三角関数と双曲線関数改訂版

『三角関数と双曲線関数』前回は三角関数や双曲線関数とそれらの逆関数の微分についてまとめました。『逆関数の微分法 (三角関数・双曲線関数・指数対数関数)』三角関数や双曲線関数の逆関数の…

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の改訂版を作りました。

変更したところは、

・双曲線関数の直角双曲線x²-y²=1を45°回転させるとxy=1/2の反比例になります。

・三角関数も双曲線関数も動径で囲まれた面積はθ/2になります。

・定義の文章を少し変えました。

・懸垂曲線の微分方程式を付け加えました。

・逆三角関数や逆双曲線関数の中がどのようになっているかの説明を付けてみました。

・tanのマクローリン展開はtanの微分をsec²よりも1+tan²にした方が圧倒的に計算が楽です。

・逆関数の微分をカラーにしました。

・逆関数の積分を付け加えました。部分積分の後ろの部分はx²で置換すると簡単です。また、Tanh⁻¹の積分は2通りの方法で導出しました。

・sinxとtanhxのグラフを延長し、逆転するところも入れました。

・cosxやcoshx、放物線の比較も付け加えました。

三角形・四角形の面積(ヘロンの公式・ブラーマグプタの公式・ブレートシュナイダーの公式)

辺の長さから三角形や四角形の面積を求める公式として、

・ ヘロンの公式…三角形の面積

√{s(s-a)(s-b)(s-c)}、2s=a+b+c

・ブラーマグプタの公式…内接四角形の面積

√{(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)}、2t=a+b+c+d

・ブレートシュナイダーの公式…四角形の面積

√{(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)-abcdcos²(θ/2)}、θ:対角の和

があるのはご存知かもしれない。

　これらの公式を美しく表したのが上の表記だが、実際に使う際は割と不便である。

　これらの式によって簡単な計算で面積が求められるのは全ての辺の長さが有理数の時に限られるだろう。

しかし、実際に面積を求める図形には長さが無理数(だいたいは平方根)の辺が1つないし複数存在することが殆どである。

公式に代入するより、なす角の正弦を求めて解く方が速い。

　ところで、これらの公式を展開したことはあるだろうか？4次の対称式になることは想像つくだろう。実際に展開してみると、

・s(s-a)(s-b)(s-c)={2(a²b²+b²c²+c²a²)-(a⁴+b⁴+c⁴)}/16

={(a²+b²+c²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴)}/16

・(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)={2(a²b²+b²c²+c²d²+d²a²+a²c²+b²d²)-(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)+8abcd}/16

={(a²+b²+c²+d²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)+8abcd}/16

となる。そうすると、

・ヘロンの公式

(1/4)×√{(a²+b²+c²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴)}

・ブラーマグプタの公式

=(1/4)×√{(a²+b²+c²+d²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)+8abcd}

・ブレートシュナイダーの公式

=(1/4)√{(a²+b²+c²+d²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)-8abcdcosθ}

と表記することができる。辺の長さは2乗すると根号が消えるものが多いので面積を求めやすくなると思う。

ヘロンの公式解説ヘロンの公式解説 [解説・講座] 今回はヘロンの公式について解説するのだ。今回は最初に観る動画としてもいいと思うのだ。ブログ版...

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正20面体の体積

↓別の求め方など

『黄金比(フィボナッチ数列、正五角形、正20面体)仮』黄金比φについてまとめました。・黄金比φは、φ²=φ+1を満たす数(2つある)のうち正の方です。値は(1+√5)/2です。他方の負の数は(1-√5)/2=1-…

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　正20面体の体積を求めていこうと思います。

上手く座標を置いて求める方法や、長方形が隠れているなど、気づけば簡単に求められますが、今回は図形的な性質をあまり使わずに求めていこうと思います。

　正20面体は12個の頂点があります。ある頂点からみて、真裏の1点、辺で繋がっている5点と残り5点という風に分けることができます。

　ある点と辺で繋がっている5点は、5点とも同じ平面にあることはすぐに受け容れられると思います。また、他の5点も同一平面上にあり、2つの平面は平行です。

　ここで、この2つの平面で3つに切り分けます。

そうすると、正五角錐が上下で2つ、真ん中は正五角柱を捻ったもの(正反五角柱)に分けられます。

　それらの高さを合計すると正20面体の中心から各頂点への長さがわかります。この長さから、正20面体の中心と各面でできる三角錐の高さと体積が求められます。この三角錐の20倍が正20面体の体積です。

　今から切り分けた3つの立体の高さを求めていこうと思います。

　まずは、上下の正五角錐の高さを求めていきます。2つとも同じ形です。

　正五角錐の底面は正五角形(ABCDEとする)です。底面の中心をZ₁とします。Z₁と隣合う2点でできる三角形について余弦定理を用いると、中心角は360÷5=72°なので、

a²=Z₁C²+Z₁D²-2Z₁C×Z₁Dcos72°

Z₁C=Z₁D、cos72°=(-1+√5)/4だから、

a²=2Z₁C²-2Z₁C²×cos72°

a²=2Z₁C²{1-(-1+√5)/4}

a²=2Z₁C²{4-(-1+√5)}/4

a²=Z₁C²(5-√5)/2

Z₁Cについて解くと、

Z₁C²=2a²/(5-√5)

