【代数学の基本定理】２４通りの証明コレクション
★微分積分からの証明
★複素解析からの証明
★代数的な証明
★位相幾何による証明
★不動点定理による証明
★確率論による証明
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複素解析からの代数学の基本定理の証明で最も
有名なのがリュービルの定理の系として得る証
明です。次に有名な複素解析による証明がルー
シェの定理からの証明だと思います。そちらに
ついても紹介します。
複素関数論の最も重要な結果である、コーシー
の積分定理からも「代数学の基本定理（FTA）」
を導く証明は何通りかあるようです。
私のブログでは２通り紹介いたします。
なお、今回紹介する証明は、代数学の基本定理
の証明コレクション本である、
「The fundamental theorem of algebra
/ Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger.」
を参考にしています。
ちなみに２通り目の証明はこちらです。
「回転数に関する存在定理」「ホモトピー同値
性」の双方を用いた証明です。
証明の最後の方に記載していますが、補題１を
満たすような半径ｒの開集合の中に解が存在し
ていることになります。
要はトポロジーの強い定理を二つ使うことによ
って、存在のみならず解の範囲までも言及して
いるのです。
こちらは、共立出版から出ている「数学かんど
ころ33 複素数と複素平面」を参考にして証明
を書いてみました。
こちらの本は非常に面白かったです。
この証明で用いている「回転数に関する存在定
理」は、１変数関数に関する中間値の定理を一
般のジョルダン閉曲線に対して拡張したものに
なります。
回転数によるその他の証明はこちをご参照
下さい。
ガウスは、代数学の基本定理の証明について生
涯４つの論文を発表しました。
二つめの証明は、体論や対称式の基本定理を用
いた代数的なもので今日の基準においても完全
なものだったようです。
かなり前の数学セミナー増刊で、ガウスの原型
に近い証明があったので、そちらの行間を埋め
て掲載してみました。
ガウスの証明を４つとも集めてみたいと思って
います。
についてもアウトラインを書いています。
代数学の基本定理の証明のうち、最も初等的な
のが、Jean Robert Argand (1768-1822) の証
明をベースとした Weierstrass の最大値・最
小値定理を用いるものだと思います。
ただ、その証明は往々にして少し長いです。
かなり前の数学セミナーに式変形の少ない方法
が載っていましたので、そちらを参考にアレン
ジしてみました。
|f(z)| が最小値をとるということさえ認めて
しまえば、高校レベルの数学で解決できる証明
と思います。
加えて、２変数の微分積分からアプローチする
方法もあるのでリンクを張っておきます。こち
らも大学初年度の範囲でクリアできます。
こちらの平均値の不等式からの証明につきまし
ては、代数学の基本定理の証明コレクションで
ある、「The fundamental theorem of algebra
/ Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger.」
を参考にしています。
こちらの書籍ですが、微分積分・複素解析・代
数（体論、ガロア理論）・位相幾何など様々な
方法で代数学の基本定理の証明を試みるいう数
学科学部３、４年生程度の方を対象とした書籍
です。素晴らしいコンセプトです。ただし、数
学科卒業研究のゼミの本で使うには、位相幾何
やガロア理論の証明をはしょっているのでもの
足りないかも知れません。適宜他の専門書で補
いながらゼミすすめるとよいでしょう。
さて、今回紹介する証明で使われている平均値
の不等式はガウスの平均値の定理や最大値の原
理の系です。後者二つからも代数学の基本定理
は証明でき、Ｒ→∞において、今回紹介する証
明と同様な漸近的な評価、同様の論法での背理
法を使っているので是非比べて下さい。
ガウスの平均値の定理による証明
最大値の原理から、代数学の基本定理が導ける
ことはよく知られていると思います。
リュービルの定理からの証明と同等の完結で快
適な証明が得られます。
こちらの最大値の原理からの証明は、神保先生
の「岩波講座 現代数学への入門 複素関数入
門」を参考にしています。
神保先生の本では、リュービルの定理からでは
なく、偏角の原理からの証明と最大値の原理か
らの証明を掲載下さっています。粋な計らいで
すね。
リュービルの定理からの証明はこちら
偏角の原理からの証明はこちらです。
解の公式がない高次方程式の解を近似的に求め
る際、「偏角の原理」を用いたアルゴリズムが
あることはよく知られていると思います。
「偏角の原理」は解の具体的な構成に資する結
果であり、解の存在を保証している「代数学の
基本定理」より強い結果です。ですので、「偏
角の原理」から「代数学の基本定理」が導ける
というのはごくごく自然ですね。
複素解析の証明では２番目に有名な「ルーシェ
の定理」からの証明と同じく、背理法を用いず
P(z) の零点の個数が n 個であることも含め
て導出する気持ちのいい証明となっています。
こちらの「偏角の原理」からの証明は、神保先
生の「岩波講座 現代数学への入門 複素関数
入門」を参考にしています。
なお、「ルーシェの定理」からの証明について
も近々記事をアップ予定です。
今のところは小さい字で恐縮ですが、拙著の５
番目の証明をご参照下さい。
