毎回、自然科学のテーマを扱う「ミオくんと科探隊」、今回はさきの夏休み宿題編。ひろじとさきによる、「ミオくんと科探隊」数学・特別編、その第１回です。
さき「ねえねえ、夏休みの数学の宿題に、魔法陣があるの。小学校でもやったんだけど。これ、どうやって解くのかなあ」
ひろじ「ちょっと見せて。へえ、今は小学校で魔法陣とか教えるんだ。お父さんが子供の頃は、学校では教えてもらえなかったよ。お父さんも、小学生のとき、子供向けの学習雑誌で見た。たしか、小学校５年か６年のときに自分で書いていたメモ帳に、魔法陣の作り方を記録しておいたはずだ」
さき「？・・・小学校で習ったのとは、違うよ。こんなふうに、なんもないところから作るんじゃなくて、何箇所か数字が書いてあって、残りを自分で考えて埋めるっていう」
ひろじ「それはそれで、頭の体操になって、いいんじゃないかな。『数の歴史』（＊１）によると、１５１４年デューラーの絵に４×４の魔法陣が描かれている」
（＊１）『数の歴史』ドゥニ・ゲージ著藤原正彦監修（創元社）
ひろじ「これとはちょうど上下を逆にしたものだけど、同じ魔法陣だよ。魔法陣の中に、絵を描いた年の年号＜1514＞が隠されている」
さき「たて、よこ、ななめ・・・どれも、足すと、ホントに同じ数になるね。この魔方陣は、どうやって作ったの？」
ひろじ「小学生の時に作り方を覚えたっていっただろ。じゃあ、ちょっと教えてあげようか」
ひろじ「たとえば、いきなりこういう３×３の魔法陣を、１〜９の数字で作れっていわれたら、どうする？」
さき「うーん・・・ヒントの数字とか、書いてくれないの？ 小学校の時見たのは、いくつか、数字が書いてあったよ」
ひろじ「まあ、それも頭の体操としてはおもしろいけどね。ここでは、まっさらな状態から、魔法陣をつくるやり方を見ていこう」
さき「そんなやり方、あるのかなあ」
ひろじ「今から教えるのは、さっきいった通り、お父さんが小学５〜６年生のときに、なんかの雑誌の記事で読んだやり方だよ。昔から伝えられている、いわば古典的なやり方だ。一度覚えれば簡単だけど、欠点が２つある」
さき「欠点って、何？」
ひろじ「１つめは、奇数の魔法陣と、偶数の魔法陣で、基本的なやり方が違うということ。だから、二通りのやり方を覚えないといけない」
さき「そうなの？」
ひろじ「具体的に３×３のときと４×４の魔法陣を比べれば、すぐにわかるよ」
さき「２つめの欠点は？」
ひろじ「そのやり方を行うと、どうして魔法陣になるか、という数学的な理論が見えてこない。これは探究心のある人には耐えられないだろう。魔法陣は数学的なものだから、数学理論が背景にあるはずだ」
さき「魔法陣の理論があるの？」
ひろじ「それはどこかにあるさ。そっちは、第２回で扱うことにするよ。じゃあ、さっそく、古典的なやり方を見てみようか」
さき「うんうん、はやく教えて！」
ひろじ「じゃあ、下の図を見て」
さき「なにこれ。はみ出してる〜！」
ひろじ「この図のように、魔法陣の四角枠の外側に十字形にマスを追加して、数字を順に、斜めに入れていくんだ」
さき「じゃあ、わたしもやってみる・・・１、２、３・・・と・・・」
ひろじ「そしたら、四角枠の外にはみ出した数を、反対側の空欄に書き込むんだ」
さき「ああ、こういうことか。オッケー」
ひろじ「３×３の魔法陣は、解答が１通りしかないのが、残念かな。まあ、この表の数字を上下や左右対称に移動させれば、一見違った魔法陣になるけど、数学的には同じものだからね」
さき「じゃあ、覚えちゃえばいいのかな」
ひろじ「それじゃあ、つまんないと思うけど。でも、３×３の魔法陣は有名で、昔から暗記する呪文があるよ。ぼくが教えてもらったのは＜憎しと思えば七五三、六一坊主に蜂が刺す＞というやつ。この暗記呪文は、いろんなバージョンがあるみたいだよ。でも、六一坊主ってなんだか、今でもよくわかんないなあ」
