さき「いよいよ、数学的に魔法陣をつくるんだね。ええと、N進数を使うんだっけ」
ひろじ「じゃあ、４×４の魔法陣で考えてみようか。一列に４マスあるから、四進数を使う。全部で１６マスだから、１〜１６の数字が入る。十進数なら０〜９の十種の文字、四進数なら０〜３の四種の文字で数字を考えるのが、本質的だから、ここでも、０〜１５の１６個の数字で考えよう。この場合、合計は３４じゃなく、１マスにつき１ずつ数が減るから、合計は３０になる」
さき「ええと、どうするのかな」
ひろじ「まず、０〜１５の数を、４進数に直しておこう。０から順に４進数に表すと・・・」
さき「ええと、この間教えてもらったようにすると、０、１、２、３までは同じで、４から先は、４が10（イチゼロ）、５が11（イチイチ）・・・」
ひろじ「そうだね。０〜３も、00〜03と書くことにすると、次のようになる」（※）
【１０進数】【４進数】【４進数→１０進数の変換】
【 １】 【01】 【0×10+1=1】
【 ２】 【02】 【0×10+2=2】
【 ３】 【03】 【0×10+3=3】
【 ４】 【10】 【1×4+0=4】
【 ５】 【11】 【1×4+1=5】
【 ６】 【12】 【1×4+2=6】
【 ７】 【13】 【1×4+3=7】
【 ８】 【20】 【2×4+0=8】
【 ９】 【21】 【2×4+1=9】
【１０】 【22】 【2×4+2=10】
【１１】 【23】 【2×4+3=11】
【１２】 【30】 【3×4+0=12】
【１３】 【31】 【3×4+1=13】
【１４】 【32】 【3×4+2=14】
【１５】 【33】 【3×4+3=15】
（※）スマホ用の表示だと上の数表が見づらかったので、修正しました。
さき「うん、これなら、わかる」
ひろじ「たとえば４進数の32なら、２桁目（4の位）の数が3で、１桁目（1の位）の数が2という見方をする」
さき「じゃあ、１６だったら、どうあらわすの？ 33の次は・・・あっ、桁上りだ」
ひろじ「そう。１６は100となる。３桁目（4^2の位）が1で、２桁目と１桁目が0」（4^2は４の２乗という意味の記号）だよ。でも、この魔方陣では１６以上の数はでてこないから、今回はこのくらいにしておこう」
さき「それで、０〜１５を４進数で表してから、どうするの？」
ひろじ「４進数で表した０〜１５、つまり、00〜33の１６個の数を、空白の４×４の表にあるルールに基づいて配置するんだ」
さき「あるルールって？」
ひろじ「合計して同じ数になるようにするのがルールだけど、それだと抽象的だね。一番簡単なケースを紹介しよう。列ごと、あるいは行ごとに、４進数の１桁目、２桁目それぞれ、０〜３の４つの数字を重複しないように配置すればいい。そうすれば、列ごと、行ごとの数字の合計は0+1+2+3=6で、おなじになるからね。でも、これはこれでなかなか難しいパズルになるから、もう少し楽な方法を取ろう。１桁目も２桁目も合計が６になれば、４つの文字を重複しないように配置したときと同じ合計になる。数字がダブってもいいから、各列、各行の１桁目、２桁目の和がそれぞれ６になるように数字を配置してみよう。実際に作ったものを見てもらったほうが早いから、完成品を見てもらおう」（＊）
さき「１列目は、１桁目が0、3、3、0で合計6、２桁目が0、2、1、3で合計6。２列めは、１桁目が2、1、1、2で合計6、2桁目が3、1、2、0で合計6。ホントだ。一行目も桁ごとの合計が6と6で同じだね。あっ、そうそう、斜めはどうかな・・・これも、6と6だ」
ひろじ「これを十進数に戻すと、こうなるね」
ひろじ「縦も横も斜めも、みんな合計が３０になってるだろ」
さき「あーっ、ホントだ」