=(5+√5)a²/10

Z₁C=a√(50+10√5)/10

となりました。高さはXZ₁は

XZ₁²=XC²-Z₁C²

XZ₁²=a²-(5+√5)a²/10

XZ₁²=a²(5-√5)/10

XZ₁=a√(50-10√5)/10

と求まりました。

　次に、真ん中のねじれた正五角柱(正反五角柱)の高さを求めます。

　上から見ると、上下の面の中心は同じで向きがずれたものです。側面の10個の正三角形は傾いており、上から見ると正三角形の高さ方向が中心に向いています。正三角形の高さはa×sin60°=a√3/2です。

　中心から正五角形の頂点までの長さは先ほど求めたZ₁C=a√(50+10√5)/10で、中心から辺までの長さZ₁Tは、

Z₁T²=Z₁C²-(a/2)²

Z₁T²=(5+√5)a²/10-a²/4

= (5+2√5)a²/20　よって、

Z₁T=a√(25+10√5)/10

です。この差が正三角形の高さa√3/2なので、高さZ₁Z₂は、

Z₁Z₂²=(a√3/2)²-{a√(50+10√5)/10-a√(25+10√5)/10}²

をみたします。これを計算していきます。

Z₁Z₂²=3a²/4-(a²/100)×{√(50+10√5)-√(25+10√5)}²

=(a²/100)×[3×25-{(50+10√5)+(25+10√5)-2×√{(50+10√5)(25+10√5)}}]

=(a²/100)×[75-{(75+20√5)-2×√(1750+750√5)}]

=(a²/100)×{75-75-20√5+2×5√(70+30√5)}

=(a²/100)×{-20√5+10√(70+2√1125)}

ここで、70=45+25、1125=45×25なので、

=(a²/100)×{-20√5+10(√45+√25)}

=(a²/100)×{-20√5+30√5+50}

=(a²/100)×(50+10√5)

=(5+√5)a²/10　よって、

Z₁Z₂=a√(50+10√5)/10

　3つの立体の高さが分かった(正五角錐:a√(50-10√5)/10、ねじれた五角柱(正反五角柱):a√(50+10√5)/10)ので、向かい合う頂点の距離は、

2×a√(50-10√5)/10+a√(50+10√5)/10

=(a/10)×{2×√(50-10√5)+√(50+10√5)}

である。後ろの2つの二重根号を簡単にしたい。

2乗してから平方根を取っても値は変わらないので、

=(a/10)×√{2√(50-10√5)+√(50+10√5)}²

=(a/10)×√{4(50-10√5)+2×2√{(50-10√5)(50+10√5)}+(50+10√5)}

=(a/10)×√{200-40√5+4√2000+50+10√5}

=(a/10)×√(250+4×20√5-30√5)

=(a/10)×√(250+50√5)

=a√(10+2√5)/2　と求まりました。

頂点と中心の距離はこの半分なので、

a√(10+2√5)/4　となります。

　ようやく正20面体の20分の1である三角錐の計算に持っていけました。正20面体の中心から頂点の距離は三角錐の頂点から底面の正三角形の頂点までの距離です。高さはこれと正三角形の頂点から中心までの距離から求められます。正三角形の中心から頂点までの距離は高さの2/3なので、

(2/3)×a√3/2=a√3/3です。よって三角錐の高さONは、

ON²={a√(10+2√5)/4}²-(a√3/3)²

をみたします。計算します。

ON²=(10+2√5)a²/16-a²/3

=(a²/48)×{3×(10+2√5)-16}

=(a²/48)×(30+6√5-16)

=(a²/48)×(14+6√5)

=(a²/48)×(14+2√45)

14=9+5、45=9×5なので、

=(a²/48)×(3+√5)²　よって、

ON=(3+√5)a×(√3/12)となります。

正三角形の面積は(1/2)a²sin60°=a²√3/4なので、三角錐の体積は、

(1/3)×(a²√3/4)×(3+√5)a×(√3/12)

=(a³/144)×3(3+√5)

= (3+√5)a³/48

です。正20面体の体積はこの20倍なので

20×(3+√5)a³/48

=(5/12)×(3+√5)a³

=(15+5√5)a³/12

と導けました。

↓続編

『黄金比(フィボナッチ数列、正五角形、正20面体)仮』黄金比φについてまとめました。・黄金比φは、φ²=φ+1を満たす数(2つある)のうち正の方です。値は(1+√5)/2です。他方の負の数は(1-√5)/2=1-…

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No.712 特急運用表(仮)

