同じ誕生日の人がいる確率 posted from フォト蔵
小学生のとき私と生年月日が全く同じ友達がいました。中学，高校のクラスでも，同じ月の同じ日に生まれた組み合わせが少なくとも１組はいたような気がします。そこで,今回は，「誕生日の同じ人がいる確率」について考えてみることにします。
クラスの人数を４０人，１年は３６５日として，人間がどの日に生まれるかは同じ程度に期待できる（同様に確からしい）ものとして考えていきます。
次の手順で求めていきましょう。
（１）まず,４０人全員の誕生日が違う日になる確率 を求めます。
（２）続いて,誕生日が同じ人がいる確率 を求めます。
（１）まず,４０人全員の誕生日が違う日になる確率 を求めます。
４０人のそれぞれが３６５日ある月日のうちのいずれかに生まれる可能性があるわけですから,４０人全員での誕生日の起こり方は全部で,３６５を４０個かけた場合の数だけあります。
３６５×３６５×３６５×・・・・・・・×３６５＝３６５＾４０（３６５の４０乗）・・・（Ａ）
そして,出席番号で１番の生徒の誕生日は３６５通り考えられ,そのそれぞれの場合について２番の人の誕生日は，１番の人の誕生日を除く３６４通りあると考えられます。さらにそれぞれの場合について３番の人の誕生日は,１番と２番の人の誕生日を除く３６３通り考えられます。さらにそれぞれの場合について４番の人の誕生日は,１番と２番と３番の人の誕生日を除く３６２通りあることになります。
同じようにして考えていくと，３９番までの生徒の生まれ方のそれぞれの場合について，最後の４０番の生徒の誕生日は（３６５－３９）＝３２６通りあると考えることができます。
以上のことから４０人全員の誕生日が違う日になる場合の数は,
３６５×３６４×３６３×・・・・・・・×３２６・・・（Ｂ）
（Ａ）,（Ｂ）から,「４０人全員の誕生日が違う日になる確率」をＰ（４０）と表すことにすると，
Ｐ（４０）＝（Ｂ）／（Ａ）
（２）続いて,誕生日が同じ人がいる確率 を求めます。
全員の誕生日は，違う日になるか,同じ誕生日になるかのどちらかなので,同じ誕生日の人がいる確率は，（１）で求めたＰ（４０）を「必ず起こる確率」１から引き去るという考え方で求めることができます。つまり,１－Ｐ（４０）で求めることができるのです。
ところで,電卓やエクセルの計算式等を使って計算させると，Ｐ（４０）＝0.10876819
と求められるので,
１－Ｐ（４０）＝１－0.10876819＝0.89123181
つまり,
クラスに４０人の生徒がいた場合には，誕生日が同じ人がいる確率は,0.89123181
,約９０％に近い確率で誕生日が同じ人がいるということになります。
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