さき「ええと、＜憎し＞が294で、＜七五三＞はそのまま753、＜六一坊主に蜂＞が618ってことね。なんか、オヤジギャグよりひどいよ。意味分かんないし。はみ出した十字架で書くほうが、まだなんとなく、わかる」
ひろじ「ほう、どういうふうに？」
さき「一番小さな数1は、表の中で大きな数の組8と6の間に入るでしょ。一番大きい数9は、表の中で小さな数の組2と4の間に入るよね。つまり、大きな数に小さな数を足すようにすれば、全部の合計の数が似たような大きさになるんじゃない？」
ひろじ「なかなか、的を射た考えだね。理論的なことがうっすらでもわかってきたのなら、今度は５×５の魔法陣をやってみようか？」
さき「わあーっ、これはおっきいな〜！ こんなのも、魔法陣、作れるの？」
ひろじ「外側に十字のマスを追加する。今度は、５マスあるから、３マスのときより、複雑な絵になるけどね」
さき「あ、でも、３マスのときとよく似てる。この後、外側にはみ出た数字を、遠い側の空白に埋めるの？」
ひろじ「うん、そうだよ。やってみる？」
さき「ちょっと待って。もう始めているから・・・枠の外の数字を、向こう側の空きマスに入れて・・・」
さき「あっ、わりと簡単にできた」
ひろじ「正解だね。５×５の魔法陣の場合は、正解は何通りもあるよ」
さき「このやり方なら、７×７でもやれそう」
ひろじ「じゃあ、次はいよいよ、偶数の魔法陣を見てみようか。４×４の魔法陣」
ひろじ「これを見ればすぐにわかるけど、奇数の魔法陣のときの、外側に十字のマスを追加する、というのができない」
さき「あ、ホントだ」
ひろじ「偶数のときは、まず普通に数字を順番に描き込んでから、特定の対象的な場所のマスの数字を入れ替えるやり方を使うんだ。下の図の最初の図を見て。小さい数字で書いてあるマスは魔法陣の中心点のこっち側とあっち側で対称になっている。その数字を、入れ替えるんだ」
さき「赤字の数字が入れ替えたやつね。これを足してみると・・・あっ、どれも合計が３４になってる。斜めのもそう」
ひろじ「どう？ わりと簡単だろ」
さき「６×６も同じ？」
ひろじ「それは、さきが自分でやってみて」
さき「うーん・・・でも・・・」
ひろじ「どうしたの？」
さき「夏休みの数学の宿題の魔法陣、これと違うなあ・・・」
ひろじ「へえ、見せてごらん・・・あっ、本当だ。これは、さっき教えた古典的なやり方では解けない魔法陣だね」
さき「そうなの？」
ひろじ「さっきのやり方だと、１〜５みたいな小さい数字は、表全体にバランス良く広げるんだけど、この魔方陣は、１〜５が表の左下の方に固まっているだろ？」
さき「うん」
ひろじ「それにしても、今の中学校は、こういうのが数学の宿題で出るんだ」
き「魔法陣は、小学校の算数でもやったよ」
ひろじ「なるほど、それはそれで面白いな。まあ、頭の体操の、パズルみたいな問題という扱いだろうけど。合計して３４になることから、空白に入れる数字を予想して入れていくんだろう」
さき「予想の仕方ってあるの？」
ひろじ「たとえば、一番左の列には１と２があって、残り２つが空マスだね。１〜１６の数字の中で、もっとも小さい数１と２が使われているから、空マスにはもっとも大きい数の１６と１５を入れないと、他の列と合計値のバランスが取れないでしょ？」
さき「そうだね。１＋２＋１５＋１６＝３４だから、合計が３４になるし。でも、１５と１６、どっちをどの空マスに入れるか、わからない」
ひろじ「それは頭の体操になる。とりあえず、どっちかを入れてみて。他の列も同じようにして入れていって、どこかで合計が３４にならないところが出たら、そのとき、数字の場所を入れ替えればいい」
さき「じゃあ、つぎは３と４が入っている列だね。１と２の次に小さい数だから、１６と１５の次に大きい数を入れてみようかな。そうすると、１４と１３だから・・・３＋４＋１３＋１４は・・・３４だ！」
ひろじ「そうだね」
さき「これも１３と１４、どっちをどっちに入れたらいいのかわかんないから、適当に入れるね。次は・・・横の行。これはどうやって数字を選ぶのかな」