時刻：8000系洛楽

時刻：3000系洛楽

時刻：8000系特急

時刻：3000系特急

時刻：6000系特急

時刻：3000系快速急行

車両												2P	2P				2P	2P
出町柳												1	2				1	2
出町柳発												0630	0642			3P	0655	0709				3P
樟葉発																0711						0740
淀屋橋着	2P	2P			3P		2P	2P			3P	0726	0738			0744	0752	0805				0813
淀屋橋	4	4			4		3	4			3	3	3			4	4	3				4
淀屋橋発	0621	0634			0647		0700	0712			0724	0736	0747			0750	0800	0814				0818
出町柳着	0716	0728			0741	3P	0754	0806			0818	0830	0842			0849	0856	0909				0919
出町柳	2	2			2	2	2	1			2	2	2			2	1	2				2
出町柳発	0723	0736			0746	0752	0805	0816			0822	0836	0847			0858	0907	0917				0924
淀屋橋着	0817	0832			0843	0855	0902	0914			0925	0932	0944			0955	1002	1014				1027
淀屋橋	3	3			3	3	3	3			3	3	3			3	3	3				3
淀屋橋発	0830	0841			0847	0900	0912	0923			0930	0942	0953			1000	1012	1023				1031
出町柳着	0925	0936			0947	0954	1007	1011			1026	1039	1041			1056	1109	1111				1126
出町柳	1	2			1	2	23	2		32	1	13	2		32	1	13	2		32		1
出町柳発	0937	0947			0958	1005		1016		1027	1033		1046		1057	1103		1116		1127		1133
淀屋橋着	1033	1044			1055	1108		1111		1123	1136		1141		1153	1206		1210		1223		1237
淀屋橋	3	3			3	4		3	4	4	4		3	4	4	4		3	4	4		3
淀屋橋発	1042	1053			1100			1115	1118	1130			1145	1148	1200			1214	1217	1230
出町柳着	1139	1141			1157			1209	1219	1223			1239	1249	1253			1308	1317	1323
出町柳	13	2		32	2			2	23	2	32		2	23	2	23		2	23	2	32
出町柳発		1146		1156	1204			1214		1227	1235		1244		1257	1305		1314		1327	1335
淀屋橋着		1240		1253	1304			1308		1321	1335		1337		1351	1405		1407		1421	1435
淀屋橋		4	3	4	4			3	4	4	3		3	3	4	4		3	4	4	4
淀屋橋発		1244	1247	1300				1313	1316	1330			1343	1346	1400			1413	1416	1430
出町柳着		1338	1347	1353				1407	1416	1423			1437	1446	1453			1507	1517	1523
出町柳		2	23	2	32			2	23	2	32		2	23	2	32		2	23	2	32
出町柳発		1344		1357	1405			1414		1427	1435		1444		1457	1505		1515		1527	1534
淀屋橋着		1437		1451	1505			1507		1521	1535		1537		1551	1605		1608		1621	1635
淀屋橋		3	4	4	4			3	4	4	4		3	4	4	4		3	4	4	4
淀屋橋発		1443	1446	1500				1513	1516	1530			1543	1546	1600			1613	1616	1630	YN
出町柳着		1537	1546	1553				1607	1617	1623			1637	1646	1653			1706	1716	1723
出町柳		2	2	1				2	2	1			2	2	1			2	2	1
出町柳発		1542	1553	1557				1612	1623	1627			1642	1653	1657			1712	1723	1727
淀屋橋着		1637	1641	1653				1707	1711	1723			1737	1741	1753			1807	1811	1723
淀屋橋		3	4	4				3	4	4			3	4	4			3	4	4
淀屋橋発		1643	1645	1700				1713	1715	1730			1743	1745	1800			1813	1815	1830
出町柳着		1737	1747	1753				1807	1816	1823			1837	1746	1853			1907	1916	1923
出町柳		1	2	1				2	23	2	32		2	23	2	32		2	2	2
出町柳発		1742	1753	1757				1813		1827	1835		1843		1857	1905		1914	YY	1928
淀屋橋着		1837	1841	1853				1906	YA	1920	1934		1936		1950	2004		2007		2021
淀屋橋		3	4	4				3	4	4	4		3	4	4	4		3	4	4
淀屋橋発		1843	1845	1900				1913	1915	1930			1943	1946	2000			2013	2015	2030
樟葉着																			2047
出町柳着		1936	1846	1954				2006	2016	2023			2036	2046	2053			2106	YA	2123
出町柳		2	2	1				1	1	1			1	1	1			1		1
出町柳発		1942	1957	YY				2012	YY	2027			2042	YY	2057			2114		2128	RA
淀屋橋着		2035	2050					2106		2121	YA		2137		2151			2207		2222	2227
淀屋橋		4	4					4		4	3		4		4			3		4	4
淀屋橋発		2045	2100					2115		YN	2130		2145		2200			2215		YN	2230
出町柳着		2138	2153					2208			2223		2238		2253			2308			2323
出町柳		1	1					1			1		2		1			2			1
出町柳発		2144	2202	RA				2220	MA		2240		2257		YY			YY			2337
淀屋橋着		2238	2255	2303				2315	2323		2333		2351								GY
淀屋橋		3	3	4				3	3		4		4
淀屋橋発		2251	YN	2310				YN	2333		2337		YN
枚方市着											2406
三条着									2421		YN
三条発									2423
出町柳着									2427
出町柳									1
出町柳発									停泊