中学入試算数の計算問題　東大寺学園中学校２０２１年算数第１問（１）

　次の□にあてはまる数を答えなさい。

　（２１×２１－１９×１９）÷（１＋４/（４３×４７））－２０÷（１＋□/（４１×４９））＝２１×２１－（２０×２０×２０＋１）/２１

 

一見すると厄介そうな計算問題ですが、それぞれの掛け算は暗算で計算できる（連続する平方数の差に持ち込む計算手法、〇△×〇□（〇＋□＝１０）の計算手法（小学生でも解ける数学オリンピックの問題（日本数学オリンピック２０１１年予選第５問）の解答・解説を参照））ものばかりなので、実際にはそれほど面倒な計算はありません。

解説では、途中で消去算の手法を使うことによって、計算を楽にし、逆数に持ち込んで処理しています。

因みに、最難関中学校では、消去算の手法が使える計算問題がよく出されます（開成中学校２０２２年算数第１問（１）、灘中学校２０２２年算数１日目第１問など）。

因みに、上で言及した「連続する平方数の差に持ち込む計算手法」というのは、☆×☆と（☆＋１）×（☆＋１）の差が☆＋（☆＋１）となること（このことは下のような面積図をイメージすればすぐにわかります）を利用するものです。

　　

例えば、９９×９９であれば、１００×１００－（１００＋９９）＝９８０１とできますし、３１×３１であれば、３０×３０＋（３０＋３１）＝９６１とできますし、４６×４６であれば、４５×４５＋（４５＋４６）＝２１１６とできます（最後の計算は、４５×４５＝２０２５を利用しています）。

詳しくは、東大寺学園中学校２０２１年算数第１問（１）の解答・解説で。

　中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について

　中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

数の性質（余りの周期性）の問題　灘中学校２０２２年算数１日目第４問

　２を１０個かけてできる数２×２×２×２×２×２×２×２×２×２を１７で割った余りは[①　]です。また、２を２０２２個かけてできる数２×……×２を１７で割った余りは[②　]です。

 

高校で習う合同式の問題をそのまま出しましたという感じの問題です。

灘中では、近年この種の問題が頻繁に出されています。

この問題ですが、前半の問題は不要でしょう。

灘中受験生であれば、２の１０乗が１０２４となることを当然知っているので、１０２４を１７で割った余りを求めてしまって、却って後半の問題の解法が見えなくなりかねませんからね。

後半の問題ですが、灘中受験生の場合、負の数の計算をできる子が結構いるので、負の数の計算を使って素早く解く方法をまず紹介しています。

負の数の計算ができない子は若干計算が面倒な解法になります。

詳しくは、灘中学校２０２２年算数１日目第４問の解答・解説で。

　中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について

　中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

 

 

 

数の性質（倍数と余り）の問題　桐朋中学校２０２３年第１回算数第６問

　ｘを１３以上１００以下の整数とします。ｘを８で割ったときの余りをa、ｘを９で割ったときの余りをb、ｘを１２で割ったときの余りをcとします。ただし、割り切れるときは余りを０とします。

（１）ｘ＝２１のとき、a、b、cの値を求めなさい。

（２）a、b、cの値が、ｘ＝２１のときとすべて同じになるようなｘの値のうち、２１でないものを求めなさい。

（３）a、b、cの値の和が３となるｘの値は２つあります。これらのｘの値を書きなさい。

 

（１）は計算問題にすぎません。

（２）は（１）を利用すれば簡単に解けます。

問題となるのは（３）ですが、まともに取り組むと面倒なので、ｘの値が２つあると問題文に明記されていることを考慮し、２つしかない答えを見つけたらいいでしょという感じで解いています。

実際、（２）を解くプロセスを利用すれば、答えの１つはすぐに見つけられるので、もう１つを見つけるための作業をするだけです。

作業の際、割り切れない数より割り切れる数のほうが扱いやすいということに着眼し、作業の順番を決めています。

詳しくは、下記ページで。

　桐朋中学校２０２３年第１回算数第６問（問題）

　桐朋中学校２０２３年第１回算数第６問（解答・解説） 

 

　中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について

　中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

 

 

 

 

 

小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック２００７年第３問

　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００７年の問題

 