ひろじ「念のため、列、行、斜めの合計を取っておこう」
さき「上の表の計３０はわかるけど、下の４進数表の6/6って、何だっけ？」
ひろじ「さっき、さきが計算したじゃないか。４進数の２桁目と１桁目の数字の和だよ。どの列もどの行も、斜めも、みんな、それぞれ６と６になっている」
さき「あっ、そうか！」
ひろじ「４進数を使うために０から始めたから、１から始まる魔法陣にするには、十進数の魔法陣の表全てに１を足せばいい。そうすると、合計も４増えて３４になり・・・」
さき「これ、最初に見た魔法陣だ！」
ひろじ「うん、同じものができるね。でも、今度のやり方だと、前回教えた古典的なやり方と違って、列ごと、行ごとに、０〜３の数字が重複しなければいいから、数字を入れる自由度が高いよ。もっと別の数字の配列にした魔法陣が、いくらでもできる」
さき「うん、たぶん、やれると思う」
ひろじ「宿題の魔法陣も４進数で表して見てみようか？ このルールに従っているはずだよ」
さき「うん、これだね？」
ひろじ「このままだと１から始まっているから、４進数で表すために、どれも数字を１減らして・・・それを４進数にすると・・・」
さき「あれ？ 列と行は合計が全部6/6になっているけど、斜めが違うよ。5/10と7/2だから、これはまずいんじゃない？」
ひろじ「一見、合計が違うように見えるけど、これでいいんだ。6/6とか7/2というのは、４進数の和を２桁目と１桁目の数それぞれの和で示した便宜上のものだからね。これを十進数に直すと、次のようになる」
6/6=6×4+6×1=30
7/2=7×4+2×1=30
5/10=5×4+10×1=30
さき「同じになってる！」
ひろじ「最初に４進数での魔法陣の作り方を教えた時、＜一番簡単な方法＞として、列、行ごとに０〜３の４つの数字を重複しないように配置する方法を教えた。でも、魔法陣は縦、横、斜めの和が同じならいいので、０〜３の４つの数字を１つずつ使わなくても、例えば合計が6/6になるように配置すればいいんだ。斜めが6/6にならなくても、（２桁目の数×４）+（１桁目の数×１）が同じ値になればいい。これが２番めに簡単なやり方になるかな。このやり方は最初のやり方より難しくなるけど、４進数として合計を取ることで、見通しが立てやすくなるんだ」
さき「なんだか、すごいね」
ひろじ「うん。さきがいっていたように、魔法陣を理屈も含めてきちんと理解しようとすると、N進数を使って考えざるをえない。N進数は高校生以上の数学で習う概念だから、一般の小中学生には難しいかな」
さき「そうだね」
ひろじ「でも、１９世紀には中学生のときに数学の論文を書いたウィリアム・トムソンみたいな人がいた。そのくらいの年令で大学にいってるからね。これは小学生向け、これは高校生向き、なんて仕分けは、個人個人が問題に当たる場合は関係ないんじゃないかな。興味を持てることがあったら、そういう世の中の＜常識＞を超えて挑めばいいと思うよ。理系にこだわった話じゃないけどね。さきだって、もうクトルフTRPGのキーパーやってるじゃん」
さき「あ〜、それはそうだけどね」
ひろじ「本当は、魔法陣のことは数学者の人に本格的に解明してもらいたいよ。お父さんのなんちゃって数学じゃなくてね。もっとも、お父さんが知らないだけで、専門の人はもう、解決しちゃってるかもしれないけど」
さき「なんだか、夏休みの宿題やってただけなのに、とんでもないことになっちゃったね」
ひろじ「本当にね。どうして小学校中学校で魔法陣なんか扱うんだろう・・・」
【追記】
（＊）４進数を使って最初の例をつくるときの説明文で、重要な箇所が抜けていたので、補足しました。
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