曲率)で表記する。

  左辺の2乗の中の符号がマイナスなのでプラスに変えてから2つの2乗を結合する。そうすると右辺は2つの積(6通り)が4つずつになる。何か違う気しかしないが、ちゃんと変形できる。目標の式の右辺2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²)を足すと、右辺が因数分解できて、左辺と同じものが2つできる。両辺から1つずつ消すと完成。

 

次回は1つの円の中に3つの円が含まれる時についても導出していこうと思います。

 式変形が多いので間違いやすいと思います。その時は簡単な例であるr₁=r₂=r₃=1,r₄=2/√3 -1を代入してどこに誤りがあるかを探すと良いです。


2022年4月6日からSTEPNを始めてから15日くらいで招待コードが届いたので今更ながら貼っておきます。

使ったらコメントでお知らせいただくと嬉しいです。

招待コード:35384182、45924299

追記:1年半ぐらい見てなかったので、既に使ったコードを取り消していませんでした。スミマセン…新しいコードを貼っておきます。2023/12/28