かつて中学でこの公式を教えていた頃は,理屈では説明できないにしても,球の表面積が４πr^2（４パイアールの２乗）になることは,次の野球ボールのたとえで説明してやれば「ナルホド」っと納得してくれたものです。
球の表面積公式 posted from フォト蔵
また,球の体積公式の方も,次のような納得法（＝説得法）がありました。
球の表面をできるだけちいさく区切って微小な領域に分けます。ｎ個の領域に分けられたとします。その小さく区切られた領域を底面にもち,頂点が球の中心であるようなｎ個の錐体を考えます。領域の分け方が細かければ細かいほど，これらの錐体の高さは球の半径ｒと同一視できます。（図が描きにくかったので,省略してしまいました。言っていることのイメージが湧きますでしょうか？）
すると,球の体積を求める問題は，ｎ個の錐体の体積を求める問題に置き換えられます。
いま,ｎ個の錐体の底面積をS1，S2，S3,・・・,Snと表すことにすると，
（球の体積V）
＝（ｎ個の錐体の体積）
＝（1/3）（S1）ｒ＋（1/3）（S2)ｒ＋（1/3）（S3)ｒ＋・・・＋（1/3）（Sｎ）ｒ
共通因数 1/3ｒ を括弧の外に追い出すと，
＝（1/3）ｒ（S1＋S2＋S3＋・・・＋Sn）
この（ ）の中は,球の表面を小分割した各領域S1，S2，S3,・・・,Snの面積の総和になっていますから,球の表面積Sと一致します。ですから
＝（1/3）ｒS
S=４πr^2をこの式に代入しますと，
V＝（1/3）ｒ×４πr^2
∴V＝（4/3）πｒ^3
この公式を
「身の上に心配あーる 参上」と覚えさせられたものです。
「身（３）の上に心配（４π）アール（ｒ） 参上（３乗）」
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