数楽者のボヤキ・ツブヤキ・ササヤキ-中学 数学 道徳 Mathematics Puzzles-

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 球の表面積,体積は,中学数学からついに姿を消してしまいました。球体は,子供たちが小さい頃からよく見慣れた形なのに残念なことだと私は思っています。確かに中学生には球の表面積や体積がどうしてその公式で与えられるかを説明するのは,難しいかもしれませんけど。

 かつて中学でこの公式を教えていた頃は,理屈では説明できないにしても,球の表面積が4πr^2(4パイアールの2乗)になることは,次の野球ボールのたとえで説明してやれば「ナルホド」っと納得してくれたものです。

球の表面積公式
球の表面積公式 posted from フォト蔵

 また,球の体積公式の方も,次のような納得法(=説得法)がありました。
球の表面をできるだけちいさく区切って微小な領域に分けます。n個の領域に分けられたとします。その小さく区切られた領域を底面にもち,頂点が球の中心であるようなn個の錐体を考えます。領域の分け方が細かければ細かいほど,これらの錐体の高さは球の半径rと同一視できます。(図が描きにくかったので,省略してしまいました。言っていることのイメージが湧きますでしょうか?)

 すると,球の体積を求める問題は,n個の錐体の体積を求める問題に置き換えられます。
いま,n個の錐体の底面積をS1,S2,S3,・・・,Snと表すことにすると,
(球の体積V)
=(n個の錐体の体積)
=(1/3)(S1)r+(1/3)(S2)r+(1/3)(S3)r+・・・+(1/3)(Sn)r
共通因数 1/3r を括弧の外に追い出すと,
=(1/3)r(S1+S2+S3+・・・+Sn)
この(   )の中は,球の表面を小分割した各領域S1,S2,S3,・・・,Snの面積の総和になっていますから,球の表面積Sと一致します。ですから
=(1/3)rS

S=4πr^2をこの式に代入しますと,
V=(1/3)r×4πr^2
∴V=(4/3)πr^3

 この公式を
身の上に心配あーる 参上」と覚えさせられたものです。
「身(3)の上に心配(4π)アール(r) 参上(3乗)」

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