例えば、このような漸化式を考えてみましょう。なおパソコンの表示環境上。第ｎ項をa(n)と書きます。
この場合に、特性方程式というのがあり、解ｘを求めて機械的に変形するテクニックが書かれております。
しかしそれでは、なぜそれで変形できるかということがわからない。
つまり、単に手続的な知識に頼っているということです。
そこでＵＢＱでは、このように教えております。
いま、数列というのを、ｎが自然数の値を取り、それに対して項が決まる関数と考えてみましょう。
そうすると、この漸化式を、ａ（ｎ）が決まれば ａ（n+1）の値が決まる関数と考えましょう。
そこで、これをグラフィックに示すために、ｙ＝４ｘ＋３という関数を考えましょう。
この関数を図示すると、a（1）が３のときにa（2）が
１５になるというのは、このｘ＝３に対応してｙが１５になると説明できます。
次に、１５をｘ座標にとるということについて、非常に便利のいい方法があります。
１５が出たときに、ｘ 座標にもう一度１５のところをとって、それを上にあげてｙ＝４ｘ＋３の直線にぶつけてｙ 軸の値を見れば６３になります。これをくりかえすことが「数列の帰納的定義」に他なりません。
しかし、こういう方法をいちいちやっていたら大変です。
そこで、ｙ＝ｘ というグラフを重ねて書きます。
そうすると、この１５の時に真横に行ってぶつかったところが１５になるので、それを上にあげていけば６３。
ということは、これを書いてみると、
というように、ｙ＝ｘ のグラフを書いて、その間を点線で描いたようにしていけば、項の値が出てきます。
そうすると、元の漸化式の邪魔な定数項を取って等比数列に変形するためには、ｙ＝４ｘ＋３を、原点を通るように平行移動しなければなりません。
もうこれまでの説明でお分かりかと思いますが、ａ（ｎ＋１）とａ（ｎ）のどちらも、
ｘとおいて特性方程式を立てるというのは、
ｙ＝ｘ との交点を求めて交点を原点に平行移動しているのです。y＝ｘ との連立方程式ですから、当然、ｘとｙの値は同じになります。
よく受験生が間違える特性方程式を解いた後の変形において、＋なのか－なのかということは、絶対に間違えるはずがありません。
どこの教科書や参考書にも載っている平行移動の公式
y-β＝ｆ（ｘ－α）
を使っているわけですから、変形が－（マイナス）なのは当然のことですね。
■次に、隣接３項間の特性方程式となると、ますます訳が分からなくなることが多いようです。
一般の参考書には次のような説明が書かれていますが、これではやはり、数学の本質がわからなくなってしまいます。
私は、特性方程式を使わずに、こういう変形によって指導しています。
以下のように変形をすれば、途中の変形の式を記憶に頼ることがないので、ひとりでに求めたい変形が出てきます。
つまり、こうすれば変形ができるということは、足して３（－３でも同じ）、かけて２（－２でも同じ）になる２つの数を探せばよいということになります。
したがって、そのことから特性方程式の説明ができるわけです。
注 ： 上記はブログの性質上、簡略な説明であり、図は必ずしも正確に書かれているわけではありません。
