出産のため7月から県外に里帰り中です。
8月に夫の転勤でまた違う県に住民票が移り、その後出産予定です。

里帰り中の引っ越しについてはググっていくつか出てきたけど、自分の備忘と参考までに書いてみます。

1. 妊婦健診助成券
基本的には後払いで助成が受けられます。
まず私の場合、
7月までは前の住所(以降Aとする)の保健センターからもらった助成券を里帰り県の病院に都度渡して、検診のたびに病院側から検診の内容に対応する券の指定を受けます。券の指定は後日、A市に請求するための情報であって、検診自体は自費で一旦全額払います。
Aに対しては使った助成券の内容と病院からもらう領収書を郵送で提出します。後日口座振込で助成費用分が戻ってくる仕組みです。

8月に住民票が新しい県(以降Bとする)に移ったあとの検診費用助成はAに請求できません。
しかしBには請求できます。
B側には、出産後半年以内に、母子手帳のコピーに里帰り出産の病院でもらう領収書・明細書を添えて提出します。そうすると8月の住民票移動後に検診で払った金額から幾分か、負担してもらえます。

大体上記の情報はそれぞれの市区町村のホームページに載ってますが、特にB側ではAで貰っている助成券の残りと母子手帳をBに提出して新しい助成券をもらってくださいとか、
里帰り中に異動先の県に出向くとか普通できないでしょ‥
って思う内容が書いてあることが多いので、実際はBには事前に出向かなくても後から助成してもらえることがある、とわかりました。

ちなみに里帰り前にAには事前に出向いて状況を説明し、償還払(助成の後払いのこと)について説明を受けて必要書類を貰ってきています。

いずれにせよケースバイケースだと思われ、異動先と異動前のそれぞれの市区町村に事前の問い合わせが必要です。

2. 新生児訪問
通常里帰り期間は出産後1ヶ月以上だと思われますが、出産後1ヶ月を目安に、市区町村は新生児訪問というのを行います。
住民票がある市区町村の担当保健師が訪問しますので、里帰り中はこれが受けられません。
しかし大抵の市区町村では、県外から来ている里帰り中の妊産婦と赤ちゃんを対象に新生児訪問をしてくれます。

手続き方法はそれぞれの市区町村で異なるかと思いますが、私の場合は以下の方法でした。

Bで、住民票に出生届の内容が反映されたことがわかった後、Bから里帰り先(以降Cとする)に対して新生児訪問の依頼書が送付される。
CではBからの依頼書を基に新生児訪問を実施。

この場合にも事前に、若しくは赤ちゃんの出生後間もなくC及びBにそれぞれ問い合わせをして、どういう方法で実施してもらえるか聞きます。上記は私の場合であって、ケースバイケースです。

3. 予防接種
大体生まれて3ヶ月目から予防接種が始まります。それまでにBへ赤ちゃんと一緒に移動して生活をスタートしていれば特に問題なくBで予防接種を受ければいいですが、予防接種は事前にスケジュールを調べて予約をしたりすることが必要な場合もあり、
そもそもそのスケジュールを入手しなければなりません。
里帰り期間が延びるなら、里帰り先で予防接種を受けることも検討しないといけません。

私の場合、里帰りは出産後3カ月以内の予定ですが、そうするとBでの予防接種が受けられるかどうか微妙でした。Bでは出生届をBに提出すると、同時に予防接種のスケジュールを渡してくれるそうですが、出生届も里帰り先で提出する場合にはそのスケジュールも貰えません。
Bからは、住民票に出生届の内容が反映されたことを確認して、里帰り先の住所に予防接種のスケジュールを送りますと提案を受けました。
有難い‥!

なお、里帰り先で予防接種を受けた場合に全額自己負担ですが、住民票のある市区町村側では後日助成費用で多少賄ってくれる制度を設けているところもあります。

上記それぞれ、どの市区町村かで対応は異なると思うので、面倒ですが電話したり出向いたりして情報を集めてみてください。