下の図のように、ＡＢ＝３cm、ＡＤ＝５cmの長方形ＡＢＣＤと、ＣＤ＝ＤＥの直角二等辺三角形ＣＤＥがあり、辺ＣＤがぴったり重なっています。ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、台形ＡＢＦＤと三角形ＣＥＦの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
ちょうちょ相似ではなく、ピラミッド相似を使った後、いわゆる等高図形の面積比をフル活用すれば簡単に解けます。
解くのに３０秒もかからないでしょう。
解説では、補助線を１本引く解法を採用しましたが、こちらでは、別解として、補助線を引かない解法を紹介します。
ただ、こちらの解法の方が若干計算が面倒で、時間がかかると思います。
三角形ＡＢＥと三角形ＤＦＥのピラミッド相似（相似比はＡＥ：ＤＥ＝（５＋３）：３＝８：３）に着目すると、ＡＢ：ＤＦ＝８：３となり、ＤＦ：ＦＣ＝３：（８－３）＝３：５となります。
また、三角形ＡＢＥと三角形ＤＦＥの面積比は（８×８）：（３×３）＝６４：９となります。
三角形ＤＦＥの面積を[９]とすると、台形ＡＢＦＤの面積は[６４]－[９]＝[５５]となります。
三角形ＤＦＥと三角形ＣＥＦは高さ（ＤＥ）が等しく、底辺の比がＤＦ：ＦＣ＝３：５だから、面積比も３：５となり、三角形ＣＥＦの面積は[９]×５/３＝[１５]となります。
したがって、台形ＡＢＦＤと三角形ＣＥＦの面積比は[５５]：[１５]＝１１：３となります。
詳しくは、滝中学校２０２３年算数第１問（２）の解答・解説で。
