今回は、日本数学オリンピック２０１１年予選第５問を取り上げて解説します。
十の位を求めるのだから、下２桁だけ考えればいいですね。
１３×１７、２３×２７、３３×３７、・・・、９３×９７の下２桁を考えることになりますが、（参考）で説明した計算の工夫を利用すると、いずれの下２桁も２１となることがわかります（（参考）の計算が使えるからこそ、小さい順に２個ずつセットにして考えようとするわけです）。
結局、一の位が３または７であるものを小さい順に２個ずつセットにしてかけ算したものを最後にかけあわせてＸとすればよいから、２１をかけあわせたときの十の位の周期性の問題にすぎないことになります（同じような問題は、中学入試にも出されています（白陵中学校２００１年算数１次第４問、六甲学院中学校２０２３年Ａ算数第３問など））。
Ｘ＝（１３×１７）×（２３×２７）×（３３×３７）×・・・×（２００３×２００７）
→Ｘの十の位＝２１×２１×２１×・・・×２１の十の位
２１の個数は、４桁のデジタル表示（０００７～２００７）を利用すると、２０１個とすぐにわかりますね。
あとは２１をかけあわせたときの十の位の周期性をチェックしていくだけです。
２１
２１×２１＝４００＋２０＋２１＝４４１→４１
２１×２１×２１→４１×２１＝４２０＋４４１→６１
２１×２１×２１×２１→６１×２１＝８４０＋４４１→８１
２１×２１×２１×２１×２１→８１×２１＝１２６０＋４４１→０１
２１×２１×２１×２１×２１×２１→０１×２１＝２１
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となり、２１、４１、６１、８１、０１の５個の数字の繰り返しとなります。
２０１÷５＝４０・・・１だから、Ｘの下２桁の数は２１となり、十の位は２となります。
（参考）２桁の整数〇△×〇□（△＋□＝１０）の計算について
〇×（〇＋１）を百の位に配置し、△×□を下２桁に配置したものになります。
例えば、２３×２７であれば、２×３＝６、３×７＝２１より、６２１となり、５４×５６であれば、５×６＝３０、４×６＝２４より、３０２４となります。
面積図を考えて、このことを確認してみます。
紫色の長方形を黄色の長方形のところに移動させると、計算結果は、縦が〇×１０、横が（〇＋１）×１０の長方形の面積（〇×（〇＋１）×１００）と黄緑色の長方形の面積（△×□）の和となります。
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