ひろじ「やっぱり、合計が３４になる組み合わせで数字を選ぶんだ。もう、残りの数字が６〜１２までの７つしかないから、合計して３４になる組み合わせは限られてくる。試しに適当な数を選んで、残りの空マスに入れてごらん」
さき「縦横はぜんぶ合計３４になったけど・・・斜めの合計が３４にならない・・・」
ひろじ「じゃあ、最初の１５、１６や次の１３、１４の位置が逆だったんだね。斜めの数が３４になるように、これらの数字を入れ替えて、他のマスもそれに合わせて数字を入れ直してみて」
さき「・・・できた！ 斜めの合計も３４になったよ！」
さき「えっへん！」
ひろじ「お見事！」
さき「でも、なんだか、すっきりしないな。いきあたりばったりみたいな感じで」
ひろじ「そうなると、あとは数学的なやり方で、魔法陣を根本から見直すしかないよ」
さき「そんなやり方、あるの？」
ひろじ「うん。大学の頃、魔法陣の数学的な仕組みを考えたことがある。そこそこ使えるやり方だから、それを教えてあげようか。でも、それには、三進数とか四進数とか、別のタイプの数字の仕組みを使わないといけないんだよね」
さき「なに、それ？」
ひろじ「ぼくたちが普通に使っている数字は、人間の両手の指の本数が１０本あることが元になっていて、１〜１０までの数を基本にしているよね。１１から先は１０＋１、１０＋２・・・というふうに、１〜１０の数字の組み合わせで表している。これが十進法で、この方法で扱う数を十進数という」
さき「そっか、じゅういち、じゅうに・・・っていうもんね」
ひろじ「英語でも１３はthirteen、１４はfourteen・・・っていうだろ。あれはthree+ten、four+tenで、じゅうさん、じゅうしと同じ作り方になっている」
さき「でも、１１と１２はぜんぜん違うよ」
ひろじ「それはお父さんにとっても、すごく長い間の謎だったんだけど、もう解けたから、そっちの記事を読んでみて」（＊２）
さき「うん、あとで絶対読む！」
ひろじ「内容的には１から１０の１０個の数の組み合わせですべての数字を表すのが十進法だけど、記号的には０から９の１０個の数字記号の組み合わせになる。だから、十進法を数学的に考える時は１〜１０じゃなく、０〜９を使って考えるんだ」
さき「あ、そうか。それなら、１０個の数が全部ちがう記号になるね。１０だと、１と０の組み合わせになっているもん」
ひろじ「その通りだ。だから０、１、２・・・９となって、次の数十は、記号が繰り上がって０と１で１０と書く。ここからがいわゆる２桁の数だ。十進法だと、数字の桁が繰り上がるまで、１０個の数字が使われることになる」
さき「それ、当たり前だと思ってた。人間の指が１０本だったから、今みたいな数字を使っているのね」
ひろじ「じゃあ、たとえば、人間の指が２本しかなかったら、どうなっていたと思う？」
さき「ええと、１と２だけだから・・・あれ？ ３はどうなるのかな」
ひろじ「使える記号は０と１の２つだけになるから、２を表す数は桁が繰り上がって・・・」
さき「あっ、わかった！ １０（イチゼロ）だ！ これが２ね！」
ひろじ「そう。そのあと、１１（イチイチ）、１００（イチゼロゼロ）、１０１（イチゼロイチ）・・・と続いていく。十進法の３、４、５に当たる数だね」
さき「本当に、２種類の記号しか使わないんだね」
ひろじ「そう、これが二進法だ。０と１の組み合わせで表した数字が二進数だよ」
さき「三進数だと、０と１と３の３つ？」
ひろじ「その通り。すこしわかってきたかな。」
さき「だいたい。でも、それが魔法陣と、どう関係するの？」
ひろじ「それは、次回までの、お楽しみ、ということで。数学では、二進数とか三進数とかをまとめて、N進数とか呼ぶらしい。次回は、N進数をうまく使って、より数学的な魔法陣の扱いを見てみよう。次回になれば、N進数と魔法陣がどんな関係になっているか、わかるよ」
さき「待ちきれないなあ・・・」
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