代数学の基本定理に完全なる代数的な証明を
与えたのがガウスなら、位相幾何学的な証明を
最初に与えたのはコーシーです。
こちらはコーシーのアイデアを現代数学の言葉
（基本群）を用いて厳密にしたものです。
複素平面上の回転により、P(z)=0なる複素数z
を必ず通るという点、複素数体が代数閉体であ
ることが目に見えて伝わってくるため、この
証明が一番本質的と言われる方も多いです。
以下のノートでビジュアルな証明である点を
感じ取って頂けると幸いです。
その他の位相幾何学的な証明は
【代数学の基本定理】回転数による３つ位相幾何学的な証明 | 土日数学者：やまのぷう吉 (ameblo.jp)
【代数学の基本定理】リーマン球面を用いた位相幾何学的な証明 | 土日数学者：やまのぷう吉 (ameblo.jp)
ガウスの代数的な証明は
【代数学の基本定理】２つの代数的な証明 | 土日数学者：やまのぷう吉 (ameblo.jp)
こちらでド・モワブルの定理を使いましたが、
同定理を用いた初等的な証明はこちらです。
【代数学の基本定理】ド・モワブルの定理を用いた証明 | 土日数学者：やまのぷう吉 (ameblo.jp)