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００７年第３問を取り上げ、解説します。

正のというのは、０より大きいということです。
また、有理数というのは、整数/整数と表される数のことです。小学生の場合、単に分数（整数となるものも含みます）と考えればいいでしょう。
中学入試でも同じような問題（神戸女学院中学部１９９８年算数２日目第３問）が出されているので、小学生でも解けるでしょう。
　５/７＜ｍ/ｎ＜３/４
５/７と３/４は１に近いので、それぞれの分数を１から引いた数で考えます（同じような考え方は既約分数の難問？（早稲田中学校、慶應義塾高校、横浜市立大学の入試問題）でも用いています）。
　１－３/４＜１－ｍ/ｎ＜１－５/７
　１/４＜（ｎ－ｍ）/ｎ＜２/７
　１/４×ｎ＜ｎ－ｍ＜２/７×ｎ
ｎ－ｍは整数（ただし、０より大）だから、１/４×ｎと２/７×ｎの間に整数が入る場合を考えます。
ｎ＝１からｎ＝２０までを調べつくします。
２/７×ｎが初めて１（７/７）を超えるのは、ｎが４のときですが、このとき、１/４×ｎが１となり、ｎ－ｍが存在しないので、ｎが１以上４以下となる場合はありえません。
２/７×ｎが初めて２（１４/７）を超えるのは、ｎが８のときですが、このとき、１/４×ｎが２となり、ｎ－ｍが存在しないので、ｎが５以上８以下となる場合はありえません。
２/７×ｎが初めて３（２１/７）を超えるのは、ｎが１１のときですが、このとき、１/４×ｎが１１/４＝２．・・・となり、ｎ－ｍが３となり、ｍが８となります。
ｎが１２のとき、１/４×ｎが３となりますが、２/７×ｎは４を超えないので、ｎ－ｍが存在せず、この場合はありえません。
２/７×ｎが初めて４（２８/７）を超えるのは、ｎが１５のときですが、このとき、１/４×ｎが１５/４＝３．・・・となり、ｎ－ｍが４となり、ｍが１１となります。
ｎが１６のとき、１/４×ｎが４となりますが、２/７×ｎは５を超えないので、ｎ－ｍが存在せず、この場合はありえません。
２/７×ｎが初めて５（３５/７）を超えるのは、ｎが１８のときですが、このとき、１/４×ｎが１８/４＝４．・・・となり、ｎ－ｍが５となり、ｍが１３となります。
ｎが１９のとき、１/４×ｎが１９/４＝４．・・・となり、ｎ－ｍが５となり、ｍが１４となります。
ｎが２０のとき、１/４×ｎが５となりますが、２/７×ｎは６を超えないので、ｎ－ｍが存在せず、この場合はありえません。
したがって、答えは８/１１、１１/１５、１３/１８、１４/１９となります。

 

　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策プロ家庭教師の生徒募集について

　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズＢＥＥ対策プロ家庭教師のお申込み・ご相談

 

 

 

 

平面図形（面積比）の問題　滝中学校２０２３年算数第１問（２）

　下の図のように、ＡＢ＝３cm、ＡＤ＝５cmの長方形ＡＢＣＤと、ＣＤ＝ＤＥの直角二等辺三角形ＣＤＥがあり、辺ＣＤがぴったり重なっています。ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、台形ＡＢＦＤと三角形ＣＥＦの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

　　　

 

ちょうちょ相似ではなく、ピラミッド相似を使った後、いわゆる等高図形の面積比をフル活用すれば簡単に解けます。

解くのに３０秒もかからないでしょう。

解説では、補助線を１本引く解法を採用しましたが、こちらでは、別解として、補助線を引かない解法を紹介します。

ただ、こちらの解法の方が若干計算が面倒で、時間がかかると思います。

三角形ＡＢＥと三角形ＤＦＥのピラミッド相似（相似比はＡＥ：ＤＥ＝（５＋３）：３＝８：３）に着目すると、ＡＢ：ＤＦ＝８：３となり、ＤＦ：ＦＣ＝３：（８－３）＝３：５となります。

また、三角形ＡＢＥと三角形ＤＦＥの面積比は（８×８）：（３×３）＝６４：９となります。

三角形ＤＦＥの面積を[９]とすると、台形ＡＢＦＤの面積は[６４]－[９]＝[５５]となります。

三角形ＤＦＥと三角形ＣＥＦは高さ（ＤＥ）が等しく、底辺の比がＤＦ：ＦＣ＝３：５だから、面積比も３：５となり、三角形ＣＥＦの面積は[９]×５/３＝[１５]となります。

したがって、台形ＡＢＦＤと三角形ＣＥＦの面積比は[５５]：[１５]＝１１：３となります。

詳しくは、滝中学校２０２３年算数第１問（２）の解答・解説で。

 

　中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について

　中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談